6.5.2.1 平面与平面垂直的性质 课件(共17张PPT)

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第六章 立体几何初步
6.5.2.1 平面与平面垂直的性质
1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的平面角.
2.理解两平面垂直的定义，掌握面面垂直的性质定理，并能解决有关垂直问题.
问题：观察教室的门与墙，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状，数学上，可用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？
知识点 1：二面角
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．
α
Q
P
l
A
B
α

棱
面
记作二面角α-AB-β或α-l-β或P-l-Q．
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角，如图中的∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.
思考1：∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？
根据空间等角定理，∠AOB的大小与点O在棱l上的位置无关．
思考2：当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少度？
当二面角的两个面合成一个平面时二面角的大小为多少度？
二面角的平面角θ的取值范围为0°≤θ≤180°．
平面角是直角的二面角称为直二面角.
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：α⊥β.
画两个互相垂直的平面时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.
例1 如图，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100m后升高多少米？(精确到0.1 m)
解：如图，设DH垂直于过BC的水平面，点H为垂足，线段DH的长度就是所求的高度.
在平面DBC内，过点D作BC的垂线，垂足为点G，连接GH.
∵DH⊥平面BCH，BC 平面BCH，∴DH⊥BC.
H
G
又∵DG∩DH＝D，DG，DH 平面DGH，∴BC⊥平面DGH.
例1 如图，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100m后升高多少米？(精确到0.1 m)
因此，∠DGH就是坡面DGC与水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°，
即沿直道前进100 m，升高约43.3m.
由此得DH＝DGsin 60°＝CDsin 30°sin 60°＝100sin 30°sin 60°＝
又∵GH 平面DGH，∴GH⊥BC.
H
G
归纳总结
求二面角的步骤：
（1）作出二面角的平面角；
（2）证明该角为平面角；
（3）将二面角的平面角置于一个三角形中求其大小.
知识点 2：平面与平面垂直的性质
问题1：设α⊥β，α∩β＝l，则β内任意一条直线AB与l有什么位置关系？相应地，AB与α有什么位置关系？为什么？
解：AB与l平行或相交，
当AB∥l时，AB∥α；
当AB与l相交时，AB与α相交.
α
β
B
l
A
问题2：已知α⊥β，α∩β＝l，若AB⊥l，AB与α有什么位置关系？为什么？
解：AB⊥α，理由如下：
α
β
l
C
A
设AB与l的交点为A，过点A在α内作直线AC⊥l，
则∠BAC是二面角α-l-β的平面角，
B
∵α⊥β，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
又∵AB⊥l，AC∩l＝A，AC α，l α，∴AB⊥α.
平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
归纳总结
符号语言：α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，a β a⊥α．
α
β
a
l
面面垂直 线面垂直
(线是指一个平面内垂直于两平面交线的一条直线)
例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面B1BCC1内，MN⊥BC于点M，判断MN与AB的位置关系，并说明理由.
解：由题意知平面B1BCC1⊥平面ABCD，交线为BC.
∵MN 平面B1BCC1，且MN⊥BC，
∴MN⊥平面ABCD.
又AB 平面ABCD，从而MN⊥AB.
归纳总结
利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直时注意三点：
①两个平面垂直是前提条件；
②直线必须在其中一个平面内；
③直线必须垂直于它们的交线.
例3 证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
已知：如图，α⊥β，P∈α，P∈m，m⊥β.求证：m α.
证：直接证明m α不易，可采用反证法.
假设m α，如图，设α∩β＝c，过点P在平面a内作直线n⊥c.
根据平面与平面垂直的性质定理，n⊥β.
已知m⊥β，m∩n＝P，这与“过一点只有一条直线与平面β垂直”矛盾，
∴m α不成立，即m α.
练一练
1.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.以上都有可能
D
根据今天所学，回答下列问题：
（1）如何求一个二面角的大小？
（2）使用面面垂直的性质定理需要注意什么？