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鲁教版八年级下册数学期末综合测评卷（B）
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1. （2024·湖南·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
故选：D
2. （2025·浙江嘉兴模拟）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
3. （2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：作图可得
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即，
解得：，
的取值范围是且．
故选：D．
5. （2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6. （2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，则，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故选：C．
7. （2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．
设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：．
故选：B．
8. （2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．根据正方形的性质可求出，根据轴对称的性质可得，则，再求出，，即可求出答案．
【详解】解：正方形的边长为2，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是，
故选：A．
9. （2023·四川内江·统考中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．
【详解】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故选：C．
10. （2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. （2024·江苏连云港·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
12（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
13（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．
【答案】
【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：
14. （2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可．
【详解】解：在中，，
由折叠可得，，
又∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，即，
解得：，
故答案为．
15. （2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
而，
∴①当时，则有，
解得，；
②当时，，
解得，
综上所述，x的值是或，
故答案为：或．
16. 关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；
②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ________．（只需填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意得，则，故①是真命题；根据题意得，则②是真命题；由题意得，则方程的判别式：，由于a的符号不确定，故③是假命题；由题意得，且，则，有，可得是的一个根，故④是真命题．
【详解】解：若，则，
∴，故①是真命题；
若该方程的两根为和1，则，
∴，
∴，故②是真命题；
若有两个相等的实数根，则，
∴的判别式：，
∵a的符号不确定，
∴方程根的情况不确定，故③是假命题；
若r是该方程的一个根，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的一个根，故④是真命题；
故答案为：①②④．
三、解答题（共52分）
17.（8分（1）计算：（－）－－|－3|；
考点：二次根式的混合运算．
分析：根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．
解答：解：（－）－－|－3|＝－3－2－（3－）＝－6．
（2）解方程：（2x-1）2=x(3x+2)-7
【解析】解：原方程可化为：4x2-4x+1=3x2+2x-7
∴x2-6x+8=0
∴(x-3)2=1
∴x-3=±1
∴x1=2 x2=4
18.（8分）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
(1)证明：．
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
19.（8分）（2025·山东泰安模拟）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
考点：一元二次方程的应用．
专题：销售问题．
分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．
解答：解：由题意得出：200×（10－6）＋（10－x－6）（200＋50x）＋[（4－6）（600－200－（200＋50x）]＝1250，即800＋（4－x）（200＋50x）－2（200－50x）＝1250，
整理得：x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，∴10－1＝9，
答：第二周的销售价格为9元．
20.（8分）（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识 ：
（1）由平行四边形的性质得再证明，得出，证明出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形：
（2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，得出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
21.（10分）（2024·重庆·中考真题）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
(1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴①，．
∵点是的中点，
∴②．
∴（AAS）．
∴③．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图：
（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
22.（10分）（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（3）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，
前15行的点数之和为，
那么，前行的点数之和为；
故答案为：36；120；；
（2）解：不能，
理由如下：
由题意得，
得，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
（3）解：同理，前行的点数之和为，
由题意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能摆放20排．
23.．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
(1)当点是边的中点时，求的长；
(2)当时，点到直线的距离为________；
(3)连结，当时，求正方形的边长；
(4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可）
【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设，则，，过点作于，根据，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，，在异侧时，设，，则，证明，得到，即可求解；第二种情况，当，在同侧，设，则，，，求得，解方程即可求解；
【详解】（1）解：根据题意可知：，
为等腰三角形，故点是边的中点时，；
在中，；
（2）根据题意作，如图所示；
当时，则，
设点到直线的距离为，
，
解得：；
（3）如图，当时，点落在上，
设，则，，
过点作于
则，
，
，
解得：
故，
所以正方形的边长为；
（4）如图，，在异侧时；
设，，则
三边的比值为，
，
，
当，在同侧
设，则，，
三边比为，
三边比为，
设，则，，
解得：
综上所述：的长为或
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一、选择题：（每小题3分，共30分）
1. （2024·湖南·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
2. （2025·浙江嘉兴模拟）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3. （2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5. （2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
6. （2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7. （2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8. （2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
9. （2023·四川内江·统考中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
10. （2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. （2024·江苏连云港·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
13（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．
14. （2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ．
15. （2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
16. 关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；
②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ________．（只需填写序号）
三、解答题（共52分）
17.（8分（1）计算：（－）－－|－3|；
（2）解方程：（2x-1）2=x(3x+2)-7
18.（8分）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
(1)证明：．
(2)求线段的长．
19.（8分）（2025·山东泰安模拟）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
20.（8分）（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
21.（10分）（2024·重庆·中考真题）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
(1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴①，．
∵点是的中点，
∴②．
∴（AAS）．
∴③．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．
22.（10分）（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
23.．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
(1)当点是边的中点时，求的长；
(2)当时，点到直线的距离为________；
(3)连结，当时，求正方形的边长；
(4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可）
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