重庆市大一名校联盟2024-2025学年高二（下）期中考试数学试卷（图片版，含答案）

2024-2025 学年重庆市大一名校联盟高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 2 = 4 3 2 ，则 2 =( )
A. 48 B. 108 C. 114 D. 126
2.若 lim (1+ ) (1)3 = 3，则 ′(1) =( ) →0
A. 27 B. 9 C. 3 D. 1
3.函数 ( ) = ln 的单调递增区间为( )
A. ( ∞,1) B. (0,1) C. (0, ) D. (1, + ∞)
4.小明用 3 打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜
色，其中有公共边的两个面异色，现有 5 种颜色可供使用，则有( )种不同的涂色方法
A. 320 B. 360 C. 420 D. 480
5 1.若函数 ( ) = 22 在(0, + ∞)上不单调，则实数 的取值范围为( )
A. (0,1) B. (0, ] C. [ , + ∞) D. ( , + ∞)
6.某单位在 5 月 1 日——5 月 5 日这 5 天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转
与应急事务的及时处理。现计划从 4 名员工中每天派 1 名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是( )
A. 15 15 2464 B. 128 C. 125 D.
48
125
7.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研
究.设 ， ， ( > 0)均为整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ≡ ( )，
如 8 和 14 被 3 除得的余数都是 2，则记 8 ≡ 14( 3).若 ≡ ( 10)，且 = 0 + 120 20 2 + 2 220 2 +
+ 20 2020 2 ，则 的值可以是( )
A. 2021 B. 2023 C. 2025 D. 2027
8.已知函数 ( ) = ln ，不等式 ( ) ≤ 在 ∈ (0, + ∞)上恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. (0,1] B. ( ∞,1] C. (0, ] D. ( ∞, ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.已知二项式( )
6，则下列说法正确的是( )
A.展开式中二项式系数之和为 64
B.展开式中有理项的个数为 3
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C.若 = 2，则展开式的常数项为 60
D.若展开式中各项系数之和为 64，则 = 3
10.若函数 = ( )的图象上至少存在两个不同的点 ， ，使得曲线 = ( )在这两点处的切线垂直，则称
函数 = ( )为“类正交函数”.下列函数中为“类正交函数”的是( )
A. = 2 B. = C. = ln D. = sin
11.已知函数 ( ) = 2 3 3 2 + (1 ) + ，则下列结论正确的是( )
A.当 = 1 且 ∈ (0, )时， (sin ) < (sin2 )
B.当 = 0 时，若 ( ) 1有两个极值点，则 的取值范围是( 2 , + ∞)
C.若 ( )满足 (1 ) + ( ) = 2，则 2 + 2 4的最小值为5
D.若 ( )存在极值点 0，且 ( 0) = ( 1)
3
，其中 0 ≠ 1，则 2 0 + 1 = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设函数 ( ) = 3 + ，若 ′(0) = 3，则 = ．
13.已知函数 = + ln 在点(1,1)处的切线与二次函数 = 2 + ( + 2) + 1 相切，则实数 = ．
14.在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母 ， ， 都填到九宫格中且不能在同一行同一列，
其他每格只能从数字 1，2，3 中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得
该奖项的一共七名同学，其中 3 名男生与 4 名女生。为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排
队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数
字作答．
(1)全体站成一排，男生互不相邻;
(2)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端;
(3)若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1 22 3 + 2ln .
(1)求 ( )在 = 1 处的切线方程;
(2)若函数 = ( ) 有 3 个不同的零点，求实数 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
礼嘉智慧公园旨在打造智能化体验示范区，将人工智能、大数据、物联网等现代信息技术与优美环境有机
结合，从公园设施到衣食住行，多方面引领智慧新生活，让百姓切身感受科技的魅力。公园为了再次升级，
拟将一块在半径为 20 米的半圆形绿化地扩建成一个新型文化广场(如图所示的阴影部分)，同时为了拥有更
好地体验试将该广场分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形 区域是休闲健身区，以 为底边的
等腰三角形 区域是儿童活动区， ， ， 三点在圆弧上， 中点恰好在圆心 .设∠ = ，新型文化
广场的面积为 ．
(1)求出新型文化广场的面积为 关于 的函数解析式;
(2)当角 取何值时，新型文化广场的面积 最大 其最大面积是多少
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( , ) = ( 2 + ) ( > 0, > 0)．
(1)当 = 2 时，求 (5, )的展开式中二项式系数最大的项;
(2)若 (10, ) = 0 + 1 + 22 + + 1010 ，且 3 = 960．
①求 1 + 2 2 + 3 3 + + 10 10的值;
②求 (0 ≤ ≤ 10, ∈ )的最大值．
19.(本小题 17 分)
= 1 ln 定义运算： ，已知函数 ( ) = 1 ．
(1)若 = 1 时，求 ( )的极值;
(2)若 ∈ (0,1] 1 ln 1 + ，函数 ( ) = ，证明： ( ) ≥ 0;
(3)设 ∈ ，证明： 1+
1+1+ +12 3 > + 1 > sin( + 1)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0
13.8
14.5184
15.解：(1)先将女生全排有 44种，
再从 5 个空隙中选出 3 个将 3 个男生插入到 3 个空隙中有 35种，
由分步乘法原理共有 44 35 = 1440 种排法；
(2)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，
则采用插空法，将其余的 5 人排好，5 人中间有 4 个空，
把甲乙当做一个整体插入，方法有 2 5 12 5 4 = 960 种；
(3)分四类：
( )当甲排在最右面，同时乙排在最左面： 55 = 120 种;
( )当甲排在最右面，乙不排在最左面： 1 55 5 = 600 种;
( )当甲不排在最右面，乙排在最左面： 1 55 5 = 600 种;
( )当甲不排在最右面，乙不排在最左面： 25 55 = 2400 种;
总的方法为：120 + 600 + 600 + 2400 = 3720 种．
16.解：(1)易知函数的定义域为(0, + ∞)，
2
所以 2 3 +2 ( 1)( 2)′( ) = 3 + = = ，
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则 = ′(1) = 1 3 + 21 = 0，
1 5 5
当 = 1 时， (1) = 2 3 = 2，即切点为(1, 2 )
5
所以切线方程为 = 2；
(2)有题意知，转化为方程 ( ) = 有 3 个不等的实根，
即函数 = ( )与直线 = 图像上有 3 个不同的交点
令 ′( ) > 0，得 < 1 或 > 2，令 ′( ) < 0，得 1 < < 2，
故函数 ( )在(0,1)和(2, + ∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
( ) = 1 5即 在 时取得极大值 (1) = 2， ( )在 = 2 时取得极小值 (2) = 2ln2 4
当 → 0+ 1时，ln → ∞，2
2 3 → 0，即 ( ) → ∞，
当 = 4 时， (4) = 8 12 + 2ln4 = 4 + 4ln2 = 4(ln2 1) < 0，
当 = 10 时， (10) = 50 40 + 3ln10 = 10 + 3ln10 > 0，
且 ( )在(2, + ∞)上单调递增，
由零点存在定理知， ( )在(2, + ∞)上有唯一零点，
当 →+∞时， ( ) →+∞，
结合题意(函数图像如下图)2ln2 4 < < 52
17.解：(1)由已知得 = 20 ， = 20 ，
等腰△ 底边 上的高为 20 20 ，
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所以 = 2 × 20 × 20 + 12 × 40 (20 20 )
= 800 + 400( )
= 400(2 + )
= 400( + )，
所以 = 400( + ), (0 < < 2 )；
(2)设 ( ) = + ，
则 ′( ) = 2 2 sin
= 2 2 sin + 1
= 2(sin 12 )(sin + 1)，
令 ′( ) > 0，由 0 < < 2，可得 0 < <

6，

令 ′( ) < 0，可得6 < < 2，
故 ( ) 在(0, 6 )上单调递增，在( 6 , 2 )上单调递堿，
3 3 3 3
所以 = 6时，有 ( ) = ( 6 ) = 4 + 2 = 4 ，
所以 =
3 3
4 × 400 = 300 3，
即 = 6时，健康广场的面积最大，最大值为 300 3
2．
18.解：(1)当 = 2 时， (5, ) = (1 + 2 )5的展开式共有 6 项，
二项式系数最大的项为第三项或第四项，
所以 2 2 2 33 = 5(2 ) = 40 或 4 = 5(2 )3 = 80 3；
(2) (10, ) = ( 2① + )10 2 的通项公式为 +1 =
10 10 2 10
10( ) ( ) = 2 10 ，
且 (10, ) = 0 + 1 + 2 2 + + 010 ，
所以 = 27 3 43 10 = 960，解得 =± 2，又 > 0，∴ = 2
所以 (10, ) = (1 + 2 )10，
′(10, ) = 1 + 2 2 + + 10 9 910 = 20(1 + 2 ) ，
令 = 1，得 1 + 2 2 + + 10 10 = 20(1 + 2)9 = 393660(或 20 × 39)
② (10, ) = (1 + 2 )10 的通项公式为 +1 = (2 ) = 2 10 10 ， ∴ = 2 10 ，
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设 = 2 10 为 (0 ≤ ≤ 10)中的最大值，则 ，
即 ，
即 ，
∴ ( )max = 7 = 27 710 = 15360.
19.解：(1)由题意知：当 = 1 时 ( ) = 1 ln ( > 0)，
∴ ′( ) = 1 1 = 1 ，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0;当 > 1 时， ′( ) > 0，
即 ( )在(0,1)上单调递减， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以，当 = 1 时， ( )取得极小值 (1) = 0; ( )无极大值；
(2) ( ) = ( 1) ln 1 + ，
要证 ( ) ≥ 0 1 ln 1+ ，即证 ≥ ，即证( 1)
ln + 1 ≥ 0，
令 ( ) = ( 1) ln + 1 ( > 0)，
∴ ′( ) = 1 ，
( ) = 1令 ( > 0)，∴ ′( ) = ( + 1)
+ 1 2 > 0．
1
又 ∈ (0,1]，∴ 1 1′( ) = 2 1 2 2 2 < 0， ′(1) = 1 ≥ 0，
所以 0 ∈ (
1
2 , 1]，使得
1
′( 0) = 0，即 0 0 = ，0
所以 0 = 1， = 2ln ，
2 0 00
所以当 ∈ (0, 0)， ′( ) < 0， ( )单调递减;当 ∈ [ 0, + ∞)， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增．
所以 ( )min = ( 0) = ( 0 1) 0 ln + 1 =
0 1
0 2
3ln 0 0 + 1，
0
又由(1)知当 = 1 时， ln 1 ≥ 0 恒成立，∴ ln ≤ 1，∴ ln 0 ≥ 1 0，
∴ ( ) ≥ 0 10 2 + 3(1 0)
(1 0)(2 0 1)(2 0+1)
0
+ 1 = 2 ，
0 0
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∈ ( 1 , 1] ( ) = ( ) ≥ (1 0)(2 0 1)(2 0+1)又 0 2 ，所以 min 0 2 ≥ 0， 0
故 ( ) = ( 1) ln + 1 ≥ 0.
1 ln 1+
即： ≥ ，即 ( ) ≥ 0；
(3)由(1)可知，ln ≤ 1，当且仅当 = 1 时取等号．
等价于 ln( + 1) ≤ ，当且仅当 = 0 时取等号．
∴ 1 > ln(1 +
1 ) = ln +1 = ln( + 1) ln ，
∴ 1 + 12 +
1
3+ +
1
> (ln2 ln1) + (ln3 ln2) + (ln4 ln3) + + (ln( + 1) ln ) = ln( + 1) ln1 =
ln( + 1)，
1 + 1即 2 +
1 1
3 + + > ln( + 1) ①．
1+1则 2+
1
3+ +
1
> ln( +1) = + 1，
令 ( ) = sin ， > 0，所以 ′( ) = 1 cos ≥ 0，
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) > (0) = 0，即 sin > 0， > 0．
所以 + 1 > sin( + 1) ②，
1+1+1 1由 ① ②得 2 3+ + > sin( + 1)．
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