2024-2025学年浙江省新力量联盟高二下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省新力量联盟高二下学期4月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.温州景山公园有个大门，现要求从一个门入，从另外一个门出，则不同的走法种数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知函数，为的导函数，则的值为( )
A. B. C. D.
3.将数字，，，，这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 是函数的极大值点
B. 函数在区间上单调递增
C. 是函数的最小值点
D. 曲线在处切线的斜率小于零
5.某校1000名学生参加数学期末考试,每名学生的成绩服从X~N(110,),成绩低于70分为不合格,依此估计不合格的学生人数约为( )附:若~N(,),则P(-<<+)=0.6827,P(-2<<+2)=0.9545.
A. 23 B. 46 C. 159 D. 317
6.已知事件、满足，，则( )
A. B.
C. 事件，互斥 D. 事件，相互独立
7.已知，为实数，随机变量，的分布列如下：
若，随机变量满足，其中随机变量，相互独立，则取值范围的是( )
A. B. C. D.
8.设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则( )
A.
B. 的展开式中项的系数为
C. 奇数项的二项式系数和为
D. 的展开式中常数项的系数为
10.某母牛养殖基地有品种牛头、品种牛头、品种牛头，根据发展需要，拟用分层抽样的方法，从这头牛中抽取头向外出售，则下列说法正确的是( )
A. 头牛中品种牛、品种牛、品种牛的数量分别为头、头、头
B. 客户甲从向外出售的头牛中的品种牛、品种牛中随机挑选头，则这头中至少含有头品种牛的概率为
C. 客户乙从向外出售的头牛中的品种牛、品种牛中依次不放回地随机挑选头，已知第次挑选出的是品种牛，则第次挑选出的是品种牛的概率为
D. 客户丙从向外出售的头牛中的品种牛、品种牛中随机挑选品种牛头、品种牛头的概率为，则
11.已知函数，为的导数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，恒成立
B. 当时，在区间单调递减
C. 当时，在区间上存在唯一极小值点
D. 当时，有且仅有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
14.已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直设为该三棱锥表面含棱上异于顶点，，，的点，记若集合中有且只有个元素，则符合条件的点个数为 用具体数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，其图象在点处的切线方程为．
求函数的解析式；
求函数在区间上的最值．
16.本小题分
艺术节晚会要安排个歌舞类节目，，，个小品类节目，和个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题：
若两个小品类节目，不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法
若歌舞类节目，必须排在一起，和，排在一起，并且在，中间，一共有多少种排法
若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法
答题要求：写上必要的文字说明，先列式，后计算
17.本小题分
国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间单位：分钟，并将数据分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数保留小数点后一位
通过调查分析发现，若服务总时间超过分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取份，再从抽取的份问卷中抽取份，记其中有不满情绪的问卷份数为，求的分布列及均值。
18.本小题分
已知甲箱产品中有个正品和个次品，乙箱产品中有个正品和个次品
如果依次不放回地从乙箱中抽取个产品，求第次取到次品的概率
若从甲箱中任取个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，
(ⅰ)求从乙箱中取出的这个产品是正品的概率
(ⅱ)已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是个正品的概率。
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间
若函数有两个极值点，，求证。
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.A
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由可得：．
所以在点处切线的斜率
，
因为在点处切线方程为，
所以切线的斜率为，且，
所以，即
解得，
所以；
由知，
则，
令得或，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
所以在处，取得极大值，
在处取得极小值．
又因为，
，
所以在上的最大值为，最小值为．
16.解：因为总共有六个位置，两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，
先将排好，则有种排法，剩下四个节目四个位置，则有种排法，
故共有种排法；
必须排在一起共有种排法， 在中间共有种排法，
将，看作一个元素， 在中间看作一个元素，与一起看作个元素全排列，有种排法，
故共有种排法；
分两步完成：第一步，先安排个歌舞类节目，则有种排法；
第二步，再用插空法安排个小品节目 和个相声节目：
若个小品节目和个相声节目互不相邻，则有种排法；
若与中的其中一个相邻，则有种排法，
故共有种排法．
17.解：众数：；
第到组频率分别为：，，，，，
平均数：，
设中位数为，则中位数在第组，则，；
用分层随机抽样抽取份问卷，其中学生有不满情绪的有份，
的可能取值为，，，
，，，
的分布列为：
．
18.解：依次不放回地从乙箱中抽取个产品，第次取到次品包含如下两种情况：
第一次取出正品，第二次取出次品，此时概率为；
第一次取出次品，第二次取出次品，此时概率为；
故第次取到次品的概率为．
从甲箱中任取个产品放入乙箱并且从乙箱中取出个正品包含如下情况：
从甲箱中取出两个正品，此时乙箱中取出的这个产品是正品的概率为；
从甲箱中取出一个正品一个次品，此时乙箱中取出的这个产品是正品的概率为；
从甲箱中取出两个次品，此时乙箱中取出的这个产品是正品的概率为．
综上所述，从乙箱中取出的这个产品是正品的概率为．
由知从甲箱中取出的是个正品并且从乙箱中取出的这个产品是正品的概率为，
从甲箱中任取个产品放入乙箱后从乙箱中取出的这个产品是正品的概率为．
则已知从乙箱中取出的这个产品是正品时，从甲箱中取出的是个正品的概率为．
19.解：的定义域为，
又，
当，即时，在上恒成立，
故在上单调递减
当，即或，
令，解得，，
若时，则当或时，，
当时，，
所以在，上单调递减，
在上单调递增
若时，在上恒成立，
故在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在，上单调递减，
在上单调递增．
由可知，当时，有两个极值点，，
则，
由题意可得，，
则
，
令，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
故当时，取得最大值，
所以
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