2025年九年级数学中考二轮复习四边形综合解答题专题提升训练（含解析）

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2025年九年级数学中考二轮复习四边形综合解答题专题提升训练
1．如图，的对角线，相交于点，点，在上，且．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长．
2．已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
3．已知：如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．
4．如图．在中，是的中点，连接是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
5．如图，是矩形对角线的中点，，，是边上一动点（不与、重合）
(1)的延长线交于，求证：四边形是平行四边形；
(2)连接、，四边形能否成为菱形？若能，请求出此时的长；若不能，请说明理由.
6．如图，中，把沿翻折得到，、相交于点F．
(1)求证：；
(2)连接交于点O，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
7．如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至点E，使，连接交于点F，M是中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的面积．
8．如图，在四边形中，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是菱形；
(3)在（2）的条件下，若菱形的面积为，求的长．
9．如图，在中，，是的中点．过点作，过点作，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
10．已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连结交于点，如果，求证：．
11．如图，矩形的对角线与相交于点，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当，，求的长．
12．如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求和的长．
13．如图，在中，是对角线上一点，连接，．
(1)尺规作图：过点作交于点，连接；
(2)若，，，求证：四边形是矩形．
14．如图1，菱形中，，，点，分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)求的最小值；
(3)如图2，线段的中点是点，连接，，求四边形的面积．
15．如图，在矩形中，，，点是边上一点，，连接，．点和点分别是边和线段上的动点，连接．
(1)求证：；
(2)如图1，若，，求的长；
(3)如图2，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在边上，点的对应点在线段上，交于点，若，求证：．
16．如图所示，在四边形中，，点为上一点，且，过点作交的延长线于点，连接，且，连接交于点．

(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是菱形；
(3)若，设，求的值．
17．如图1，已知矩形对角线和相交于点，点是边上一点，与相交于点，连接．
(1)若点为的中点，则的值为________．
(2)如图2，若点为中点，求证：．
(3)如图2，若，，且，求的长．
18．在正方形中，点P是边上点，点E在的延长线上，将线段绕点A顺时针旋转，到线段，连接
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，若正好经过点B，
①求证：；
②探究、、三条线段的数量关系并证明你的结论；
19．如图，在四边形中，点分别在边上．连接．
(1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且
①求证：；
②已知，，求的长；
(2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长．
20．如图，已知正方形的边长为2，点P、Q分别在边、上，平分．
(1)求证：；
(2)当，H是的中点时，求的长；
(3)点P、Q分别在边、上运动时，直接写出面积的取值范围．
21．如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长；
(3)如图2，若矩形是正方形，，求的值．
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《2025年九年级数学中考二轮复习四边形综合解答题专题提升训练》参考答案
1．(1)见解析
(2)四边形的周长为24
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的周长为12，
，
.
四边形的周长为24.
2．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件．
（1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
3．(1)见解析
(2)菱形，见解析
【分析】（1）先证明，，，，结合，即可得到结论；
（2）证明，四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形，可得，证明，可得，再进一步可得结论．
【详解】（1）证明：，
∴，，，
，
，，
，
∵，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
，，
∴，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
四边形为平行四边形，
为菱形；
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键．
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题得，，得到，得出；
（2）由，得到，由，是的中点，得到，得出，得到四边形是矩形，求出，，可证明，得到，求出．
【详解】（1）证明：，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，，
是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．(1)见解析；
(2)四边形能为菱形，.
【分析】此题主要考查菱形的性质与判定，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质.
（1）易证，即可求解；
（2）根据菱形的性质得，再根据勾股定理即可列方程求解.
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形
∴，
∴，，
∵是矩形对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
（2）四边形能为菱形，
此时有：，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由平行四边形的性质和折叠的性质可得，，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得，，则，是等腰三角形，由“”可证，可得，可证结论．
【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
，，
∵把沿翻折得到，
，，
，，
在和中，
，
，，
，，
又，
，
；
（2）解：，，
，是等腰三角形，
∵四边形是平行四边形，
，，，
，
∵把沿翻折得到，
，，
，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
（1）由菱形的性质得，，得为中位线，得；再证明，从而可得结论；
（2）由菱形的性质得，由得，设，则，由勾股定理得，，设斜边上的高为h，根据等积关系得，由可求的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴为的中点，
又M是中点，
∴为中位线，
∴；
在中，，
∴,
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
设斜边上的高为h，则有：
，
∴，
∴，
∴．
8．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得证；
（2）由题中条件证得的对角线，再由菱形的判定定理即可得证；
（3）由菱形的面积列方程求出，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形；
（3）解：由（2）可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、菱形的判定、菱形面积公式及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质、直角三角形性质是解决问题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识．
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定和性质得到，即可证明结论成立；
（2）根据勾股定理求出，再根据矩形的性质即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点．
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（2）∵是的中点．
∴，
∴
∵四边形是矩形
∴
10．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）先证，由，得，即可解答．
（2）由四边形为菱形，得，由，得①，②，由①×②得，，再证和，得到．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
（2）如图：
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴①
∵，，
∴，
∴即②
由①×②得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即．
11．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定，掌握矩形的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论；
（2）依据菱形的性质以及矩形的性质，即可得到的长，再根据勾股定理即可得到的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴在中，．
12．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形；
（2）解，得出，解，得出，然后菱形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：，平分，
，．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）解：，，，
在中，，
．
，
在中，，，
．
四边形是菱形，
．
13．(1)图见详解
(2)见详解
【分析】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的性质、矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）在的左侧作，交于点F，则即为所求．
（2）根据题意证明，可得，进而可得四边形是平行四边形．由题意知，则，则四边形是矩形．
【详解】（1）解：如图，在的左侧作，交于点F，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
则即为所求．
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
14．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，三角函数，
（1）由，所以．因为是菱形，且，所以与都是正三角形，从而，，故．
（2）解：过作延长线的垂线，交于点，设，则，根据勾股定理，得，所以当时，有最小值为．
（3）解：方法一：过点作边的垂线，交与点，交于点．再过点向边所在的直线作垂线，交的延长线于点．设，则，可得四边形的面积．方法二：取中点，连接，过作于，得，求出，，可得四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴与都是正三角形，
∴，，
∵
∴，
∴；
（2）解：过作延长线的垂线，交于点，设，则．
∵，
∴，，
∴．
在中，据勾股定理，得
，
∴当时，有最小值为．
（3）解：方法一：过点作边的垂线，交于点，交于点．再过点向边所在的直线作垂线，交的延长线于点．设，则，
∵线段的中点是点，
∴．
故．
过点作边的垂线，交于点．
同理可得，
∴四边形的面积．
方法二：取中点，连接，过作于，
则，
∵，
所以，
同理：，
∴．
15．(1)见解析；
(2)；
(3)见解析．
【分析】（1）在矩形中，，，，得出，，即可得，结合 ，即可证明．
（2）如图，设，，则，则，，在中，勾股定理得出关系式 ，由得，两式相结合得出 ，即可求解．
（3）证明，得出，即可得，根据，求出，，得出，由得，得出，再证明，可得，即可证明 ．
【详解】（1）证明：如图，在矩形中，，，，
，，
，
，
．
（2）解：如图，设，，则，
则，，
在中，，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
．
（3）证明：，，
，
∵
∴，，
，
∵，，
∴，
则，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质，旋转的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
16．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）由已知得；由题中两个平行条件得四边形是平行四边形，则有，则可得结论成立；
（2）由（1）知四边形是平行四边形，则有；再由可证明，则，得，可得四边形是平行四边形；再证明四边形是平行四边形，由，即可证明四边形是菱形；
（3）证明，得，进而得；由可得；即；由，最后得关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：如图，，
，
，
；
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）证明：如图，由（1）知四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，即，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（3）解：由（2）知 ，
；
，
，
，
，
，
由（1）知四边形是平行四边形，
，
；
，
；
，
；
，
，
，
即 ，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
17．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据题意得为的中位线，进而得出，则，根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）过作交于点，可得为的中位线，证明，根据全等三角形的性质，即可求解；
（3）过作交于点，可得是的中位线，证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）解：如图，
∵为矩形对角线交点，
∴，
∵为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，过作交于点，
∵，
∴，
∴为中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，则，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：如图，过作交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是中点，，
∴，
∴是中点，是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
18．(1)见解析
(2)①见解析 ②
【分析】（1）证明即可得证．
（2）①根据得到，结合，，得到即可证明．
②连接，证明，再证，即可得证．
【详解】（1）证明：∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②、、三条线段的数量关系是．理由如下：
连接，
∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂直定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
19．(1)①见解析；②
(2)
【分析】本题主要考查正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握正方形，矩形的性质证明三角形全等，合理作出辅助线是关键．
（1）①如图，延长至点，使，连接，根据正方形的性质可证，得到，再证，则有，即可求解；
②设，由题意和①得，，，，，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可；
（2）如图，延长交于点,可证，得到，则，，设，则由勾股定理得到，列式求解即可．
【详解】（1）解：①如图，延长至点，使，连接，
在正方形中，，，
在和中，
，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
②设，
由题意和①得，，，，，
在中，，
，
解得，
∴．
（2）解：如图，延长交于点,
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
解得，
．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）在上取点，使得，先证明，再证明，即可证明结论；
（2）连接，设，则，由（1）可知，，，，，，利用勾股定理求出，从而推出，再利用勾股定理求解即可；
（3）根据全等三角形的性质，得到，当点与点重合，点与点重合时，有最大值为，当时，有最小值，根据正方形的性质，推出，，再证明，结合角平分线的性质，求出，即可求出的长，从而得到面积的取值范围．
【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，
四边形是正方形，
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，，，
，，
又，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
正方形的边长为2，
，
，
设，则，
由（1）可知，，，
，，，，
，
在中，，
，
解得：，
，
H是的中点，
，
，
在中，；
（3）解：由（1）可知，，
，，
，
点P、Q分别在边、上运动，
当点与点重合，点与点重合时，有最大值为，
如图，当时，有最小值，
四边形是正方形，
，
和是等腰直角三角形，
，，
垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
综上可知，面积的取值范围为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，分母有理化等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
21．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和找准相似三角形．
（1）利用矩形的性质和三角形内角和定理，求出，通过等量代换即可求出的度数，从而证明；
（2）延长交于点G，根据矩形的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，求出长度，再证明，即可求出的长；
（3）设正方形的边长为，延长交于点G，根据正方的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，用a表示长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长，从而求出的值．
【详解】（1）证明：矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，延长交于点G，
矩形，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：设正方形的边长为，则，
如图，延长交于点G，
正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
．