专题01 实数、整式、分式与二次根式
目录
热点题型归纳 1
题型01 实数的运算 1
题型02 整式的运算 11
题型03 因式分解的计算 13
题型04 分式的计算 13
题型05 二次根式的计算 13
题型06 数与式的新定义计算 13
中考练场 20
题型01 实数的运算
实数的运算是初中数学计算的基础内容，涉及到实数的混合运算、特殊角的三角函数值计算等等，分值占比约3%~5%；
1.考查重点：实数的运算、特殊角的三角函数值计算等等。
2.高频题型：选择题、填空题中的直接计算题，解答题中的基础计算题。
3.高频考点：实数的四则运算、含特殊角的三角函数值计算。
4.能力要求：准确快速的计算能力。
5.易错点：运算时出现符号错误（忘记变号）、特殊角的三角函数值遗忘。
【提分秘籍】
实数的运算法则： 先乘方，再乘除，最后加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 绝对值的运算： ，常考形式：。 3、根式化简：； 4、0次幂、负整数指数幂以及﹣1的奇偶次幂的运算： ①；②；③；④。 5、特殊角的锐角三角函数值（附加）： 三角函数30°45°60°1
【典例分析】
例1．（2025·江苏宿迁·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂及锐角三角函数分别化简，然后进行计算．
【详解】解：原式
．
例2．（2025·江苏盐城·模拟预测）计算．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式、立方根的意义，有理数的乘方进行计算即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
．
例3．（2025·江苏苏州·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简再计算是解题关键．
先根据绝对值的定义、立方根、立方逐项化简，再加减即可．
【详解】解：原式．
例4．（2023·江苏镇江·模拟预测）计算：．
【答案】2
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别化简计算零指数指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再进行加减运算．
【详解】解：原式
．
例5．（2023·江苏宿迁·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的运算，涉及到特殊角的三角函数值、绝对值的性质、数的乘方及开方法则．分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、数的乘方及开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：
．
例6．（2024·江苏盐城·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算，先去绝对值，去括号，计算特殊角的三角函数值，化简二次根式，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
【变式演练】
1．（2024·江苏盐城·三模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．计算乘法运算和三角函数，再按照实数的运算顺序进行运算即可．
【详解】解：原式
故答案为：
2．（2024·江苏苏州·二模）计算
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算问题，掌握实数混合运算法则、特殊三角函数值、零次幂的性质是解题的关键．
先代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂，然后再算加减．
【详解】解：
．
3．（2024·江苏盐城·三模）计算：．
【答案】．
【分析】本题考查了实数的运算，分别根据特殊角的三角函数值，零指数次幂及算术平方根计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可，熟知零指数次幂及算术平方根的运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】原式
．
4．（2024·江苏盐城·三模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，根据绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值即可得出答案
【详解】原式
5．（2024·江苏常州·一模）计算：；
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先算负整数指数幂、去绝对值、特殊角三角函数值，然后再算乘除法，最后计算加减法即可．
【详解】解：
6．（2024·江苏宿迁·模拟预测）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、立方根的定义、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
．
题型02 整式的运算
整式的运算是初中数学基础的计算内容之一，涉及到整式的加减、整式的乘除和乘法公式，分值大概在10分左右；
1.考查重点：整式的四则运算、乘法公式的灵活应用。
2.高频题型：选择题、填空题中的直接计算题，解答题中的化简求值。
3.高频考点：完全平方公式与平方差公式的应用、代数式化简中的符号处理。
4.能力要求：准确快速的计算能力、代数式结构观察能力、公式逆用与变形的逻辑思维能力。
5.易错点：运算中符号错误（如负号遗漏）、公式混淆(如误写为。
【提分秘籍】
合并同类型： 法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。 整式的加减的实质： 合并同类项。 整式的乘除运算： ①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。 ②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。 ③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。 ④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。 ⑤多项式÷单项式：多项式的每一项除以单项式，变成单项式除以单项式。 乘法公式： ①平方差公式：。 ②完全平方公式：。
【典例分析】
例1．（2025·江苏苏州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算及求值，先计算完全平方、单项式乘多项式，再合并同类项，最后将代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
例2．38．（2024·江苏宿迁·二模）先化简，再求值：，其中
【答案】；15
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把，的值代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
例3．（2024·江苏扬州·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去掉中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
例4．（2024·江苏盐城·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7
【分析】本题考查整式的混合运算与求值法则的应用，主要考查计算与化简能力．根据乘法公式与单项式乘多项式法则先去括号，后合并同类项化简，再代入求值即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
例5．（2024·江苏盐城·三模）【阅读发现】
小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考：
两个公式：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，那么这个三角形的面积；
【尝试应用】
（1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积．
（2）已知一个三角形的三边长分别为，，，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用，，表示）
【发现关联】
思考关联：请你由秦九韶公式推导到海伦公式：，．
【答案】【尝试应用】（1）；见解析；（2）；【发现关联】见解析
【分析】尝试应用：（1）代入；过点作，设，则，在和中，应用勾股定理，可求出，，代入面积公式即可求解，
（2）过点作，设，，则，根据勾股定理得到，，联立得：，解得：，由面积公式得到：，代入即可求解，
发现关联：将应用平方差公式进行展开，即可求解，
本题考查了，勾股定理，平方差公式的运用，二次根式的应用，解题的关键是：熟练掌握勾股定理，平方差公式进行运算．
【详解】解：尝试应用（1）
，
过点作，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴，
∴这个三角形的面积为：，
（2）过点作，
设，，则，
则：，，
∴，解得：，
∴
；
发现关联：
；其中．
例6．（2024·江苏盐城·三模）观察下面的等式：，，，
(1)根据题目中规律的格式，写出的结果为 ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)
(2)
(3)推理说明见解析
【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）根据前4个等式，写出结果即可；
（2）根据上述等式，可得一般规律：第个等式为；
（3）证明等式左边等式右边即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：根据上述等式，可得一般规律：第个等式为；
（3）解：推理如下：
等式左边
等式右边，
故等式成立．
【变式演练】
1．（2024·江苏南京·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．先计算完全平方公式，平方差公式，再合并同类项，化简后代入求值．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
2．（2024·江苏盐城·一模）先化简，再求值：，其中x满足．
【答案】，
【分析】去括号，合并同类项，后变形，整体代入求值即可．
本题考查了整式的化简求值，熟练掌握合并同类项是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
故原式．
3．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证．
证明：∵，
∴（实数的加法法则），
（不等式的基本性质1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）
【答案】(1)①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）；②平方差公式；③不等式的基本性质1
(2)见解析
【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，平方差公式，由此即可证明问题；
（2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题．
【详解】（1）解：①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）．
②平方差公式．
③不等式的基本性质1．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．（2023·江苏常州·一模）先化简，再求值∶，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查运用乘法公式进行整式运算，代入求值，掌握整式运算法则是解题的关键．
根据乘法公式展开，再根据整式混合运算法则进行计算，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
5．（2023·江苏常州·二模）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a）、中斜（记为b）和大斜（记为c），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为，
（1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求的面积．
深入探究
古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积， ，
（2）请你用秦九韶公式证明海伦公式．
灵活应用
结合上面学习的知识解决以下问题：
（3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）
【分析】本题考查了使用平方差公式变形整式，三角形的面积与其内切圆的关系等知识，解决问题的关键是变形等式．
（1）把，，代入公式求得结果；
（2）将秦九韶公式利用平方差公式分解因式，进而得出海伦公式结论；
（3）先求出三角形的面积，进而根据三角形面积等于其周长与内切圆的半径之积的一半，列出方程，求得结果．
【详解】解：（1）由题意得，，，，
∴；
（2）证明：
设，则．
（3）解：∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
设三角形的内切圆半径为r，
∴，
∴，
则这个三角形的内切圆半径为：．
6．（2023·江苏盐城·三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积与较大数的和一定为某个正数的平方．
举例验证：（1）当，，则
推理证明：小刚同学做了如下的证明：
设，∵m，n是连续的正整数，∴
∵，∴；∴一定是正数的平方数．
（2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容；
(注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可)
类比探究：（3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论；
深入思考：（4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若(m，n为两个连续正整数，，)，则p一定是 ．(填：奇数、偶数)
【答案】（1）4；（2）n(也可)；（3）证明见解析；（4）奇数．
【分析】（1）代入计算，求算术平方根即可；
（2）将整体代入消元即可得解；
（3）将整体代换消元即可得解；
（4）利用前两问的结果代入去根号即可得解．
【详解】解：（1）当，时，
故答案为：4；
（2） 设，
∵m，n是连续的正整数，
∴
∵，
∴；
∴一定是正数的平方数．
故答案为：n(也可)；
（3）证明：设m，n是连续的正整数，且，
∴，
∵，
∴；
∴一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数．
（4）由（2）（3）可知：当m，n为两个连续正整数，，时，，
∴，
∴
∴一定是奇数
故答案为：奇数．
【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简，整式的乘法等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键．注意：根据题中小明的猜想，括号内的数应填正数，因此括号内不要填负数．
题型03 因式分解的运算
因式分解是初中必考知识点，主要考查学生对因式分解的理解和掌握，同时学会区分因式分解和整式乘法之间的联系与区别，在中考分值大概5分左右；
1.考查重点：因式分解的基本方法（提公因式法、公式法、分组分解法等）。
2.高频题型：解答题中综合因式分解题。
3.高频考点：多项式因式分解的彻底性、十字相乘法的运用。
4.能力要求：准确快速的计算能力、代数式结构观察能力、公式逆用与变形的逻辑思维能力。
5.易错点：无法确定使用哪个方法来进行因式分解。
【提分秘籍】
1、因式分解的方法： ①提公因式法：； ②公式法：平方差公式： 完全平方公式：。 ③十字相乘法：在中，若，则： 。
【典例分析】
例1．（2025·江苏镇江·模拟预测）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据提公因式法、公式法分解因式进行判断即可．
本题考查了因式分解-提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：A、，原结果错误，故此选项不符合题意；
B、在有理数范围内不能因式分解，故此选项不符合题意；
C、，原结果错误，故此选项不符合题意；
D、，结果正确，故此选项符合题意：
故选：D．
例2．（2024·江苏苏州·一模）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
直接根据因式分解方法分解左边或由等式右边整式乘法计算验证是否成立即可判断．
【详解】解：A： ，故A成立，符合题意；
B：，故B不成立，不符合题意；
C： ，故C不成立，不符合题意；
D： ，故D不成立，不符合题意；
故选B．
例3．（2024·江苏宿迁·二模）对于任意整数a，多项式都能( )
A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式展开进行因式分解，进而即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
∴多项式都能被整除，
故选：C．
例4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）若实数a、b满足，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解的应用、代数式求值等知识点，熟练掌握提公因式法成为解题的关键．
将左边因式分解可得，再结合即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴．
答案为：．
例5．（2023·江苏扬州·一模）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了公式法分解因式，利用平方差公式进行分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
例6．（2023·江苏扬州·二模）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
【变式演练】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵，，
，
故答案为：2．
2．（2023·江苏无锡·模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，注意多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【详解】解：，
故答案为：．
4．（2023·江苏南通·二模）分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2．
【答案】3a(a-2b)2
【分析】先提公因式3a，再用完全正确平方公式分解即可．
【详解】解：原式=3a(a2-4ab+4b2)
=3a(a-2b)2．
【点睛】本题词考查综合运用提公因式与公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．（2024·江苏南通·模拟预测）分解因式:．
【答案】2ab(a-2b)( a+2b).
【分析】先提取公因式2ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：=2ab(a2-4b2)= 2ab(a-2b)( a+2b).
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
6．（2024·江苏无锡·模拟预测）因式分解：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先提取公因式，然后按照完全平方公式分解因式即可；
（2）先按照完全平方公式分解因式，再按照平方差公式分解因式即可；
（3）按照平方差公式分解因式，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
题型04 分式的运算
分式的运算是中考数学的必考计算题，一般涉及到分式的有无意义条件，分式的四则运算等，一般考试分数在5~10分左右；
1.考查重点：分式的四则运算。
2.高频题型：选择题、填空题中的直接计算题，解答题中的分式化简求值。
3.高频考点：分式的化简求值。
4.能力要求：准确快速的计算能力。
5.易错点：运算中符号错误（如负号遗漏）、去分母时要注意符号。
【提分秘籍】
分式的概念及性质： 形如，都是整式的式子叫做分式。简单来说，分母中含有字母的式子叫做分式。 分式的分子与分母同时乘上（或除以）同一个不为0的式子，分式的值不变。即： ，。 分式的通分： 把几个异分母的分式利用分式的性质化成分式值不变的几个同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做分母的最简公分母。 公分母＝系数的最小公倍数乘上所有字母（式子）的最高次幂。 分式的约分： 利用分式的性质约掉分式中分子分母都存在的公因式的过程叫做约分。 公因式＝系数的最大公因数乘上相同字母（式子）的最低次幂。 分子分母不存在公因式的分式叫做最简分式。约分时一般把分式化成最简分式。 分式的加减运算： ①同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。即：。 ②异分母的分式相加减，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式进行加减。即：。 分式的乘除运算： ①分式的乘法：分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。即：。 ②分式的除法：除以一个分式，等于乘上这个分式的倒数式。即：。
【典例分析】
例1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）下列分式，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】解：A、无论取何值，，分式都有意义，故选项符合题意；
B、当时，分式无意义，故选项不符合题意；
C、当时，分式无意义，故选项不符合题意；
D、当时，分式无意义，故选项不符合题意；
故选：A．
例2．（2024·江苏无锡·二模）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
例3．（2024·江苏徐州·三模）如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍
C．不变 D．缩小为原来的倍
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键．
把分式中的换成换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可．
【详解】解：中的都扩大3倍，得出，
那么分式的值扩大3倍，
故选：B．
例4．（2024·江苏扬州·一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记（n取正整数），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的化简计算是解本题的关键，化简为，代入算式，利用裂项相消计算，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，，，，，
，
，
，
，
．
故选：D．
例5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握整体代入思想，是解题关键．
根据，可得，又因为，再整体代入即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：1．
例6．（2025·江苏盐城·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】；1
【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，将分子、分母利用乘法公式进行因式分解，约分化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【变式演练】
1．（2024·江苏常州·二模）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式中分母不能为0，
依据分母不能为0即可解答．
【详解】解：代数式有意义，
，
解得：，
故选：B．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查的是分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零，据此进行解答即可．
【详解】∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：且．
故答案是：且．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）计算．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】解：
4．（2023·江苏南京·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查分式的运算．熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键．注意，在计算时，能进行因式分解的要进行因式分解，最终结果要化为最简分式．
先将括号内的式子进行通分计算，再对后面分式的分子分母进行因式分解，然后将除法转化为乘法进行约分计算．
【详解】解：
=．
5．（2023·江苏淮安·模拟预测）先化简，再求值：其中．
【答案】；
【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则化简再代数求值即可．
【详解】解：原式
，
将代入，
原式
．
6．（2024·江苏淮安·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
同时计算括号中的异分母分式加法，将除法化为乘法，同时将除数的分子分母分解因式，再计算乘法并化简，最后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
当时，
题型05 二次根式的运算
二次根式的运算是初中数学必考的计算题之一，涉及到二次根式的加减乘除法、二次根式的性质等，中考分值大概在5分左右；
1.考查重点：二次根式的四则运算、二次根式的性质。
2.高频题型：选择题、填空题、解答题中的直接计算题。
3.高频考点：二次根式的四则混合运算、分母有理化。
4.能力要求：准确快速的计算能力。
5.易错点：运算中符号错误（如负号遗漏）、分母有理化。
【提分秘籍】
1、二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 2、二次根式的乘除法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 3、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【典例分析】
例1．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，解得．
故选：A．
例2．（2024·江苏盐城·三模）a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A． B．b C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故选：C．
例3．（2025·江苏宿迁·一模）已知m是的小数部分，则的值为 ．
【答案】4
【分析】先估算得到，则，即，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式，去绝对值得原式，然后把m和的值代入计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键．
【详解】解：是的小数部分，
，
原式，
，
，即，
原式
．
故答案为：．
例4．（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ．
【答案】2024
【分析】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
例5．（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先化简括号内分式，再进行乘法运算，最后再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
例6．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）；
(2)结合图中思路，解释该方法的合理性．
【答案】(1)6.6
(2)见解析
【分析】本题考查的是无理数的估算，新定义的含义，完全平方公式的应用，理解新定义的含义是解本题的关键；
（1）根据新定义的法则进行估算即可．
（2）设，其中，再变形，结合完全平方公式可得结论．
【详解】（1）解：由新定义可得：
；
（2）解：设，其中．
则．
将两边平方，得．
∵ ，
∴ 的值会更接近于0，不妨近似为0．
∴ ．
∴ ，
即．
【变式演练】
1．（2024·江苏无锡·三模）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求函数自变量的求值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，求出结果即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
2．（2024·江苏淮安·三模）估计的值应在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式加减运算，无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先将化简为，再由即可得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．（2023·江苏泰州·二模）已知满足，则 ．
【答案】2023
【分析】本题主要考查二次根式的性质，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质可得，由此可化简绝对值，得，所以有，由此即可求解．
【详解】解：由题意，得，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2023
4．（2024·江苏常州·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先计算二次根式的化简和加减运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简，再计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式根据特殊角三角函数值，零指数幂以及二次根式的乘法运算法则分别计算后，再进行加减运算即可
【详解】解：
．
6．（2024·江苏宿迁·三模）计算题：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，先计算二次根式、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，再化简绝对值，最后计算加减即可．
【详解】解：
．
题型06 数与式的新定义运算
数与式的新定义运算，是本模块较难的一个考点，常和本模块的其他知识点综合考查，故理解题干尤为重要；这一类题型中考要么不考，一旦考查分值在5~10分；
1.能力要求：准确快速的计算能力、代数式结构观察能力、公式逆用与变形的逻辑思维能力。
2.易错点：题干理解不彻底、衔接的知识点混乱。
【提分秘籍】
数与式的新定义运算，关键在于要读懂题干的意思，学会将题目中的定义转化为学过的知识点，这样做题会轻松很多。
【典例分析】
例1．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识，
首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可．
【详解】∵，是一对“互助数”
∴
去分母得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
整理得，
∴
∴或
∴或
∴解得或
但当时，，，不符合题意，
所以或，
∴p的值可以为．
故选：A．
例2．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值的小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如：12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以．如果一个两位正整数，（，，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（ ）
（1）（2）15和26是“吉祥数”；（3）“吉祥数”中，的最大值为．
（4）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，则对任意一个完全平方数，总有；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（4），根据吉祥数的定义判断（2）和（3），即可得出答案．
【详解】（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8
∵
∴6×8是48的最佳分解，
∴，故（1）正确；
（2），故15为吉祥数；，故36为吉祥数，故（2）正确；
（3）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为
∵t为吉祥数
∴
∴
∵，x，y为自然数
∴吉祥数有：15，26，37，48，59
∴，，，，
∴最大值为，故（3）正确；
（4）对任意一个完全平方数m设（n为正整数）
∵
∴是m的最佳分解
∴对任意一个完全平方数m，总有，故（4）正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是新定义，难度适中，解题关键是掌握最佳分解和吉祥数的概念．
例3．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根．
【详解】解：∵，
∴，
整理可得，
又关于的方程有两个实数根，
，
解得：且，
故答案为：且．
例4．（2024·江苏苏州·二模）对于定义运算，满足以下性质：①；②；③．例：，若，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据运算规则以及已知条件即可求解.
【详解】解：
，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2.
例5．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 倍．
【答案】1000
【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．
【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，
当震级为8级的地震所释放的能量为：，
当震级为6级的地震所释放的能量为：，
，
震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．
故答案为：1000．
【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．
例6．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求+的值．
【答案】(1)1；
(2) ．
【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组：
（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
， 则有方程组，
解得，
∴．
【变式演练】
1．（2023·江苏盐城·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N 分式”．
例如.分式 与 互为“三 分式”．
(1)分式 与_____互为“六 分式”；
(2)若分式 与互为“一 分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五 分式”．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据新定义，用即可求解；
（2）根据定义可得，根据分式的加减进行计算，即可求解；
（3）根据题意首先利用倒数关系，将、 进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断．
【详解】（1）解：依题意，，
∴分式 与互为“六 分式”，
故答案为：；
（2）解：∵分式 与互为“一 分式”
∴
即
∴，
即，
∵a，b为正数
∴
（3）∵正数x，y互为倒数，
∴
∴
∴分式 与 互为“五 分式
【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．
2．（2022·江苏苏州·二模）定义：若，则称a与b是关于1的平衡数．
(1)7与______是关于1的平衡数，与_______是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）．
(2)若，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)不是，理由见解析
【分析】（1）根据题目定义进行整式运算即可；
（2）通过计算的值与1进行比较即可．
【小题1】解：设7的关于1的平衡数为，
则，
解得，
与是关于1的平衡数，
设的关于1的平衡数为，则，解得，
与是关于1的平衡数，
故答案为：，；
【小题2】与不是关于1的平衡数，理由如下：
，
，
，
与不是关于1的平衡数．
【点睛】此题考查了利用整式加减解决新定义问题的能力，关键是能根据题目定义准确列式、计算．
3．（2024·江苏南通·一模）对有理数，，定义新运算“”如下：，例如：，求的值
【答案】-4
【分析】根据，可以求出所求式子的值．
【详解】解：∵，
∴．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是理解题中给出的．
4．（2023·江苏扬州·二模）定义：如果代数式是常数）与是常数），满足则称a1+a2=0,b1+b2=0,c1+c2=0,两个代数式互为”牛郎织女式”
（1）写出的“牛郎织女式”
（2）若与互为“牛郎织女式”，求（mn）2015的值
（3）无论x去何值时，代数式的值总大于其“牛郎织女式”的值，求a的取值范围
【答案】（1）；（2）-1；（3）a＞1.
【详解】试题分析：（1）根据a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，求出a2=1，b2=-2，c2=3，从而求出的“牛郎织女式”
（2）根据“牛郎织女式”的定义得到：，从而解得m=-，n=3，进而求出（mn）2015的值；
（3）作差比较即可求取a的取值范围.
试题解析：（1）根据a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，得，a2=1，b2=-2，c2=3，
故的“牛郎织女式”为：；
（2）∵与互为“牛郎织女式”
∴
解得，m=-，n=3，
故（mn）2015=（-）×3=-1；
（3）的“牛郎织女式”为
∴-（）
=2（x2-2x+1）+2a-2
=2（x-1）2+2a+2
若代数式的值总大于其“牛郎织女式”的值
则2a-2＞0
故a＞1.
考点：求代数式的值.
5．（2024·江苏扬州·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ．
【答案】4160
【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键．
【详解】由题意得：
∴；
∴；
∴；
∴；
∴；
∴
∴，，
，
，
由规律可得每三次变换为一个循环，
∴
∴
故答案为：4160．
6．（2023·江苏南京·二模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数---“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”，如426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除，问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 个．
【答案】7
【分析】设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），得出百位数字和十位数字的和为2a+5，再分别取a=1，2，3，4，计算判断即可得出结论．
【详解】611，617，721，723，729，831，941共7个，
理由：设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），
∴百位数字和十位数字的和为a+a+5=2a+5，
当a=1时，2a+5=7，
∵7能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617；
当a=2时，2a+5=9，
∵9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729；
当a=3时，2a+5=11，
∵11能被1整除，
∴满足条件的三位数有831；
当a=4时，2a+5=13，
∵13能被1整除，
∴满足条件的三位数有941；
∴满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
故答案为7．
【点睛】此题主要考查了数的整除问题，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．
1．（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】D
【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，
根据题意，得
，
当时，，都能成立；
当时，则，则，
故，
故，
故一定能被8整除，
故选：D．
2．（2025·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．（2025·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记数法表示即可．
【详解】解：
∴一个水分子的质量大约是．
故选：C．
4．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可
【详解】解：∵，
，
，
∴第5个数为，
第6个数为，
第7个数为，
故选：D．
5．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选B．
6．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵，，
，
故答案为：2．
7．（2024·江苏徐州·中考真题）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：将5146000000用科学记数法表示为．
故答案为：．
8．（2024·江苏镇江·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．观察原式，发现公因式为；提出后，即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：
9．（2024·江苏镇江·中考真题）使分式有意义的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
分式有意义，则分母，由此易求的取值范围．
【详解】解：当分母，即时，分式有意义．
故答案为：．
10．（2024·江苏常州·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同分母分式加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
11．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了求代数式的值，把整体代入化简计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：4．
12．（2024·江苏徐州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简．
【详解】解：
，
当时，原式．
15．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：．其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
16．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程：
解：①
②
③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析
【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键．
【详解】解：从第②步开始出现错误．
正确的解题过程为：
原式．
17．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析
【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有行，
∴铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；；；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，
∴相当于有列，
∴铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，
根据题意得一共有列，行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，
∴铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题
由上得：，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵，
当时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 实数、整式、分式与二次根式
目录
热点题型归纳 1
题型01 实数的运算 1
题型02 整式的运算 11
题型03 因式分解的计算 13
题型04 分式的计算 13
题型05 二次根式的计算 13
题型06 数与式的新定义计算 13
中考练场 20
题型01 实数的运算
实数的运算是初中数学计算的基础内容，涉及到实数的混合运算、特殊角的三角函数值计算等等，分值占比约3%~5%；
1.考查重点：实数的运算、特殊角的三角函数值计算等等。
2.高频题型：选择题、填空题中的直接计算题，解答题中的基础计算题。
3.高频考点：实数的四则运算、含特殊角的三角函数值计算。
4.能力要求：准确快速的计算能力。
5.易错点：运算时出现符号错误（忘记变号）、特殊角的三角函数值遗忘。
【提分秘籍】
实数的运算法则： 先乘方，再乘除，最后加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 绝对值的运算： ，常考形式：。 3、根式化简：； 4、0次幂、负整数指数幂以及﹣1的奇偶次幂的运算： ①；②；③；④。 5、特殊角的锐角三角函数值（附加）： 三角函数30°45°60°1
【典例分析】
例1．（2025·江苏宿迁·一模）计算：．
例2．（2025·江苏盐城·模拟预测）计算．
例3．（2025·江苏苏州·模拟预测）计算：．
例4．（2023·江苏镇江·模拟预测）计算：．
例5．（2023·江苏宿迁·一模）计算：．
例6．（2024·江苏盐城·模拟预测）计算：．
【变式演练】
1．（2024·江苏盐城·三模）计算：．
2．（2024·江苏苏州·二模）计算
3．（2024·江苏盐城·三模）计算：．
4．（2024·江苏盐城·三模）计算：．
5．（2024·江苏常州·一模）计算：；
6．（2024·江苏宿迁·模拟预测）计算：
题型02 整式的运算
整式的运算是初中数学基础的计算内容之一，涉及到整式的加减、整式的乘除和乘法公式，分值大概在10分左右；
1.考查重点：整式的四则运算、乘法公式的灵活应用。
2.高频题型：选择题、填空题中的直接计算题，解答题中的化简求值。
3.高频考点：完全平方公式与平方差公式的应用、代数式化简中的符号处理。
4.能力要求：准确快速的计算能力、代数式结构观察能力、公式逆用与变形的逻辑思维能力。
5.易错点：运算中符号错误（如负号遗漏）、公式混淆(如误写为。
【提分秘籍】
合并同类型： 法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。 整式的加减的实质： 合并同类项。 整式的乘除运算： ①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。 ②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。 ③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。 ④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。 ⑤多项式÷单项式：多项式的每一项除以单项式，变成单项式除以单项式。 乘法公式： ①平方差公式：。 ②完全平方公式：。
【典例分析】
例1．（2025·江苏苏州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
例2．38．（2024·江苏宿迁·二模）先化简，再求值：，其中
例3．（2024·江苏扬州·三模）先化简，再求值：，其中．
例4．（2024·江苏盐城·二模）先化简，再求值：，其中．
例5．（2024·江苏盐城·三模）【阅读发现】
小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考：
两个公式：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，那么这个三角形的面积；
【尝试应用】
（1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积．
（2）已知一个三角形的三边长分别为，，，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用，，表示）
【发现关联】
思考关联：请你由秦九韶公式推导到海伦公式：，．
例6．（2024·江苏盐城·三模）观察下面的等式：，，，
(1)根据题目中规律的格式，写出的结果为 ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【变式演练】
1．（2024·江苏南京·三模）先化简，再求值：，其中．
2．（2024·江苏盐城·一模）先化简，再求值：，其中x满足．
3．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证．
证明：∵，
∴（实数的加法法则），
（不等式的基本性质1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）
4．（2023·江苏常州·一模）先化简，再求值∶，其中．
5．（2023·江苏常州·二模）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a）、中斜（记为b）和大斜（记为c），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为，
（1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求的面积．
深入探究
古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积， ，
（2）请你用秦九韶公式证明海伦公式．
灵活应用
结合上面学习的知识解决以下问题：
（3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径．
6．（2023·江苏盐城·三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积与较大数的和一定为某个正数的平方．
举例验证：（1）当，，则
推理证明：小刚同学做了如下的证明：
设，∵m，n是连续的正整数，∴
∵，∴；∴一定是正数的平方数．
（2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容；
(注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可)
类比探究：（3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论；
深入思考：（4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若(m，n为两个连续正整数，，)，则p一定是 ．(填：奇数、偶数)
题型03 因式分解的运算
因式分解是初中必考知识点，主要考查学生对因式分解的理解和掌握，同时学会区分因式分解和整式乘法之间的联系与区别，在中考分值大概5分左右；
1.考查重点：因式分解的基本方法（提公因式法、公式法、分组分解法等）。
2.高频题型：解答题中综合因式分解题。
3.高频考点：多项式因式分解的彻底性、十字相乘法的运用。
4.能力要求：准确快速的计算能力、代数式结构观察能力、公式逆用与变形的逻辑思维能力。
5.易错点：无法确定使用哪个方法来进行因式分解。
【提分秘籍】
1、因式分解的方法： ①提公因式法：； ②公式法：平方差公式： 完全平方公式：。 ③十字相乘法：在中，若，则： 。
【典例分析】
例1．（2025·江苏镇江·模拟预测）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2024·江苏苏州·一模）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·江苏宿迁·二模）对于任意整数a，多项式都能( )
A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
例4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）若实数a、b满足，，则的值是 ．
例5．（2023·江苏扬州·一模）分解因式： ．
例6．（2023·江苏扬州·二模）因式分解：
(1)；
(2)．
【变式演练】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
2．（2023·江苏无锡·模拟预测）因式分解： ．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）分解因式： ．
4．（2023·江苏南通·二模）分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2．
5．（2024·江苏南通·模拟预测）分解因式:．
6．（2024·江苏无锡·模拟预测）因式分解：
（1）
（2）
（3）
题型04 分式的运算
分式的运算是中考数学的必考计算题，一般涉及到分式的有无意义条件，分式的四则运算等，一般考试分数在5~10分左右；
1.考查重点：分式的四则运算。
2.高频题型：选择题、填空题中的直接计算题，解答题中的分式化简求值。
3.高频考点：分式的化简求值。
4.能力要求：准确快速的计算能力。
5.易错点：运算中符号错误（如负号遗漏）、去分母时要注意符号。
【提分秘籍】
分式的概念及性质： 形如，都是整式的式子叫做分式。简单来说，分母中含有字母的式子叫做分式。 分式的分子与分母同时乘上（或除以）同一个不为0的式子，分式的值不变。即： ，。 分式的通分： 把几个异分母的分式利用分式的性质化成分式值不变的几个同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做分母的最简公分母。 公分母＝系数的最小公倍数乘上所有字母（式子）的最高次幂。 分式的约分： 利用分式的性质约掉分式中分子分母都存在的公因式的过程叫做约分。 公因式＝系数的最大公因数乘上相同字母（式子）的最低次幂。 分子分母不存在公因式的分式叫做最简分式。约分时一般把分式化成最简分式。 分式的加减运算： ①同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。即：。 ②异分母的分式相加减，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式进行加减。即：。 分式的乘除运算： ①分式的乘法：分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。即：。 ②分式的除法：除以一个分式，等于乘上这个分式的倒数式。即：。
【典例分析】
例1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）下列分式，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·江苏无锡·二模）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
例3．（2024·江苏徐州·三模）如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍
C．不变 D．缩小为原来的倍
例4．（2024·江苏扬州·一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记（n取正整数），则的值为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知，则的值为 ．
例6．（2025·江苏盐城·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【变式演练】
1．（2024·江苏常州·二模）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）计算．
4．（2023·江苏南京·一模）计算：．
5．（2023·江苏淮安·模拟预测）先化简，再求值：其中．
6．（2024·江苏淮安·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
题型05 二次根式的运算
二次根式的运算是初中数学必考的计算题之一，涉及到二次根式的加减乘除法、二次根式的性质等，中考分值大概在5分左右；
1.考查重点：二次根式的四则运算、二次根式的性质。
2.高频题型：选择题、填空题、解答题中的直接计算题。
3.高频考点：二次根式的四则混合运算、分母有理化。
4.能力要求：准确快速的计算能力。
5.易错点：运算中符号错误（如负号遗漏）、分母有理化。
【提分秘籍】
1、二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 2、二次根式的乘除法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 3、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【典例分析】
例1．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·江苏盐城·三模）a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A． B．b C． D．
例3．（2025·江苏宿迁·一模）已知m是的小数部分，则的值为 ．
例4．（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ．
例5．（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中
例6．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）；
(2)结合图中思路，解释该方法的合理性．
【变式演练】
1．（2024·江苏无锡·三模）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏淮安·三模）估计的值应在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
3．（2023·江苏泰州·二模）已知满足，则 ．
4．（2024·江苏常州·二模）计算：．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：．
6．（2024·江苏宿迁·三模）计算题：．
题型06 数与式的新定义运算
数与式的新定义运算，是本模块较难的一个考点，常和本模块的其他知识点综合考查，故理解题干尤为重要；这一类题型中考要么不考，一旦考查分值在5~10分；
1.能力要求：准确快速的计算能力、代数式结构观察能力、公式逆用与变形的逻辑思维能力。
2.易错点：题干理解不彻底、衔接的知识点混乱。
【提分秘籍】
数与式的新定义运算，关键在于要读懂题干的意思，学会将题目中的定义转化为学过的知识点，这样做题会轻松很多。
【典例分析】
例1．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
例2．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值的小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如：12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以．如果一个两位正整数，（，，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（ ）
（1）（2）15和26是“吉祥数”；（3）“吉祥数”中，的最大值为．
（4）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，则对任意一个完全平方数，总有；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ．
例4．（2024·江苏苏州·二模）对于定义运算，满足以下性质：①；②；③．例：，若，则 ．
例5．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 倍．
例6．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求+的值．
【变式演练】
1．（2023·江苏盐城·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N 分式”．
例如.分式 与 互为“三 分式”．
(1)分式 与_____互为“六 分式”；
(2)若分式 与互为“一 分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五 分式”．
2．（2022·江苏苏州·二模）定义：若，则称a与b是关于1的平衡数．
(1)7与______是关于1的平衡数，与_______是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）．
(2)若，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．
3．（2024·江苏南通·一模）对有理数，，定义新运算“”如下：，例如：，求的值
4．（2023·江苏扬州·二模）定义：如果代数式是常数）与是常数），满足则称a1+a2=0,b1+b2=0,c1+c2=0,两个代数式互为”牛郎织女式”
（1）写出的“牛郎织女式”
（2）若与互为“牛郎织女式”，求（mn）2015的值
（3）无论x去何值时，代数式的值总大于其“牛郎织女式”的值，求a的取值范围
5．（2024·江苏扬州·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ．
6．（2023·江苏南京·二模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数---“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”，如426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除，问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 个．
1．（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
2．（2025·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
5．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
6．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
7．（2024·江苏徐州·中考真题）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ．
8．（2024·江苏镇江·中考真题）分解因式： ．
9．（2024·江苏镇江·中考真题）使分式有意义的的取值范围是 ．
10．（2024·江苏常州·中考真题）计算： ．
11．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则 ．
12．（2024·江苏徐州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
13．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
14．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中．
15．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：．其中．
16．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程：
解：①
②
③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
17．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
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