易错07 图形变换
易错陷阱1：弄错平移方向和距离致误
平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
易错提醒：平移时弄错方向和距离，切记是对应点之间的距离才叫做平移的距离。
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·广东清远·模拟预测）如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点G，连接．下列结论：
①；②是直角三角形；③四边形的面积是；
④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．(1)求证：；(2)若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．
易错陷阱2：混淆各种对称的概念致误
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，那么这个图形叫做轴对称图形。
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
易错提醒：1）轴对称和中心对称是两个图形之间的位置关系，轴对称图形和中心对称图形是一个图形的特征。2）误将中心对称图形中旋转180°记为其他角度，如等边三角形旋转60°能重合，但它不是中心对称图形。
例1．（2024·广东中山·一模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025·广东广州·模拟预测）你有没有把零花钱储存到银行的习惯？下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式2．（2025·广东深圳·一模）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
易错陷阱3：混淆平行投影和中心投影的概念致误
平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的。中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。
易错提醒：1）根据不同点区分平行投影和中心投影：平行投影中，物体上的每个点与其影子上的对应点的连线互相平行（或在同一直线上）；2）中心投影中，物体上的每个点与其影子上的对应点的连线所在的直线交于一点，且交点时光源所在的位置。
例1．（2025·广东佛山·一模）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定
变式1．（2023·广东深圳·一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A．B．C． D．
变式2．（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是 米．
易错陷阱4：分不清三视图的实线和虚线致误
几何体的三视图：画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线。易错提醒：画物体的三视图时，一是要正对物体，而不能斜看向物体；二是看得见部分的轮廓线要画成
实线，看不到部分的轮廓线要画成虚线；三是要把看得见的边缘、棱、顶点等等都要画出来，否则会产生错误视图，从而导致解题出错。
例1．（2024·河南周口·一模）如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025·广东揭阳·一模）如图1所示为烽火台，其建筑主体为正四棱台，图2几何体为其结构图．如图2所示，正四棱台是由底面为正方形的正四棱锥切割所得到的，则图2几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·广东云浮·一模）如图，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
易错陷阱5：立体感不强，数的过程易出错
易错提醒：解答此类由视图还原几何体的问题，一般情况下都是由俯视图确定几何体的位置(有几行几列)，再由另外两个视图确定几第几行第几列处有多少个小正方体，简便的方法是在原俯视图上用标注数字的方法来解答。
例1．（2024·广东中山·模拟预测）如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则这个几何体中小正方体的个数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式1．（2024·广东中山·三模）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．3个
变式2．（2025九年级下·浙江·专题练习）一个由10个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示．
(1)在给定的虚线方格图中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
(2)给这个几何体添加一些相同的小立方块，如果从左面和上面看到的形状图保持不变，请直接写出最多可以添加多少个小立方块？
易错陷阱6：对位似的相关概念理解不清致误
位似：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P’所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。
易错提醒：注意位似多边形对应顶点都会经过同一个点，切不可通过主观感觉进行判断。
例1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·河北保定·三模）如图，正方形和正方形是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点，点，则它们位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025·广东深圳·一模）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
(1)填空：①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________；
(2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形．
(3)如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________．
易错陷阱7：未弄清图形变换前后的性质致误
旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等对应角相等。
易错提醒：在用图形变换性质的时候，记得看准对应点、对应线段及对应角，否则易出错。
例1．（2025·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
变式1．（2024·广东潮州·二模）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ．
变式2．（2025·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，，过点B的直线轴，点P在直线m上运动，是右侧的等腰直角三角形，且，点C在直线上，则当取最小值时点P的横坐标是 ．
变式3．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______；（2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，求的长．
1-1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
1-2．（2024·广东深圳·模拟预测）在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小王和小李先将一块含的三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的为，则四边形的周长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
1-3．（2024·广东广州·一模）如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
1-4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
1-5．（2024·广西南宁·二模）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．(1)将向右平移4个单位长度得到的，请画出；
(2)若点C的坐标为，请你在网格中画出平面直角坐标系，点O为坐标原点；
(3)在（2）的条件下，请画出关于点O对称的图形，并写出点的坐标．
2-1．（24-25九年级上·天津·期末）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2-2．（2025·广东·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2-3．（2024·广东广州·模拟预测）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3-1．（2023·广东东莞·一模）清晨，早起锻炼的人的影子方向是（ ）
A．朝东 B．朝西 C．朝南 D．朝北
3-2．（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m．
3-3．（2024·广东深圳·二模）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3-4．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍：如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义：①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：如图3，显然，，，可得，
所以， （依据）…
任务：(1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
4-1．（2024·广东·模拟预测）如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4-2．（2024·广东·模拟预测）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
4-3．（2024·广东东莞·三模）榫卯（sǔn m o），是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5-1．（2024·河北石家庄·一模）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
5-2．（2023·广东潮州·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．不能确定
5-3．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是由大小相同的8个小立方块搭成的几何体．
(1)请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图；
(2)若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是 ；
(3)用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块．
6-1．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6-2．（2024·山东·三模）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到'，①；②；③；④点、、三点在同一直线上.则以上四种说法正确的是______．
6-3．（2024·江苏·中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
7-1．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B． C． D．
7-2．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，将长方形纸片进行折叠，为折痕，点A与点、点B与点、点C与点重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7-3．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
7-4．（2024·四川泸州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ．
7-5．（2025·广东深圳·一模）【问题背景】：如图1，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F．
【实验探究】：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现 ；将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2所示，发现 ；
（2）小亮同学继续将绕点B按逆时针方向旋转，连接，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展延伸】：（3）在以上探究中，当旋转至D、E、F三点共线时，的长为 ．
7-6．（2025·广东·模拟预测）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，，过点作射线，垂足为，点在上．
(1)【动手操作】如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为______度；
(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，若在直角中，，，点在线段上，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错07 图形变换
易错陷阱1：弄错平移方向和距离致误
平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
易错提醒：平移时弄错方向和距离，切记是对应点之间的距离才叫做平移的距离。
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由平移的性质可知，，∵，∴，
∴，∴平移的距离为，故选：A．
变式1．（2024·广东清远·模拟预测）如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点G，连接．下列结论：
①；②是直角三角形；③四边形的面积是；
④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：由平移的性质得：，，，，
四边形是平行四边形，则，，故①不正确；
，即，，，是直角三角形，故②正确；
设的边上的高为，则，，
，故③正确；
，平行四边形是菱形，故④正确；
，，，，与不全等，故⑤不正确；
综上所述，正确结论的个数为3，故选：C．
变式2．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．(1)求证：；(2)若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)当点在线段的中点时，四边形是菱形，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，
由平移的性质可得，
∴，∴
（2）解：当点在线段的中点时，四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是矩形，∴，，，
由平移的性质可得，∴，
∴四边形是平行四边形，∵，∴，
∵点是线段的中点，∴，∴，∴四边形是菱形．
易错陷阱2：混淆各种对称的概念致误
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，那么这个图形叫做轴对称图形。
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
易错提醒：1）轴对称和中心对称是两个图形之间的位置关系，轴对称图形和中心对称图形是一个图形的特征。2）误将中心对称图形中旋转180°记为其他角度，如等边三角形旋转60°能重合，但它不是中心对称图形。
例1．（2024·广东中山·一模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．
变式1．（2025·广东广州·模拟预测）你有没有把零花钱储存到银行的习惯？下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】解：标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第一个、第三个标志，共2个．故选：C
变式2．（2025·广东深圳·一模）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．
易错陷阱3：混淆平行投影和中心投影的概念致误
平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的。
中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。
易错提醒：1）根据不同点区分平行投影和中心投影：平行投影中，物体上的每个点与其影子上的对应点的连线互相平行（或在同一直线上）；2）中心投影中，物体上的每个点与其影子上的对应点的连线所在的直线交于一点，且交点时光源所在的位置。
例1．（2025·广东佛山·一模）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，∴它的投影属于中心投影．故选B．
变式1．（2023·广东深圳·一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．故选：D．
子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
变式2．（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是 米．
【答案】
【详解】解：结合题意画出图形得：，，，，
小红的身高为米，他在路灯下的影子长为2米；小红距路灯杆底部为4米，
，，，，解得：，
则路灯灯泡距地面的高度是米．故答案为：．
易错陷阱4：分不清三视图的实线和虚线致误
几何体的三视图：画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线。
易错提醒：画物体的三视图时，一是要正对物体，而不能斜看向物体；二是看得见部分的轮廓线要画成
实线，看不到部分的轮廓线要画成虚线；三是要把看得见的边缘、棱、顶点等等都要画出来，否则会产生错误视图，从而导致解题出错。
例1．（2024·河南周口·一模）如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
即的左视图是；故选：B．
变式1．（2025·广东揭阳·一模）如图1所示为烽火台，其建筑主体为正四棱台，图2几何体为其结构图．如图2所示，正四棱台是由底面为正方形的正四棱锥切割所得到的，则图2几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：从几何体的正面可以看到一个等腰梯形．故选：A．
变式2．（2024·广东云浮·一模）如图，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：从上边看，所得长方形有两条竖线．故选：B．
易错陷阱5：立体感不强，数的过程易出错
易错提醒：解答此类由视图还原几何体的问题，一般情况下都是由俯视图确定几何体的位置(有几行几列)，再由另外两个视图确定几第几行第几列处有多少个小正方体，简便的方法是在原俯视图上用标注数字的方法来解答。
例1．（2024·广东中山·模拟预测）如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则这个几何体中小正方体的个数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层左边有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是个．故选B．
变式1．（2024·广东中山·三模）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．3个
【答案】B
【详解】解：根据题意，如图所示：或
故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）．故选：B．
变式2．（2025九年级下·浙江·专题练习）一个由10个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示．
(1)在给定的虚线方格图中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
(2)给这个几何体添加一些相同的小立方块，如果从左面和上面看到的形状图保持不变，请直接写出最多可以添加多少个小立方块？
【答案】(1)见解析(2)4个
【详解】（1）解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图1所示；
（2）解：在从上面看的图形的相应位置标可能摆放的最多小正方体的个数，所以最多可添加4个小立方块．
易错陷阱6：对位似的相关概念理解不清致误
位似：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P’所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。
易错提醒：注意位似多边形对应顶点都会经过同一个点，切不可通过主观感觉进行判断。
例1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是故选：D．
变式1．（2024·河北保定·三模）如图，正方形和正方形是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点，点，则它们位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解；连接DG并延长交x轴于M，∵点D与点G是一对对应点，
则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M，
设直线DG解析式为； ，将，代入得：
，解得： ，∴直线DG解析式为 ，
令y=0，可得： ，，即位似中心的坐标是．故选A．
变式2．（2025·广东深圳·一模）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
(1)填空：①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________；
(2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形．
(3)如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________．
【答案】(1)①；②2(2)见解析(3)
【详解】（1）①解：根据新定义的意义，得答案为，故答案为：；
②解：根据旋转相似变换，得到，
根据得是边长为的等边三角形，得到，，
于是，故，故答案为：2，逆60°．
（2）证明：∵经过得到，∴，∴，；
∵经过得到，∴，∴∴；
∵，∴即，
∵，∴，∴，∴，∴，同理可证。
故四边形是平行四边形．
（3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，
∴四边形是矩形，∴．∵，∴
∵，∴，∵，∴，
∴将经过得到，∵，∴，
∴，∴，∴将经过得到，
此时∴四边形是正方形．故答案为：．
易错陷阱7：未弄清图形变换前后的性质致误
旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等对应角相等。
易错提醒：在用图形变换性质的时候，记得看准对应点、对应线段及对应角，否则易出错。
例1．（2025·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，∴，由题意可得是等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴Q点的运动轨迹是射线，∵，∴，
∵，∵，∴，
∵，，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为，故选：A．
变式1．（2024·广东潮州·二模）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于，
∵将沿着折痕翻折，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，故答案为：．
变式2．（2025·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，，过点B的直线轴，点P在直线m上运动，是右侧的等腰直角三角形，且，点C在直线上，则当取最小值时点P的横坐标是 ．
【答案】
【详解】解：设点P的坐标为，过点P作，垂足为E，过点C作，垂足为F，如图，
∵，∴．∵，∴．
在和中，，∴，∴
∵点C始终在直线上运动．∴点C的坐标为．
设直线与x轴、y轴分别交于点M、N，如图，当时，，当时，，
∴．∴．∵，∴．
作点A关于直线作对称点，连接，
则．∴，
∵．∴最小值为长，此时C位于处．
∵，∴．根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：
，解得，∴，∴，故答案为：．
变式3．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______；（2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，求的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）当时，和是等腰直角三角形，，，
，，，故答案为：；
（2）．理由：如图，过点作于点，
，，，
，，同理可得：，，
，，，；
（3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
．．线段绕点顺时针旋转得到线段，．．
是以为底边的等腰三角形，，，．
．．．
，．设，则，，，
．．，，
，，，，
，，．
1-1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：观察图形可知，A选项图案可以看作由“基本图案”经过平移得到，故选：A．
1-2．（2024·广东深圳·模拟预测）在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小王和小李先将一块含的三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的为，则四边形的周长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】B
【详解】根据平移性质，得到四边形是平行四边形，又，
故，，
故四边形的周长为cm，故选B．
1-3．（2024·广东广州·一模）如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：将沿方向平移到，，，
，，平移距离为3．故选：B．
1-4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
【答案】/
【详解】解：∵等腰中，，，∴，
∵为中线，∴，，∴，，∴，
∵将沿其底边中线向下平移，∴，，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴；故答案为：．
1-5．（2024·广西南宁·二模）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)将向右平移4个单位长度得到的，请画出；
(2)若点C的坐标为，请你在网格中画出平面直角坐标系，点O为坐标原点；
(3)在（2）的条件下，请画出关于点O对称的图形，并写出点的坐标．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)画图见解析，点的坐标为
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，坐标系即为所求，点O即为此坐标系的原点；
（3）解：如图，即为所求，
由图知，点的坐标为．
2-1．（24-25九年级上·天津·期末）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．
2-2．（2025·广东·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．
2-3．（2024·广东广州·模拟预测）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．
3-1．（2023·广东东莞·一模）清晨，早起锻炼的人的影子方向是（ ）
A．朝东 B．朝西 C．朝南 D．朝北
【答案】B
【详解】解：清晨，太阳在东方，所以早起锻炼的人的影子方向是朝西．故选：B．
3-2．（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m．
【答案】
【详解】解：由题意得：，，∴，由题意得：，
∴，∴，∴，∴，解得：，
∴路灯的高度是,故答案为：．
3-3．（2024·广东深圳·二模）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，，
∴，，∴．故选：B．
3-4．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍：如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义：①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：如图3，显然，，，可得，
所以， （依据）…
任务：(1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【答案】(1)见解析(2)等比性质；(3)① ②
【详解】（1）如图所示:
（2）材料三中的依据是指等比性质；设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得：
，∴；
（3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时
此时，因 , ,可得，所在直线解析式为：
令, 得, 即 .当经过点,的正上方时, 视差，
此时， 即，抛物线与轴交点的坐标为，
当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小，
即，抛物线顶点的纵坐标为.设抛物线解析式为，将等代入得,
，解得， ，
因为,,对称轴在轴右侧,所以, .故，此时，
所以，抛物线解析式为，
②由, 可得直线的解析式为，
得，解得，(舍)此时， ．
4-1．（2024·广东·模拟预测）如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：这个几何体的主视图是：故选：B．
4-2．（2024·广东·模拟预测）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：该锥形瓶的主视图的底层是等腰梯形，上层是矩形，故选：A．
4-3．（2024·广东东莞·三模）榫卯（sǔn m o），是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是：故选：C．
5-1．（2024·河北石家庄·一模）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【详解】解：如图所示： 或 ，
故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）．故选：B．
5-2．（2023·广东潮州·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：由俯视图易得最底层有3个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为个，故选：C．
5-3．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是由大小相同的8个小立方块搭成的几何体．
(1)请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图；
(2)若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是 ；
(3)用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块．
【答案】(1)见解析(2)(3)7；9
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：，故答案为：；
（3）解：搭这样的一个几何体最少需要个小立方块7，第一层5个，第二层2，搭这样的一个几何体最多需要个小立方块9，第一层5个，第二层4，故答案为：7；9．
6-1．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，∴点的对应点的坐标为，即，故选：．
6-2．（2024·山东·三模）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到'，①；②；③；④点、、三点在同一直线上.则以上四种说法正确的是______．
【答案】①②④
【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，故②正确；由位似图形中，对应边平行可知：，故①正确；
∵放大2倍得到，∴，∴，故③错误；
由位似图形中对应点的连线都经过同一点，∴点C、点O、点C’三点在同一直线上，故④正确；
故答案为：①②④．
6-3．（2024·江苏·中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（2，7）
【解析】（1）如图，△O′A′B即为所求；
（2）如图，△O″A″B即为所求；
（3）如图，∵点M是OA的中点，∴经过（1）旋转后坐标变为（，）
∴经过（1）位似变换后，M的对应点M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）．
7-1．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A.，，由对称得，
点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，
，，，，结论正确，故不符合题意；
B.不一定等于，结论错误，故符合题意；
C.由对称得，∵点 E ，F分别是底边中点，，结论正确，故不符合题意；
D. 过作，，，
，由对称得，，同理可证，
，结论正确，故不符合题意；故选：B．
7-2．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，将长方形纸片进行折叠，为折痕，点A与点、点B与点、点C与点重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据折叠的性质得，，
，，故选：C．
7-3．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接，矩形，，，，
由旋转的性质可得：，，，，
是等腰三角形，且，，，
在和中，，，，，
设，则，在中，根据勾股定理可得：，
，解得：，，故选：A．
7-4．（2024·四川泸州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，
∴，，∴，，∴，
根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，∴，
作轴于点，∴，，
∴，∴点的坐标为，故答案为：．
7-5．（2025·广东深圳·一模）【问题背景】：如图1，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F．
【实验探究】：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现 ；将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2所示，发现 ；
（2）小亮同学继续将绕点B按逆时针方向旋转，连接，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展延伸】：（3）在以上探究中，当旋转至D、E、F三点共线时，的长为 ．
【答案】（1）；；（2）结论仍然成立，见解析；（3）或
【详解】解：（1）如图：，
，，
如图2：绕点B按逆时针方向旋转，，
，，，故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：如图，绕点B按逆时针方向旋转，，
，，；
（3）当点E在的上方时，如图：，点E是边的中点，，
，，，
D、E、F三点共线，，，
，由（2）可得：，，；
7-6．（2025·广东·模拟预测）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，，过点作射线，垂足为，点在上．
(1)【动手操作】如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为______度；
(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，若在直角中，，，点在线段上，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析
【详解】（1）解：如图，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴图中的度数为度，故答案为：；
（2）．理由：如图，连接，
∵将射线绕点逆时针旋转与交于点，∴，
∵，∴，∴四边形内接于直径为的圆，
∴，∴，∴，∴；
（3）当点在线段上时，连接，过点作交于点，如图所示，
∵将射线绕点逆时针旋转与交于点，∴，
∵，，，∴，，
∴，，∴，
∵，，
∴，∴，∴，
∵，∴四边形内接于直径为的圆，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
即．
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