易错点05 图形与图形的变换
易错陷阱一：点、线、面、角
易错点1:三视图
三视图是工程界一种对物体几何形状约定俗成的抽象表达方式，能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图，包括主视图、俯视图、左视图三个基本视图。主视图是从物体的正面观察，物体的影像投影在背后的投影面上得到的视图，能反映物体的前面形状；俯视图是由物体上方向下做正投影得到的视图，能反映物体的上面形状；左视图是视点在物体的左侧，投影在物体的右侧的视图，能反映物体的左面形状。在画三视图时，需遵循长对正、高平齐、宽相等的投影规则。
易错提醒：在由立体图形画三视图时，容易漏掉物体的边缘、棱、顶点，或者将看得见的轮廓线和看不见的轮廓线画错。此外，对于组合体的三视图，需要特别注意形体间的相互位置关系，以及投影时的遮挡关系，避免因为空间想象能力不足而导致视图错误。同时，在理解三视图的投影规则时，也容易出现混淆，需要特别注意主视图、俯视图、左视图之间的对应关系。
易错点2:平面、侧面展开图
一、平面展开图
平面展开图是将立体图形的表面展开成平面图形。不同类型的立体图形有不同的平面展开图。例如：
1 长方体：由6个长方形（或两个正方形和四个长方形）组成。
2 正方体：有多种展开方式，如1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型和3-3型。
3 圆柱：两个底面是两个完全相同的圆，侧面展开是一个长方形（或正方形）。
4 三棱柱：由2个三角形和3个长方形组成。
5 圆锥：由一个圆和一个扇形组成。
6 三棱锥：由四个三角形组成。
7 四棱锥：由1个四边形和4个三角形组成。
二、侧面展开图
侧面展开图主要关注立体图形的侧面如何展开成平面图形。例如：
1 圆柱：侧面展开是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。
2 圆锥：侧面展开是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长。
易错提醒：（1）在绘制圆柱和圆锥的平面展开图时，容易忽略底面圆，只画出侧面展开图。实际上，底面圆也是图形的一部分，必须同时展示出来；（2）在识别立体图形的平面展开图时，缺乏空间想象能力，没有弄清折叠后立体图形相邻面、相对面在平面展开图中的位置关系。例如，正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形；（3）在将平面展开图折成立体图形时，容易忽视存在向里折和向外折两种不同的方式，这会影响最终结果的确定。
例1．如图所示的几何体是由四个相同的正方体搭建而成，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了从画简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键．根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可．
【详解】
解：俯视图是的形状是
故选：D．
例2．如图是一个立体图形的展开图，这个立体图形是（ ）
A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【答案】A
【分析】本题考查了几何体展开图，熟记常见几何体表面展开图的特征是解题的关键；
根据棱柱的展开图特征是由若干个长方形和两个全等的多边形组成，即可解答．
【详解】解；图中的展开图有两个全等的三角形（可作为底面）和三个长方形（可作为侧面），符合棱柱展开图的特点．
故选：A．
变式1．产自广西钦州的坭兴陶是中国四大名陶之一，以钦州两岸特有的陶土为原料，经独特工艺制作而成，具有“双料混炼、骨肉相融”的特点．右图是坭兴陶的茶杯，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图．找到从几何体的上面看所得到图形即可．
【详解】解：从上面看得到图形为：
故选：C．
变式2．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从正面看到的平面图形是：
故选：D．
变式3．数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每个公民应该具有的基本素养．如图是一个正方体盒子的展开图，每个面上各写有一个字，那么“素”字相对面的字是（ ）
A．核 B．心 C．学 D．数
【答案】B
【分析】本题主要考查正方体的展开图的性质，掌握正方体展开图的性质是解题关键；根据正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点即可求解．
【详解】解：“素”字相对面的字是“心”，
故选：B．
变式4．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“民”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．就 B．是 C．江 D．山
【答案】C
【分析】此题考查正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：由正方体的展开图可知：“人”和“是”相对，“就”和“山”相对，“民”和“江”相对，
故选C．
易错陷阱二：相交线与平行线
易错点3:平行的性质与判定
平行的性质
在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线，用符号“∥”表示。
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面；两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行；两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。
平行的判定
同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
易错提醒：（1）混淆平行线的性质定理和判定定理：性质定理是由平行得到角度之间的关系，而判定定理是已知角度之间的关系得到直线的位置关系；（2）不能结合图形正确分析两角的位置关系，如不能正确识别同位角、内错角或同旁内角；（3）在应用平行线的判定定理时，未能灵活应用角平分线的定义或其他几何知识；（4）对几何证明中的逻辑关系理解不清，导致证明过程混乱或错误；（5）在书写几何证明时，几何语言表述不清晰、不条理，导致证明过程难以被理解。
例3．如图，直线，的直角顶点在直线上，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的性质，根据平行线的性质证明，再结合垂直的定义与角的和差可得答案.
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
变式1．如图，，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的外角性质以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行的性质得到，再由三角形外角的定义求出答案即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选C．
变式2．如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G， D、C分别在M、N的位置上，若 ， 则（ ）.
A．55度 B．65度 C．60度 D．70度
【答案】D
【分析】此题主要考查折叠的性质，平行线的性质和平角的定义．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．由折叠的性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据平角的定义即可求得．
【详解】解：，，
，，
由折叠的性质可得，，
，
故选：D．
易错陷阱三：图形的轴对称
易错点4:三角形的折叠
一、三角形折叠后的图形性质
三角形折叠后，会形成新的图形结构，这些结构通常包括新的三角形、线段以及角度关系。重要的是理解折叠后哪些部分是全等的，哪些角是相等的，这通常基于几何对称性和全等三角形的性质。
二、角度计算
在三角形折叠问题中，经常需要计算折叠后的角度。这通常涉及到使用三角形外角性质、内角和性质以及角度的补角、余角等概念。同时，也需要灵活运用角平分线的性质，以及找到关键的平角，利用两角互补来求角的度数。
三、空间想象与图形解析
解决三角形折叠问题，需要具备良好的空间想象能力。这包括能够准确地在脑海中构建折叠后的图形结构，以及能够解析和识别折叠过程中图形的变化。
易错提醒：（1）忽视折叠后的图形全等性；（2）角度计算错误；（3）空间想象能力不足
易错点5:四边形的折叠
一、折叠的性质
折叠后，重叠部分全等，折痕是对称轴，对称点的连线被对称轴垂直平分。折叠问题通常涉及平行四边形的性质和判定、折叠的性质、对角线的性质、平行的性质等知识点。利用折叠的性质得到等边等角，以及识别折叠前后的图形，是解决折叠问题的关键。
二、轴对称的性质
折叠是对称的一种特殊情况，属于轴对称。轴对称图形和轴对称的性质是相同的，对应点到对称轴的距离相等。在解决四边形折叠问题时，需要明确图形的轴对称性质。
三、相关几何定理的应用
在解决四边形折叠问题时，常需要综合运用多种几何定理，如勾股定理、等腰三角形的性质等。这些定理的应用可以帮助推导出折叠后图形的性质和特点。
易错提醒：（1）混淆特殊四边形的判定条件；（2）未准确识别折叠前后的图形关系；（3）忽视折痕的作用。
易错点6:轴对称中的新定义
轴对称中的新定义可能涉及更复杂的图形变换和性质。一般来说，轴对称是指一个图形关于某条直线对称，即沿这条直线折叠后两部分完全重合。新定义可能引入更复杂的对称形式或相关概念，但基本思想仍然围绕对称轴和对称点展开。
易错提醒：（1）混淆轴对称与中心对称；（2）忽视对称轴的选择；（3）对称点性质的误用；（4）轴对称图形的复杂变换。
例4．如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案．
【详解】解：∵在，，，，
∴，
设，则，
由折叠可知，
在中，，
∴，
∴，
∴．
∴．
故选：A
例5．如图，在矩形中，，点分别在边上，将矩形沿折叠，得到四边形，且点恰好为边的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
设，则，进而得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程解方程，得出，进而根据折叠的性质以及平行线的性质得出则，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
依题意，，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∵折叠，
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴
故选：C．
例6．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴交于A，B两点．定义：点先关于坐标轴对称，再向下平移1个单位后得到点Q，称点Q为点P的对称平移点．当时，先关于x轴对称再向下平移1个单位得到点Q，当时，先关于y轴对称再向下平移1个单位得到点Q．
(1)点的对称平移点为________．
(2)若点的平移对称点在直线l上，求a的值；
(3)点在直线上，E点的对称平移点为点F；
①当时，面积等于，求m的值；
②当时，若F点到直线与x轴距离相等，求E点坐标．
【答案】(1)
(2)或；
(3)①；②或
【分析】此题考查一次函数的图象和性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）根据对称平移点的定义进行解答即可；
（2）分当时和当时两种情况进行解答即可；
（3）求出点A的坐标为，点B的坐标为，根据题意得到，当时，点即的对称平移点为点，设交于点，则，则，得到，即可求出答案；②当时，点即的对称平移点为点，则点在直线上，得到F点是直线与x轴的角平分线与直线的交点，求出，分两种情况：点F在的角平分线上和点F在的角平分线上，分别画出图形进行解答即可．
【详解】（1）解：∵，点先关于x轴对称再向下平移1个单位得到点，
∴点的对称平移点为，
故答案为：
（2）当时，点的平移对称点为，
∵在直线l上，
∴，
解得，
当时，点的平移对称点为，
∵在直线l上，
∴，
解得，
∴a的值为或；
（3）①对于直线l：，
当时，，当时，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
当时，点即的对称平移点为点，
设交于点，则，
∴，
∴，
解得（负值舍去）
②∵点在直线上，
∴，
当时，点即的对称平移点为点，
∴点在直线上，
∴F点到直线与x轴距离相等，
∴F点是直线与x轴的角平分线与直线的交点，
由①得，点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
第一种情况，如图，点F在的角平分线上时，设的角平分线与y轴的交点为H，过点H作于点K，
设则，
∵
∴，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，即，
即，则，
∴，
∴，
第二种情况，如图，点F在的角平分线上，此时，在上截取，则，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴点G的坐标是，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，即，
即，
则
∴，
∴，
综上可知，点E的坐标为或
变式1．如图，在中，，，，点D为边上一点，连接，将沿翻折得到，当与的直角边垂直时，的长为 ．
【答案】2或6
【分析】分两种情况讨论：①当时，延长交于点，由勾股定理可得，利用折叠的性质和角平分线的性质定理，得到，证明，从而设，，则，再证明，求出的值，即可得解；②当时，令与的交点为，由折叠和等腰三角形的性质，得到，即可得解．
【详解】解：①当时，延长交于点，
，，，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，，平分，
，
，
，
，
，
设，，则，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②当时，令与的交点为，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
综上可知，的长为2或6，
故答案为：2或6．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
变式2．在中，延长到，使，是上方一点，且，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，，如果，求的长；
(3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)；理由见解析
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）由，，并由（1）得，可知，求出和的长，可知的长．又因，，可得是等边三角形，可得出的长；
（3）如图，连接．可得是等腰直角三角形，从而得出．由（1）得：，则也是等腰直角三角形．根据折叠的性质，四边形是正方形，可得．则是等腰三角形．可得，据三角形内角和为，可求出，则，，可知．设，则，．
．
【详解】（1）证明：，，，
．
在与中，
，
．
．
（2）解：在中，
，，
，，．
由（1）得：．
，．
．
，
，．
．
，，
是等边三角形，
．
（3）解：如图，连接．
，，
是等腰直角三角形．
．
，
．
由（1）得：，
也是等腰直角三角形．
根据折叠的性质，四边形是正方形，
．
是等腰三角形．
．
，
．
，，
．
设，则，．
．
．
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，分母有理化等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
变式3．如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，轴对称的性质，矩形的对称轴为对边中点形成线段所在的直线，据此分情况讨论，分别画出图形，根据折叠和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图1，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接，
∵垂直平分，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得；
如图2，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接，
∵矩形，，
∴，，
∵、的中点、，
∴，四边形是矩形，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴，
∵中，，，，，
∴，
解得，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
变式4．（）如图①，在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交边于点．
【问题探究】①求证：；
【问题解决】②当时，若，求正方形的边长；
【实际应用】
（）如图②，有一块形状为正方形的纸片，小李要在边上找一点，然后将沿折叠，得到，过点作直线，分别交边于点，小李沿着裁剪交边于点，沿着裁剪交于点．当时，点为线段的中点吗？请说明理由．
【答案】（）①证明见解析；②；（）点为线段的中点，理由见解析
【分析】（）①由正方形和平行线的性质得，由余角性质得，进而即可得证；②由相似三角形的性质得，得，由折叠得，即得，即得到，得，，由勾股定理得，再代入得，进而即可求解；
（）证明得，，根据推出，，继而得到，再根据，可得，即得，即可求证．
【详解】解：（）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，，
∵沿折叠，得到，
∴ ，，，
∵，，
∴ ，
∵，
∴；
②解：∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又由折叠得，，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形的边长为；
（）解：点为线段的中点，理由如下：
∵，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点为线段的中点．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，平行线的判定和性质，余角性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式5．在平面直角坐标系中，已知点，将经过点垂直于x轴的直线记为直线，将经过点且垂直于y轴的直线记为直线．对于点P给出如下定义：将点P关于直线对称得到点，则称点为点P关于直线的“一次对应点”，再将点关于直线对称得到点Q，称点Q为点P关于M的“二次对应点”．
已知顶点坐标为．
(1)如图1，若点．
①将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于点M“二次对应点”为．请直接写出点关于直线的“一次对应点”：_________；点关于点M的“二次对应点”：___________；
②若点和点关于M的“二次对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求n的取值范围；
(2)若点B关于点M的“二次对应点”为点，且以A、B、为顶点的三角形恰与全等，请直接写出所有满足条件的点M的坐标：___________．
【答案】(1)①，；②或或
(2)或或或
【分析】本题是轴对称与平面直角坐标系的综合，全等三角形的性质与判定．
（1）①根据题目的新定义求解即可；
②根据新定义表达出点和点，再分三种情况讨论即可；
（2）先求出点关于M的“二次对应点”为，再由可得以A、B、为顶点的三角形恰与全等，则分和两种情况讨论，过作轴于点D，过作轴于点，再证明或，利用坐标列方程求解即可．
即可求出M的坐标．
【详解】（1）解：①∵将点关于直线对称得到点，
∴点关于直线的“一次对应点”为，
∵点，
∴将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，
∴点关于M的“二次对应点”为，
故答案为：，；
②∵点，
∴将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，
将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，
∴点关于M的“二次对应点”为，点关于M的“二次对应点”为，
线段与的边没有公共点有三种情况：
第一种情况：如图，线段在上方，
∴，
解得；
第二种情况：如图，线段在内部，
∴，
解得：；
第三种情况：如图，线段在点C下方，
∴，
解得；
综上所述，n的取值范围是或或；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，
∴点关于M的“二次对应点”为，
∴以A、B、为顶点的三角形恰与全等，有两种情况：
当时，如图，过作轴于点D，过作轴于点，则，，，，
∵，
∴，，，
当在第一象限时，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
解得，，
此时点M的坐标为；
当在第四象限时，，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，，
∴，，
解得，，
此时点M的坐标为；
同理，当时，，，
∴，
∴，，
∴，，
解得，，
∴点M的坐标为或；
综上所述，所有满足条件的点M的坐标或或或．
故答案为：或或或．
变式6．在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫做关于点的“关联点”
(1)①点，，点关于点A的“关联点”的坐标是______；
②若点关于点的“关联点”的坐标是，则点的坐标是______；
(2)直线分别与轴，轴相交于点，，是线段上的点．
①点，若直线上存在着点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围；
②点是以为圆心，1为半径的圆上的点，点关于点的所有“关联点”组成图形．若图形与坐标轴有公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)①；②或
【分析】本题主要考查了坐标与图形-轴对称和平移变换、一次函数的性质、解一元一次不等式，理解题中新定义，正确求出变换后的点的坐标是解答的关键．
（1）①根据题中定义，先确定翻折后的横坐标，再确定平移后的纵坐标即可；
②根据定义求解即可；
（2）①先求出点，，设点，根据题中定义得到点关于点的“关联点”的坐标为，由点在直线上得到，利用一次函数性质求解即可；
②设点，点为圆上任意一点，则，，，，，根据题中定义得到点关于点的“关联点”的坐标为，分图形G与x轴有公共点和图形G与轴有公共点，则两种情况求解即可．
【详解】（1）解：①∵点，，点关于点A的“关联点”，
∴点关于直线翻折，横坐标变为，纵坐标不变，即，
再向上平移1个单位，横坐标不变，纵坐标变为，
∴点关于点A的“关联点”的坐标是；
故答案为: ；
②∵点关于直线翻折后的横坐标为4，纵坐标不变为，再向上平移1个单位长度后坐标为，
所以点C的坐标为；
故答案为：；
（2）解：①对于，当时，，当时，由得，
∴直线与x轴交点，与y轴的交点为．
设点，
∵，
∴点P关于直线翻折后横坐标为，纵坐标为，再向上或向下平移个单位后，得到点关于点的“关联点”的坐标为，
∵点在直线上，
∴，即，
∵是线段上的点，
∴，
∴；
②设点，点为圆上任意一点，
则，，，，
∴，
点关于直线翻折后横坐标为，纵坐标为，再向上平移个单位，得到点关于点的“关联点”的坐标为，这些点组成图形．
若图形G与x轴有公共点，则有解，即，
因为，所以，解得，
又，所以；
若图形G与轴有公共点，则有解，，因为，所以，又，所以．
综上所述，或．
易错陷阱四：图形的旋转
易错点7:三角形的旋转
1、旋转的基本性质：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。在旋转过程中，图形的每一条边和每一个角都对应相等，即旋转前后的图形是全等的。
2、旋转的角度和方向：旋转的角度是图形绕旋转中心旋转过的度数，可以是顺时针或逆时针方向。顺时针旋转通常表示为负角度，逆时针旋转表示为正角度。
3、旋转中心：旋转中心是图形旋转的固定点，图形在旋转过程中始终围绕这个点进行。
4、三角形的旋转：三角形在旋转时，其三个顶点和三条边都会相应地绕旋转中心旋转。可以利用旋转的性质，通过连接旋转前后的对应点，根据线段的长度不变和角度不变的性质进行求解。
易错提醒：（1）旋转角度的计算：在计算旋转角度时，容易混淆顺时针和逆时针的方向，导致计算结果错误。应明确顺时针旋转为负角度，逆时针旋转为正角度；（2）图形重叠时的判断：当旋转后的图形与原图重叠时，容易在判断线段或角是否相等时出错。此时应利用全等三角形的判定方法，先找对应边和对应角，再进行判断；（3）旋转中心的确定：有时题目会故意模糊旋转中心的位置，导致学生在解题时迷失方向。应仔细阅读题目，找出隐藏的旋转中心；（4）面积和坐标的变化：旋转不改变图形的面积，但会改变图形的位置和方向。在坐标系中旋转时，坐标会发生变化，需要掌握旋转矩阵或使用几何性质进行计算。
易错点8:四边形的旋转
四边形的旋转主要涉及到图形的旋转概念。旋转是指将图形绕一个定点（旋转中心）旋转一定的角度（旋转角）的图形运动。在旋转过程中，图形的形状和大小不会发生改变，即旋转前后的两个图形是全等的。对于四边形而言，其旋转同样遵循这些基本规则。
在四边形旋转的问题中，可能会涉及到平行四边形的旋转，或者更一般的四边形绕某一点旋转一定角度后的图形变化。需要理解旋转中心、旋转角度和旋转方向这三个要素对图形位置的影响。同时，也需要掌握如何通过旋转将复杂的图形转化为简单的图形，从而简化解题过程。
易错提醒：（1）旋转方向错误；（2）旋转角度错误；（3）对应点连接错误；（4）忽视旋转中心。
例7．如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】证明出，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，且旋转至矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，正确得到是解题的关键．
例8．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得5．在中，由勾股定理得，，则．在中，由勾股定理得，，进而可得答案．
【详解】解：由旋转得，
四边形为矩形，
四边形为正方形，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，．
故选：B．
变式1．如图，在中，，将线段绕点旋转得到线段，连接，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，由得，，由旋转得，，，即得，，，得到，最后根据角的和差关系即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
由旋转得，，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
变式2．综合与实践
在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究：
如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接，．
(1)试猜想线段与的关系为 ；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，．
①将正方形绕点Ｄ逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G之间，求的长；
②在图2中，若，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长．
【答案】(1)，
(2)成立，见解析
(3)①，②10
【分析】（1）如图1，延长交于，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论；
（2）如图2，连接，延长交于点K，交于点O，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论；
（3）①如图3，连接，先利用等腰直角三角形的性质得到，利用勾股定理列方程，进而解方程即可；
②如图2，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，过A作于，先根据等腰直角三角形和正方形的性质得到，，设，由勾股定理可得，然后解方程得到，，证明，得，进而求得即可求解．
【详解】（1）解：，．
理由：如图1，延长交于．
是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，
．
四边形是正方形，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：，；
（2）解：成立，连接，延长交于点K，交于点O，
在中，，点D是的中点，
∴，，
∴，
又∵四边形是正方形，
∴，且，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：①如图，连接，
∵是等腰直角三角形，，点是的中点，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
解得；
②如图，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，过A作于，
∵是等腰直角三角形，，点是的中点，，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，即，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质、正方形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线是解答的关键．
变式3．如图，在正方形中，，将线段绕点A旋转得到线段，连接，过点D作于点E，当E是线段的三等分点时，的长为 ．
【答案】或
【分析】如图，连接，．在正方形中，得出，勾股定理求出，当E是的三等分点时，分以下两种情况讨论：①如图1，当时，设，证明为等腰直角三角形，得出．设，则．在中，勾股定理求出即可．②如图2，当时，同理证明，设，则．在中，勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，．
∵在正方形中，，
∴，
∴，
当E是的三等分点时，分以下两种情况讨论：
①如图1，当时，
设，
根据旋转可得，
，
，
∴．
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
设，则．
在中，，即，
解得：，
．
②如图2，当时，
设，
根据旋转可得，
，
，
∴．
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
设，则．
在中，，
即，
解得：，
则．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】该题主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线并分类讨论．
变式4．在矩形中，点G是边的中点，点E，F是其所在平面的两个点，且，，连接，，点H是的中点，连接．
(1)如图1，若点E在边上，点F在边上，且，请直接写出与的数量关系；
(2)如图2，，将绕点B旋转，连接，若，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，，将绕点B旋转，连接，若．
①猜想与的数量关系（用m、n表示），并证明你的猜想；
②如图4，当绕点B顺时针旋转时，将沿翻折得到，若点K刚好与点F重合，则此时矩形的边长与应满足什么关系？请说明理由．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)①；②
【分析】（1）先证明，，结合为的中位线，可得结论；
（2）如图，连接，证明四边形为正方形，证明，可得，再结合三角形的中位线可得答案；
（3）①仿照（2）的思路进行证明与计算即可；②如图，连接，当K与F重合时，，则，证明，可得，设，则，可得，从而可得结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，，
∴，，
∵点G是边的中点，点H是的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
∵，矩形，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵G、H分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
（3）解：①，理由见解析；
如图，连接，
同理可得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴；
②，理由如下：
如图，连接，当K与F重合时，，
∴，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，，
设，则
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等，找到需要相似三角形是解题的关键．
易错陷阱五：图形的平移
易错点9:二次函数的平移
二次函数平移规则与一次函数类似，向上平移，y增加固定值；向下平移，y减少固定值。具体的平移规律也可以根据函数的顶点或对称轴来进行判断。例如，若函数顶点为(a,b)，向右平移c个单位，则对称轴为x=a-c；向左平移c个单位，对称轴不变。通常遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，具体如下：
上加下减常数项：二次函数一般形式为y=ax +bx+c（a,b,c为常数，a≠0）。当c>0时，图像向上平移c个单位；当c<0时，图像向下平移c个单位。
左加右减自变量：图像平移前后形状和大小不变，只是位置变化。向左或向右平移图像时，相当于对自变量x进行加减运算。
易错提醒：（1）忽略a≠0：二次函数的标准形式是y=ax +bx+c（其中a,b,c是常数，且a≠0）；（2）若a=0，则退化为一次函数。平移规律理解不透：对“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律理解不透彻，导致在平移图像时出现错误；（3）平移规律的灵活应用：在解决实际问题时，不能灵活运用平移规律，导致解题出错。
易错点10:平移中的新定义
一、平移的定义
在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，这样的图形运动称为平移变换，简称平移。平移不改变图形的形状和大小，但会改变图形的位置。平移的三要素包括：原位置、平移方向、平移距离。
二、平移的性质
1.对应点的连线平行（或共线）且相等。
2.对应线段平行（或共线）且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形（四个端点共线除外）。
3.对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
三、平移的坐标表示
如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长。
四、平移作图
平移作图的关键是找准平移的方向和平移的距离。作图步骤包括：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形。常用的方法有平行线法、对应点连线法、全等图形法。
易错提醒：（1）平移概念理解不透；（2）平移距离把握不准；（3）平移与旋转混淆。
例9．在平面直角坐标系中，把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为，
故选：D．
例10．在平面直角坐标系xOy中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右（）或向左平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点的“联络点”．
(1)若点，点，则点关于点的“联络点”的坐标为______；
(2)如图，若点与点关于原点对称，点关于点的“联络点”为点，
①求作：点和点（尺规作图，保留作图痕迹）；
②连接，在上取点，使轴，连接OT，求证：；
(3)已知点是直线上的动点，点是直线上的定点，点关于点的“联络点”为点，若线段CE长的取值范围是，直接写出所有符合题意的点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据题意得出点向右平移一个单位得到，再得出点关于点对称点 即可求解；
（2）①根据新定义画出图形，即可求解；
②连接，以为圆心，为半径作，延长线与交于点 ．设 交轴于点，得出，，，则，证明四边形为平行四边形即可得证；
（3）设，，根据新定义可得，即始终在直线上运动，根据题意可得直线与直线之间的距离大于或等于，直线与轴交于点直线与轴交于点，进而列出不等式，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，点向右平移一个单位得到，
点关于点对称点
∴点关于点的“联络点”的坐标为，
故答案为：．
（2）①以为圆心，为半径，作弧交轴于点，分别以、为圆心，为半径作弧交于点，连接 ，交轴于点 即为所求，
②连接，以为圆心，为半径作，延长线与交于点 ．
设 交轴于点，
，，，
为中点，即．
，
为中点，轴，
，
∴,
∴T是的中点,
∴，
四边形为平行四边形，
．
（3）设，，
，点关于点对称点
始终在直线上运动
直线与直线之间的距离大于或等于
设直线与轴交于点，则，过点作于点，则是等腰直角三角形，
直线与轴交于点，则，
∴，
解得或
即或
【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，平移与轴对称的性质，平行四边形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握基本几何变换是解题的关键．
变式1．将抛物线沿着其对称轴上下平移，当平移后的抛物线的顶点在直线上时，平移后的抛物线与轴交点的纵坐标为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，根据平移规律表示出平移后的函数解析式是解题的关键．根据题意设平移后的抛物线的解析式为，顶点为，代入从而求得，令即可求得y的值．
【详解】解：∵，
∴设平移后的抛物线的解析式为，顶点为，
∵平移后的抛物线的顶点在直线上，
∴，
∴，
∴当时，，
∴平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为1，
故答案为：1．
变式2．在平面直角坐标中，已知抛物线（d为常数，），抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的对称轴（用含d的式子表示）；
(2)如图1，点D在第四象限，且在抛物线的图像上，连接、，两线相交于点E，求的最大值（用含d的式子表示）；
(3)如图2，当时，将抛物线向上平移4个单位得抛物线，抛物线与x轴相交于点E，与y轴相交于点F，点P是直线上任意一点，且点P在抛物线的对称轴右侧，直线、分别交抛物线于点M、N，连接，是否存在某一定点，使得该点总在直线上，若存在求出该定点的坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线可进行求解；
（2）由题意易得，则可求得直线的解析式为，过点D作轴交于点F，则有，然后可得，设点，则有点，则有，进而问题可求解；
（3）由题意易得，则有、，设、，然后分别得出直线、与的解析式，则可得出点P坐标，进而代入直线的解析式可求出定点坐标．
【详解】（1）解：由抛物线可得：对称轴为直线；
（2）解：令时，则有，即，
解得：，
∴，
令时，则有，
∴，
设直线的解析式为，则把点B、C坐标代入可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点D作轴交于点F，如图所示：
∴，
∴，
，
设点，则有点，
，
，
∴当时，最大，最大值为；
（3）解：当时，则有，
由将抛物线向上平移4个单位得抛物线，可得：，
由可得：、，
设、，
设直线的解析式为，则有：，
解得：，
∴直线的函数表达式：，
同理可得：函数表达式：；函数表达式：，
联立得：，
解得：，
∴与的交点，
∵点P在直线上，
，
，
∵函数表达式：，
∴
，
∴当时，即时，则有，
∴直线过定点．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的图像与性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数与一次函数的图像与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
变式3．在平面直角坐标系中，已知点，．
对于点给出如下定义：将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点，点在线段的延长线上.若点，点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②连接，交线段于点，求证：；
(2)的半径为3，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时，求长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；
②延长ON至点，连接，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON即可求出；
（2）连接并延长至S，使，延长至T，使，结合对称的性质得出为的中位线，推出，得出，则．
【详解】（1）解：①点Q如下图所示．
∵点，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，如图；
②证明：如图延长至点，连接，则，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，
连接并延长至S，使，延长至T，使，
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，
∴，
又∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
结合题意，，，
∴，
即长的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键．
变式4．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度得到点，点绕点逆时针旋转得到点，称点为点关于点的“平移旋转点”．已知点．
备用图
(1)若点，点为点关于点的“1平移旋转点”，则点的坐标为___________；
(2)若点，点为点关于点的“平移旋转点”，求点的坐标；
(3)若的半径为，是上一点，点为点关于点的“平移旋转点”，直接写出长的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为；最小值为
【分析】（1）根据题意分析定义“平移旋转点”涉及到“平移”和“旋转”两种几何变换，结合坐标系，即可求解；
（2）设点M的坐标为，，由（1）可得，过点作水平线和铅垂线，过点作，垂足分别为，证明得出，则，根据，，得出，，解方程组，即可求解；
（3）在上任取一点，延长至，使得，过点作且，连接，则四边形为平行四边形，同（2）可得，在中，得出，则点在为圆心, 的圆上，将点沿轴平移2个单位得到，则点的轨迹在圆心为，的圆上，勾股定理求得，进而根据点到圆的最值问题，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵点，点为点关于点的“1平移旋转点”，
∴点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，
∵点绕点M顺时针旋转得到点Q，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：设点M的坐标为，，
∵点为点关于点的“平移旋转点”，则
由（1）可得，
如图所示，过点作水平线和铅垂线，过点作，垂足分别为，
∵点绕点顺时针旋转得到点，
∴，，
又∵，
∴
∴
∴，
∵，，，
∴
∵，，
∴，，
∴，
解得：
∴
（3）解：如图所示，在上任取一点，延长至，使得，
过点作且，连接，则四边形为平行四边形，
依题意，点绕点顺时针旋转得到点，过点作且，
同（2）可得，
∴，
根据旋转的性质可得,即轴，
在中，，，
∴，
∴点在为圆心, 的圆上，
∵轴，
∴将点沿轴平移2个单位得到，则点的轨迹在圆心为，的圆上，
∵，
∴
当在上时，取得最大值，最大值为，
最小值为在上时，取得最小值，最小值为
【点睛】本题考查了新定义，定义“平移旋转点”涉及到“平移”和“旋转”两种几何变换，分析时需要借助这两种几何变换的性质探究图形的几何关系，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握基本几何变换，构造手拉手全等模型是解题的关键．
1．如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查几何体的展开图，根据三棱柱的展开图特点解题即可．
【详解】由题可知，几何体为三棱柱．
故选：C．
2．如图，要在河岸上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做蕴含的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段的性质是解题的关键．
根据垂线段的性质解答即可．
【详解】解：过点作于点，将水泵房建在了处，这样做蕴含的数学原理是垂线段最短，
故选：A．
3．如图，，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角．根据平行线的性质得，由等边对等角求得，由邻补角性质得，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4．点的坐标为，点的坐标为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，点的坐标为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握知识的应用是解题的关键．
由点的坐标为，的坐标为，点的坐标为， ，故有线段向上平移个单位，向右平移个单位至，则有，，求出的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵点的坐标为，的坐标为，点的坐标为， ，
∴线段向上平移个单位，向右平移个单位至，
∴，，
解得：， ，
∴，
故答案为：．
5．如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，，，则的度数为 _______
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出，根据平行即可得解．
【详解】解：由折叠的性质得，
，，
，
，
；
故答案为：．
6．如图，正方形的边长为6，点P在边上（P不与A、D重合），连接．将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，二次函数的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，过点作交延长线于点G，利用正方形的性质证明，推出，设，则，即可得到的面积为，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：过点作交延长线于点G，
由旋转的性质得：，
∵正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴的面积为，
∵，
∴当，即时，的面积最大，最大值为，
故答案为：．
7．【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得最小？
小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点P．由对称可得，所以，当，P、B三点共线的时候，，此时最小．
如图②，在直线l上找一点P，如何使得最大？
小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点，连接并延长交直线l交于点P．由对称可得，所以，当、P、B三点共线的时候，，此时最大．
可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决．
【理解运用】（1）如图③，直线上有点、，点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动．
①求a，b的值；
②当最小时，求点P的坐标；
③令，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值．
【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足，当t的值最大时，若点M、N分别是线段上的动点，且，连接，当最小时，求点M的坐标．
【答案】（1）①，；②；③，；（2）．
【分析】（1）①把代入，求出，再把代入解析式，求出的值；②作点B关于x轴对称点，连接，则：与轴的交点即为点，求出的解析式，令，求出点的坐标即可；③，得到当最大，最小时，t有最大值，由（2）可得的最小值，作点B关于y轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，此时最大为的长，求出点坐标，进行求解即可；
（2）过点P，作，，连，证明，得到，进而得到，得到当在线段上时，的值最小，求出的解析式，进而求出点的坐标即可．
【详解】解：（1）①将点代入，得，
∴
将点代入，得；
故，；
②作点B关于x轴对称点，连接，则：与轴的交点即为点，
此时的值最小为的长，
∵，
∴设直线的解析式为，
则：，解得：
∴，
令，则：，解得，
∴；
③，
当最大，最小时，t有最大值，
作点B关于y轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，此时最大为的长，
∵，
同法可得：
令，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（2）过点P，作，，连，则：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
同法可得：，
令，则，
∴，
∴．
【点睛】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握将军饮马模型，是解题的关键．
8．对于平面内的及平面内的一点，设点到直线的距离分别为，，称和这两个数中较大的一个为点关于的“偏率”，记作．在平面直角坐标系中，点分别为轴正半轴，轴正半轴上的两个点．
(1)在点中，点_____（填“”、“”、“”）关于的“偏率”最大；
(2)若点在第一象限，且关于的“偏率”为2，则_____；
(3)已知点，点为内部一点（含边界），求点关于的“偏率”的取值范围；
(4)在第（3）问的前提下，通过观察发现，若将第（3）问中的向左平移个单位得到，点为内部一点（含边界），则点关于的“偏率”的取值范围恰好与点关于的“偏率”的取值范围相同，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)或
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点的平移与轴对称；
（1）根据“偏率”的定义，求点到（即轴）的距离和点到（即轴）的距离，用较大的数除以较小的数即为“偏率”；
（2）根据点在第一象限，得出，根据关于的“偏率”为2，列出方程，即可求解；
（3）根据题意，画出图形，根据定义可得当点在角的角平分线上时，点的“偏率”最小为，再根据距离坐标轴最近的点的“偏率”大，从而求得最大值，即可求解；
（4）由（3）可得则当象限平分线经过平移后的，确保能取到最小值，分情况讨论，求得最大值为时，点的位置，即可求解．
【详解】（1）解：∵点分别为轴正半轴，轴正半轴上的两个点，
∴到坐标轴的距离分别为，
到坐标轴的距离分别为，
到坐标轴的距离分别为
∴，，，
∴关于的“偏率”最大，
故答案为：．
（2）解：∵点在第一象限，且关于的“偏率”为2，
∴
解得：
当时，即，
∴
当时，即，
∴
故答案为：或．
（3）解：∵点，点为内部一点（含边界），
根据定义可得当点在角的角平分线上时，点的“偏率”最小为，
∴，则的最小值为
∵
∴到坐标轴的距离分别为，到坐标轴的距离分别为，
∴的最大值为
∴
（4）由（3）可得
∴，则当象限平分线经过平移后的，确保能取到最小值，
向左平移个单位得到
分情况讨论，求得最大值为时，点的位置；
①当在第一象限时，如图所示，为的角平分线，
更靠近轴，则，解得：；
此时，，
∵点为内部一点（含边界），
∴
②当在第一象限时，如图所示，
当更靠近轴，则，解得：；
位于两侧，能满足取到最小值，
∵点为内部一点（含边界），
∴
综上所述，或．
9．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交于点点．、在抛物线上，其横坐标分别为．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若，当点、的纵坐标之差为1时，求点的坐标；
(3)该抛物线在点、之间的部分〔包括、两点）记作图像．设图像上的点的纵坐标为，当时，求的值；
(4)过点作直线轴，将该抛物线在点右侧的部分沿直线翻折，得到的图像与该抛物线在点及点左侧的图像组成一个新图像记作图像．当直线与图像有三个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据抛物线关于直线对称和与y轴交于点即可求得b、c的值，从而求得抛物线对应的函数表达式；
（2）根据点B横坐标求得点B纵坐标，根据点A、B的纵坐标之差为1，列方程，解方程即可求解；
（3）根据抛物线关于直线对称可得其顶点坐标为，开口向下，故其纵坐标不会，要，则只需要B、C纵坐标即可，根据B、C横坐标和抛物线函数表达式可求得B、C纵坐标，根据不等式，结合一元二次方程求解，即可解题；
（4）根据抛物线的图象和翻折与对称轴的性质可知，要直线与图象N有三个公共点，故点B坐标不能为抛物线顶点，考虑点B在直线两侧的情况，结合二次函数与一元二次方程及不等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交于点，
，，
，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：点、在抛物线上，其横坐标分别为，
将m其代入得：，
点B的纵坐标为：，
当，当点A、B的纵坐标之差为1时可得：
，解得：或（舍去），
当时，
点B的坐标为；
（3）解：由（1）可知，抛物线对应的函数表达式为，其对称轴为直线，
其函数图象开口向下，顶点为，
，，，
，
点B、C在抛物线上，其横坐标分别为m，，要使图象M上的点的纵坐标范围为，可得或，
当时，解得（舍去）或
当时，解得（舍去）或
综上所述，当时，或；
（4）解：点B在抛物线上，其横坐标分别为m，抛物线对应的函数表达式为，
点的坐标为，
要直线与图象N有三个公共点，则点B不在的顶点上，
当点B在抛物线的对称轴左侧时，则，
又顶点为，
∵，设关于对称的点为
则，即
∴
解不等式①得：或（舍去）
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
当点B在抛物线的对称轴右侧时，有，
此时有
解不等式③得：（舍去）或
解不等式④得：
∴不等式组的解集为：
综上所述，m的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，求抛物线的解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，二次函数图象与一次函数的交点情况，翻折与对称轴的性质，坐标与图形，解题的关键是熟练运用相关知识．
10．在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
(1)填空：
①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________；
(2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形．
(3)如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________．
【答案】(1)①；②2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）①根据新定义的意义直接写出答案为即可；
②根据旋转相似变换，得到，根据得是边长为的等边三角形，得到，，于是，得到，解答即可；
（2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到，同理可证证明即可．
（3）将经过得到，又将经过得到，得到的四边形恰好是正方形时，计算即可．
【详解】（1）①解：根据新定义的意义，得答案为，
故答案为：；
②解：根据旋转相似变换，得到，
根据得是边长为的等边三角形，得到，，
于是，
故，
故答案为：2，逆60°．
（2）证明：∵经过得到，
∴，
∴，；
∵经过得到，
∴，
∴
∴；
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证。
故四边形是平行四边形．
（3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴将经过得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将经过得到，
此时
∴四边形是正方形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，新定义问题，圆周角定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错点05 图形与图形的变换
易错陷阱一：点、线、面、角
易错点1:三视图
三视图是工程界一种对物体几何形状约定俗成的抽象表达方式，能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图，包括主视图、俯视图、左视图三个基本视图。主视图是从物体的正面观察，物体的影像投影在背后的投影面上得到的视图，能反映物体的前面形状；俯视图是由物体上方向下做正投影得到的视图，能反映物体的上面形状；左视图是视点在物体的左侧，投影在物体的右侧的视图，能反映物体的左面形状。在画三视图时，需遵循长对正、高平齐、宽相等的投影规则。
易错提醒：在由立体图形画三视图时，容易漏掉物体的边缘、棱、顶点，或者将看得见的轮廓线和看不见的轮廓线画错。此外，对于组合体的三视图，需要特别注意形体间的相互位置关系，以及投影时的遮挡关系，避免因为空间想象能力不足而导致视图错误。同时，在理解三视图的投影规则时，也容易出现混淆，需要特别注意主视图、俯视图、左视图之间的对应关系。
易错点2:平面、侧面展开图
一、平面展开图
平面展开图是将立体图形的表面展开成平面图形。不同类型的立体图形有不同的平面展开图。例如：
1 长方体：由6个长方形（或两个正方形和四个长方形）组成。
2 正方体：有多种展开方式，如1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型和3-3型。
3 圆柱：两个底面是两个完全相同的圆，侧面展开是一个长方形（或正方形）。
4 三棱柱：由2个三角形和3个长方形组成。
5 圆锥：由一个圆和一个扇形组成。
6 三棱锥：由四个三角形组成。
7 四棱锥：由1个四边形和4个三角形组成。
二、侧面展开图
侧面展开图主要关注立体图形的侧面如何展开成平面图形。例如：
1 圆柱：侧面展开是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。
2 圆锥：侧面展开是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长。
易错提醒：（1）在绘制圆柱和圆锥的平面展开图时，容易忽略底面圆，只画出侧面展开图。实际上，底面圆也是图形的一部分，必须同时展示出来；（2）在识别立体图形的平面展开图时，缺乏空间想象能力，没有弄清折叠后立体图形相邻面、相对面在平面展开图中的位置关系。例如，正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形；（3）在将平面展开图折成立体图形时，容易忽视存在向里折和向外折两种不同的方式，这会影响最终结果的确定。
例1．如图所示的几何体是由四个相同的正方体搭建而成，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
例2．如图是一个立体图形的展开图，这个立体图形是（ ）
A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．圆锥
变式1．产自广西钦州的坭兴陶是中国四大名陶之一，以钦州两岸特有的陶土为原料，经独特工艺制作而成，具有“双料混炼、骨肉相融”的特点．右图是坭兴陶的茶杯，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
变式3．数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每个公民应该具有的基本素养．如图是一个正方体盒子的展开图，每个面上各写有一个字，那么“素”字相对面的字是（ ）
A．核 B．心 C．学 D．数
变式4．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“民”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．就 B．是 C．江 D．山
易错陷阱二：相交线与平行线
易错点3:平行的性质与判定
平行的性质
在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线，用符号“∥”表示。
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面；两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行；两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。
平行的判定
同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
易错提醒：（1）混淆平行线的性质定理和判定定理：性质定理是由平行得到角度之间的关系，而判定定理是已知角度之间的关系得到直线的位置关系；（2）不能结合图形正确分析两角的位置关系，如不能正确识别同位角、内错角或同旁内角；（3）在应用平行线的判定定理时，未能灵活应用角平分线的定义或其他几何知识；（4）对几何证明中的逻辑关系理解不清，导致证明过程混乱或错误；（5）在书写几何证明时，几何语言表述不清晰、不条理，导致证明过程难以被理解。
例3．如图，直线，的直角顶点在直线上，．若，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G， D、C分别在M、N的位置上，若 ， 则（ ）.
A．55度 B．65度 C．60度 D．70度
易错陷阱三：图形的轴对称
易错点4:三角形的折叠
一、三角形折叠后的图形性质
三角形折叠后，会形成新的图形结构，这些结构通常包括新的三角形、线段以及角度关系。重要的是理解折叠后哪些部分是全等的，哪些角是相等的，这通常基于几何对称性和全等三角形的性质。
二、角度计算
在三角形折叠问题中，经常需要计算折叠后的角度。这通常涉及到使用三角形外角性质、内角和性质以及角度的补角、余角等概念。同时，也需要灵活运用角平分线的性质，以及找到关键的平角，利用两角互补来求角的度数。
三、空间想象与图形解析
解决三角形折叠问题，需要具备良好的空间想象能力。这包括能够准确地在脑海中构建折叠后的图形结构，以及能够解析和识别折叠过程中图形的变化。
易错提醒：（1）忽视折叠后的图形全等性；（2）角度计算错误；（3）空间想象能力不足
易错点5:四边形的折叠
一、折叠的性质
折叠后，重叠部分全等，折痕是对称轴，对称点的连线被对称轴垂直平分。折叠问题通常涉及平行四边形的性质和判定、折叠的性质、对角线的性质、平行的性质等知识点。利用折叠的性质得到等边等角，以及识别折叠前后的图形，是解决折叠问题的关键。
二、轴对称的性质
折叠是对称的一种特殊情况，属于轴对称。轴对称图形和轴对称的性质是相同的，对应点到对称轴的距离相等。在解决四边形折叠问题时，需要明确图形的轴对称性质。
三、相关几何定理的应用
在解决四边形折叠问题时，常需要综合运用多种几何定理，如勾股定理、等腰三角形的性质等。这些定理的应用可以帮助推导出折叠后图形的性质和特点。
易错提醒：（1）混淆特殊四边形的判定条件；（2）未准确识别折叠前后的图形关系；（3）忽视折痕的作用。
易错点6:轴对称中的新定义
轴对称中的新定义可能涉及更复杂的图形变换和性质。一般来说，轴对称是指一个图形关于某条直线对称，即沿这条直线折叠后两部分完全重合。新定义可能引入更复杂的对称形式或相关概念，但基本思想仍然围绕对称轴和对称点展开。
易错提醒：（1）混淆轴对称与中心对称；（2）忽视对称轴的选择；（3）对称点性质的误用；（4）轴对称图形的复杂变换。
例4．如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
例5．如图，在矩形中，，点分别在边上，将矩形沿折叠，得到四边形，且点恰好为边的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
例6．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴交于A，B两点．定义：点先关于坐标轴对称，再向下平移1个单位后得到点Q，称点Q为点P的对称平移点．当时，先关于x轴对称再向下平移1个单位得到点Q，当时，先关于y轴对称再向下平移1个单位得到点Q．
(1)点的对称平移点为________．
(2)若点的平移对称点在直线l上，求a的值；
(3)点在直线上，E点的对称平移点为点F；
①当时，面积等于，求m的值；
②当时，若F点到直线与x轴距离相等，求E点坐标．
变式1．如图，在中，，，，点D为边上一点，连接，将沿翻折得到，当与的直角边垂直时，的长为 ．
变式2．在中，延长到，使，是上方一点，且，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，，如果，求的长；
(3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由．
变式3．如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ．
变式4．（）如图①，在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交边于点．
【问题探究】①求证：；
【问题解决】②当时，若，求正方形的边长；
【实际应用】
（）如图②，有一块形状为正方形的纸片，小李要在边上找一点，然后将沿折叠，得到，过点作直线，分别交边于点，小李沿着裁剪交边于点，沿着裁剪交于点．当时，点为线段的中点吗？请说明理由．
变式5．在平面直角坐标系中，已知点，将经过点垂直于x轴的直线记为直线，将经过点且垂直于y轴的直线记为直线．对于点P给出如下定义：将点P关于直线对称得到点，则称点为点P关于直线的“一次对应点”，再将点关于直线对称得到点Q，称点Q为点P关于M的“二次对应点”．
已知顶点坐标为．
(1)如图1，若点．
①将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于点M“二次对应点”为．请直接写出点关于直线的“一次对应点”：_________；点关于点M的“二次对应点”：___________；
②若点和点关于M的“二次对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求n的取值范围；
(2)若点B关于点M的“二次对应点”为点，且以A、B、为顶点的三角形恰与全等，请直接写出所有满足条件的点M的坐标：___________．
变式6．在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫做关于点的“关联点”
(1)①点，，点关于点A的“关联点”的坐标是______；
②若点关于点的“关联点”的坐标是，则点的坐标是______；
(2)直线分别与轴，轴相交于点，，是线段上的点．
①点，若直线上存在着点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围；
②点是以为圆心，1为半径的圆上的点，点关于点的所有“关联点”组成图形．若图形与坐标轴有公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
易错陷阱四：图形的旋转
易错点7:三角形的旋转
1、旋转的基本性质：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。在旋转过程中，图形的每一条边和每一个角都对应相等，即旋转前后的图形是全等的。
2、旋转的角度和方向：旋转的角度是图形绕旋转中心旋转过的度数，可以是顺时针或逆时针方向。顺时针旋转通常表示为负角度，逆时针旋转表示为正角度。
3、旋转中心：旋转中心是图形旋转的固定点，图形在旋转过程中始终围绕这个点进行。
4、三角形的旋转：三角形在旋转时，其三个顶点和三条边都会相应地绕旋转中心旋转。可以利用旋转的性质，通过连接旋转前后的对应点，根据线段的长度不变和角度不变的性质进行求解。
易错提醒：（1）旋转角度的计算：在计算旋转角度时，容易混淆顺时针和逆时针的方向，导致计算结果错误。应明确顺时针旋转为负角度，逆时针旋转为正角度；（2）图形重叠时的判断：当旋转后的图形与原图重叠时，容易在判断线段或角是否相等时出错。此时应利用全等三角形的判定方法，先找对应边和对应角，再进行判断；（3）旋转中心的确定：有时题目会故意模糊旋转中心的位置，导致学生在解题时迷失方向。应仔细阅读题目，找出隐藏的旋转中心；（4）面积和坐标的变化：旋转不改变图形的面积，但会改变图形的位置和方向。在坐标系中旋转时，坐标会发生变化，需要掌握旋转矩阵或使用几何性质进行计算。
易错点8:四边形的旋转
四边形的旋转主要涉及到图形的旋转概念。旋转是指将图形绕一个定点（旋转中心）旋转一定的角度（旋转角）的图形运动。在旋转过程中，图形的形状和大小不会发生改变，即旋转前后的两个图形是全等的。对于四边形而言，其旋转同样遵循这些基本规则。
在四边形旋转的问题中，可能会涉及到平行四边形的旋转，或者更一般的四边形绕某一点旋转一定角度后的图形变化。需要理解旋转中心、旋转角度和旋转方向这三个要素对图形位置的影响。同时，也需要掌握如何通过旋转将复杂的图形转化为简单的图形，从而简化解题过程。
易错提醒：（1）旋转方向错误；（2）旋转角度错误；（3）对应点连接错误；（4）忽视旋转中心。
例7．如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
例8．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接．则的长为（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，在中，，将线段绕点旋转得到线段，连接，则的度数为 ．
变式2．综合与实践
在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究：
如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接，．
(1)试猜想线段与的关系为 ；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，．
①将正方形绕点Ｄ逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G之间，求的长；
②在图2中，若，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长．
变式3．如图，在正方形中，，将线段绕点A旋转得到线段，连接，过点D作于点E，当E是线段的三等分点时，的长为 ．
变式4．在矩形中，点G是边的中点，点E，F是其所在平面的两个点，且，，连接，，点H是的中点，连接．
(1)如图1，若点E在边上，点F在边上，且，请直接写出与的数量关系；
(2)如图2，，将绕点B旋转，连接，若，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，，将绕点B旋转，连接，若．
①猜想与的数量关系（用m、n表示），并证明你的猜想；
②如图4，当绕点B顺时针旋转时，将沿翻折得到，若点K刚好与点F重合，则此时矩形的边长与应满足什么关系？请说明理由．
易错陷阱五：图形的平移
易错点9:二次函数的平移
二次函数平移规则与一次函数类似，向上平移，y增加固定值；向下平移，y减少固定值。具体的平移规律也可以根据函数的顶点或对称轴来进行判断。例如，若函数顶点为(a,b)，向右平移c个单位，则对称轴为x=a-c；向左平移c个单位，对称轴不变。通常遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，具体如下：
上加下减常数项：二次函数一般形式为y=ax +bx+c（a,b,c为常数，a≠0）。当c>0时，图像向上平移c个单位；当c<0时，图像向下平移c个单位。
左加右减自变量：图像平移前后形状和大小不变，只是位置变化。向左或向右平移图像时，相当于对自变量x进行加减运算。
易错提醒：（1）忽略a≠0：二次函数的标准形式是y=ax +bx+c（其中a,b,c是常数，且a≠0）；（2）若a=0，则退化为一次函数。平移规律理解不透：对“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律理解不透彻，导致在平移图像时出现错误；（3）平移规律的灵活应用：在解决实际问题时，不能灵活运用平移规律，导致解题出错。
易错点10:平移中的新定义
一、平移的定义
在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，这样的图形运动称为平移变换，简称平移。平移不改变图形的形状和大小，但会改变图形的位置。平移的三要素包括：原位置、平移方向、平移距离。
二、平移的性质
1.对应点的连线平行（或共线）且相等。
2.对应线段平行（或共线）且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形（四个端点共线除外）。
3.对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
三、平移的坐标表示
如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长。
四、平移作图
平移作图的关键是找准平移的方向和平移的距离。作图步骤包括：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形。常用的方法有平行线法、对应点连线法、全等图形法。
易错提醒：（1）平移概念理解不透；（2）平移距离把握不准；（3）平移与旋转混淆。
例9．在平面直角坐标系中，把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
例10．在平面直角坐标系xOy中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右（）或向左平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点的“联络点”．
(1)若点，点，则点关于点的“联络点”的坐标为______；
(2)如图，若点与点关于原点对称，点关于点的“联络点”为点，
①求作：点和点（尺规作图，保留作图痕迹）；
②连接，在上取点，使轴，连接OT，求证：；
(3)已知点是直线上的动点，点是直线上的定点，点关于点的“联络点”为点，若线段CE长的取值范围是，直接写出所有符合题意的点的横坐标的取值范围．
变式1．将抛物线沿着其对称轴上下平移，当平移后的抛物线的顶点在直线上时，平移后的抛物线与轴交点的纵坐标为 ．
变式2．在平面直角坐标中，已知抛物线（d为常数，），抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的对称轴（用含d的式子表示）；
(2)如图1，点D在第四象限，且在抛物线的图像上，连接、，两线相交于点E，求的最大值（用含d的式子表示）；
(3)如图2，当时，将抛物线向上平移4个单位得抛物线，抛物线与x轴相交于点E，与y轴相交于点F，点P是直线上任意一点，且点P在抛物线的对称轴右侧，直线、分别交抛物线于点M、N，连接，是否存在某一定点，使得该点总在直线上，若存在求出该定点的坐标，若不存在说明理由．
变式3．在平面直角坐标系中，已知点，．
对于点给出如下定义：将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点，点在线段的延长线上.若点，点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②连接，交线段于点，求证：；
(2)的半径为3，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时，求长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．
变式4．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度得到点，点绕点逆时针旋转得到点，称点为点关于点的“平移旋转点”．已知点．
备用图
(1)若点，点为点关于点的“1平移旋转点”，则点的坐标为___________；
(2)若点，点为点关于点的“平移旋转点”，求点的坐标；
(3)若的半径为，是上一点，点为点关于点的“平移旋转点”，直接写出长的最大值与最小值．
1．如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（ ）
A． B． C． D．
2．如图，要在河岸上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做蕴含的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．如图，，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．点的坐标为，点的坐标为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，点的坐标为，则的值为 ．
5．如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，，，则的度数为 _______
6．如图，正方形的边长为6，点P在边上（P不与A、D重合），连接．将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．则面积的最大值为 ．
7．【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得最小？
小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点P．由对称可得，所以，当，P、B三点共线的时候，，此时最小．
如图②，在直线l上找一点P，如何使得最大？
小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点，连接并延长交直线l交于点P．由对称可得，所以，当、P、B三点共线的时候，，此时最大．
可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决．
【理解运用】（1）如图③，直线上有点、，点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动．
①求a，b的值；
②当最小时，求点P的坐标；
③令，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值．
【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足，当t的值最大时，若点M、N分别是线段上的动点，且，连接，当最小时，求点M的坐标．
8．对于平面内的及平面内的一点，设点到直线的距离分别为，，称和这两个数中较大的一个为点关于的“偏率”，记作．在平面直角坐标系中，点分别为轴正半轴，轴正半轴上的两个点．
(1)在点中，点_____（填“”、“”、“”）关于的“偏率”最大；
(2)若点在第一象限，且关于的“偏率”为2，则_____；
(3)已知点，点为内部一点（含边界），求点关于的“偏率”的取值范围；
(4)在第（3）问的前提下，通过观察发现，若将第（3）问中的向左平移个单位得到，点为内部一点（含边界），则点关于的“偏率”的取值范围恰好与点关于的“偏率”的取值范围相同，请直接写出的值．
9．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交于点点．、在抛物线上，其横坐标分别为．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若，当点、的纵坐标之差为1时，求点的坐标；
(3)该抛物线在点、之间的部分〔包括、两点）记作图像．设图像上的点的纵坐标为，当时，求的值；
(4)过点作直线轴，将该抛物线在点右侧的部分沿直线翻折，得到的图像与该抛物线在点及点左侧的图像组成一个新图像记作图像．当直线与图像有三个公共点时，直接写出的取值范围．
10．在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
(1)填空：
①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________；
(2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形．
(3)如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________．
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