北师大版八年级数学下册试题 2.2 不等式的基本性质 （含解析）

2.2 不等式的基本性质
【题型1 不等式的概念】
1.下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2.某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（ ）
A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克
C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克
3.若是不等式，则符号“□”不能是（ ）
A． B． C． D．
4.对于下列结论：①x为自然数，则；②x为负数，则；③x不大于10，则；④m为非负数，则，正确的有 ．
【题型2 不等式的实际应用】
1.2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
.如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ．
3.针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ．
4.一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 不等式的解集】
1.下列说法中，正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解
C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解
2.若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
3.请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ．
4.已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 .
【题型4 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】
1.若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.若，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3.若，，则下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4.如果，，那么下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【题型5 根据不等式的性质比较大小】
1.比较大小：已知，则 ．
2.已知，请比较下列各式的大小，并说明理由．
(1)与； (2)与．
3.若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．
(1)试比较代数式与的值之间的大小关系；
(2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系．
(3)已知，试用等式的性质比较的大小关系．
4.比较与的大小，并说明理由．
【题型6 不等式的性质与数轴的综合运用】
1.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
2.如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
3.如图，数轴上A、B两点对应的实数分别为a，b，则下列结论不正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
4.已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 根据不等式的解集求参数的取值范围】
1.已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　）
A．若点在点左侧，则解集为
B．若点在点右侧，则解集为
C．若解集为，则点必在点左侧
D．若解集为，则点必在点右侧
2.不等式的解集是那么（ ）
A． B． C． D．
3.若，且，则的取值范围是 ．
4.若关于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1
【题型8 根据不等式的性质求代数式的取值范围】
1.若，且，设，则t的取值范围为 ．
2.若，且，，设，
（1）用只含有的代数式表示，则 ；
（2）t的取值范围为 ．
3.若实数满足，令，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝m成立，求x+y的取值范围 (结果用含m的式子表示)．
【题型9 根据不等式的性质求最值】
1.若，，，则的最小值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
2.已知实数，b满足，若，则m的最大值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．
3.已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，则a﹣3b+c的最小值为 ．
4.a，b，c，d都是整数，且，，，，则的最大值为（ ）
A．447 B．455 C．471 D．479
【题型10 利用不等式的性质进行证明】
1.已知都是实数，若．求证：．
2.阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足，证明：．
证明：因为且x，y均为正，
所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整．
(2)尝试证明：若，则．
3.已知实数a，b，c满足：．求证：
(1)；
(2)
4.阅读下列材料，解决问题：
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：
“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知：，．
求证：．
②已知：，．
求证：．
【问题探究】
(1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：
，即是一个负数，
的相反数是正数，即，
，
（依据：______），
即，
不等式的两端同时加可得：
（依据：______），
合并同类项可得：，
即：得证．
(2)参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．
参考答案
【题型1 不等式的概念】
1.B
【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个，
故选：B．
2.A
【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义求解即可．
【详解】解：“每100克含钙>87毫克” 的含义是每100克含钙高于87毫克，
故选：A．
3.A
【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义判断即可．熟练掌握用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式．
【详解】解：∵，，都是不等式，
∴选项B，C，D都不符合题意；
∵不是不等式，
∴选项A符合题意．
故选：A．
4.②④
【分析】根据自然数定义即可判断①，根据负数定义即可判断②，不大于10，即小于或等于可判断③，根据非负数定义即可判断④．
【详解】解：x为自然数，则，错误，不合题意；
②x为负数，则，正确，符合题意；
③x不大于10，则，错误，不合题意；
④m为非负数，则，正确，符合题意；
故答案为：②④．
【题型2 不等式的实际应用】
1.B
【分析】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的定义，理解题干中“超1.5亿”即“大于1.5亿”是解题的关键．根据不等式的定义解答即可．
【详解】解：根据题意得：，
故选：B．
2.
【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键．
根据题意，列出不等式即可．
【详解】解：由图可知：；
故答案为：．
3.
【分析】此题主要考查不等式的定义．根据“水温不高于”可以写为．
【详解】解：根据“水温不高于”可以写为．
故答案为：．
4.A
【分析】本题考查的是不等式的定义，本题需注意应找到每天服用时4次每次的剂量；每天服用时3次每次的剂量，然后找到最大值与最小值即可．
【详解】解：根据题意，由“每日用量，分次服用”，
用（/次），（/次）
得到一次服用这种药的剂量为：，
则没在此范围内，
故选：A．
【题型3 不等式的解集】
1.D
【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案．
【详解】解：解不等式，
可得．
A.由于，故不是不等式的解，故选项错误；
B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误；
C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误；
D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确；
故选D．
2.C
【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可．
【详解】解：A、中不包含，不符合题意；
B、中不包含，不符合题意；
C、中包含，符合题意；
D、中不包含，不符合题意；
故选：C．
3.（答案不唯一）
【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得．
【详解】解：由，3均小于3可得，
所以符合条件的不等式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
4.
【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型4 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】
1.B
【分析】本题考查不等式的性质．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
2.C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析判断即可．
【详解】解：A、在两边都乘上6可得，，故选项正确，此选项不符合题意；
B、在两边都加上1可得，，故选项正确，此选项不符合题意；
C、在两边都乘上可得，，故选项错误，此选项符合题意；
D、根据不等式性质3可知，两边同乘以时，可得，两边都加上1可得，故选项正确，此选项不符合题意．
故选：C．
3.D
【分析】考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的3个基本性质是解题的关键．
根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：若，，
A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，不能得出，故C错误；
D．，故D正确；
故选：D．
4.D
【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质定理是解题的关键，注意不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的方向发生改变．
本题根据不等式的两条性质即可得出答案．
【详解】解：、根据“不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意；
、根据“不等式的两边同时除以同一个正数，不等号的方向不发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意；
、根据“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意；
、与，无法判断大小，故原题错误，符合题意．
故选：．
【题型5 根据不等式的性质比较大小】
1.
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的三个性质是关键．由不等式的性质：两边同时乘以得，两边同时加1得．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
2.（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
3.（1）解：
∵不论为何值，都有
∴
（2）解：∵，
∴等式两边同时减去，得，
整理得，
∴．
（3）解：∵，
根据等式的性质两边同时乘以6可得，
整理得，
即，
∴，
∴．
4.解：，
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
．
【题型6 不等式的性质与数轴的综合运用】
1.D
【分析】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义可得，且，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：由实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，，且，
A．，是成立的，因此选项A不符合题意；
B．由于，而，所以，是成立的，因此选项B不符合题意；
C．由于，则，而，则，所以是成立的，因此选项C不符合题意；
D．由于，则，而，所以，因此选项D符合题意．
故选：D．
2.A
【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．
【详解】
解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴，
∴，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵
∴，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
3.D
【分析】根据数轴，列出a、b的取值范围，然后再进行不等式的计算．
【详解】解：根据题意，得
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
A、0＜a+b＜2；不等式两边同时相加，不等式符号不变，故A正确，不符合题意；
B、﹣2＜ab＜﹣1，不等式两边同时乘以负数，不等式符号改变，故B正确，不符合题意；
C、∵﹣2＜﹣b＜﹣1，不等式两边同乘以负数，不等式符号改变，
∴﹣3＜a﹣b＜﹣1＜0，故C正确，不符合题意；
D、由上式得0＜|a|＜1，1＜|b|＜2，
∴|a|＜|b|，即a|﹣|b|＜0，故D错误，符合题意．
故选D．
4.B
【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【题型7 根据不等式的解集求参数的取值范围】
1.C
【分析】根据不等式的性质化简求值即可.
【详解】关于的不等式化为，
当时，解集为，
此时点在原点左侧，
故A，B，D选项错误，
C选项正确，
故选C．
2.A
【分析】在不等式两边都除以后，不等号的方向改变了，可得到，从而可得答案．
【详解】解： 的解集是，
在不等式的两边都除以：，不等号的方向发生了改变，
故选A．
3.
【分析】根据不等式的性质，两边同时乘一个负数不等号改变，求出a的取值范围．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
故答案为：．
4.B
【分析】根据不等式的性质可得，两边同除以一个负数，不等号方向发生改变，即可求得结果．
【详解】解：将不等式化为，
∵不等号两边同时除以得到，
∴，
解得，
故选：B．
【题型8 根据不等式的性质求代数式的取值范围】
1.
【分析】由条件可得，先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：而，
，
∵，
，
∴
，
∵，
∴t的取值范围是：，
故答案为：．
2.
【分析】本题主要考查不等式的基本性质，二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数；
（1）根据得到，代入计算即可；
（2）根据，，把，代入得到，再确定t的取值范围．
【详解】解：（1）∵，
∴，．
∴．
故答案为：；
（2）∵，，
∴，．
∴，．
∴．
∴，
∵
∴．
故答案为：．
3.B
【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
由题意知，则，，利用不等式的性质分别计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
4.m+2＜x+y＜﹣m﹣2
【分析】由x-y=m得x=y+m，由x＜-1得知y＜-m-1，根据y＞1得1＜y＜-m-1，同理得出m+1＜x＜-1，相加即可得出答案．
【详解】由x﹣y＝m得x＝y+m，
由x＜﹣1得y+m＜﹣1，y＜﹣m﹣1，
又∵y＞1，
∴1＜y＜﹣m﹣1，
由x﹣y＝m得y＝x﹣m，
由y＞1得x﹣m＞1，x＞m+1，
又∵x＜﹣1，
∴m+1＜x＜﹣1，
∴m+2＜x+y＜﹣m﹣2，
故答案为m+2＜x+y＜﹣m﹣2．
【题型9 根据不等式的性质求最值】
1.C
【分析】把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题．
【详解】解：，
，
∴，
，
，即，
∵
，
∴，
即，
时，的值最小，最小值为6．
故选：C．
2.B
【分析】先根据题意用a表示出b，再代入，由即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，m有最大值，最大值为7．
故选：B．
3.6
【分析】首先根据6a＝3b+12＝2c，分别用b表示出a、c；然后根据b≥0，c≤9，求出a﹣3b+c的最小值为多少即可．
【详解】∵6a＝3b+12＝2c，
∴a＝0.5b+2，c＝1.5b+6，
∴a﹣3b+c
＝（0.5b+2）﹣3b+（1.5b+6）
＝﹣b+8
∵b≥0，c≤9，
∴3b+12≤18，
∴b≤2，
∴﹣b+8≥﹣2+8＝6，
∴a﹣3b+c的最小值是6．
故答案为：6．
4.A
【分析】主要考查了不等式的运用．根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．根据，d都整数，就可以求出d的值，进而就可以得到a，b，c的值．
【详解】解：∵a，b，c，d都是整数，且，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即最大是447．
故选：A．
【题型10 利用不等式的性质进行证明】
1.证明：
2.（1）证明：因为且，均为正，
所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变），
所以（不等式的传递性），
故答案为：，；
（2）证明：，
，
．
3.（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴
即，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
4.（1）解：，即是一个负数，
的相反数是正数，即，
，
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），
即，
不等式的两端同时加可得：
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变），
合并同类项可得：，
即：得证．
故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变；
（2）解：，即是一个负数，
的相反数是正数，即，
，
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变），
即，
不等式的两端同时加可得：
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变），
合并同类项，得，
即：，得证．