广东省茂名市七校联盟2024-2025学年高一下学期2月联考数学试题
1．（2025高一下·茂名月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式
【解析】【解答】解：由，解得，所以，
又，解得，所以，所以，
故选：A.
【分析】先化简求得集合A，B，进而利用集合的交集运算求出即可 .
2．（2025高一下·茂名月考）命题：“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：“”的否定是“”.
故选：B.
【分析】根据特称命题的否定为全称命题，改变量词，否定命题即可得到答案.
3．（2025高一下·茂名月考）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】由于均为增函数，
所以为定义域上的增函数，
，
根据零点存在定理，
零点在区间内.
故答案为：C
【分析】判断出均为增函数，利用函数的零点判定定理可得答案.
4．（2025高一下·茂名月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：因为，解得，
所以，
故选：B.
【分析】结合已知条件利用两角差的正切公式先求得，进而利用二倍角的正切公式求得即可 .
5．（2025高一下·茂名月考）已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意可知最小正周期因为，所以，
所以，
所以将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到，
再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，
即的图象，
故选：A.
【分析】利用已知条件先求出函数的最小正周期T，再利用周期公式求出，即可得到函数的解析式，利用诱导公式可得，根据图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得到答案．
6．（2025高一下·茂名月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解： 因为 ，所以，，所以，，
所以，所以，所以，解得，
因为，所以，
故选：B.
【分析】根据指对互化，结合换底公式可得，，利用对数式的运算法则可知，即可求得t的值.
7．（2025高一下·茂名月考）设，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，所以，即；
因为，所以，即；
因为，所以，即；
所以，
故选：D.
【分析】找中间值，得到，，，即可求得a，b，c的大小关系.
8．（2025高一下·茂名月考）已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：当函数在上单调递增时，
令，∵ ，
解得，
∴，
又∵，
取，得，
当函数在上单调递减时，
令，∵ ，∴，
∴，
又，
取，得，
综上所述，的取值范围是，
故选：C.
【分析】分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，再结合解不等式组可求得的取值范围.
9．（2025高一下·茂名月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若幂函数的图象经过点，则函数的图象恒过定点
【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：A、能推出，反之可以推出或，所以是的必要不充分条件，故选项A正确；
B、因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立， 取得最小值为 ，故选项B正确；
C、当时， ，故选项C错误；
D、经过点，所以，解得，所以，
因为恒过定点，令x+3=1，解得x=-2，所以恒过定点，故选项D正确；
故选：ABD.
【分析】利用充要条件的推导关系即可判断选项A；利用同角的三角函数关系式和正切的和差公式和均值不等式即可判断选项B； 当 时即可判断选项C；根据幂函数过点(2，8)即可求得m的值，进而可求得函数f(x)的解析式，利用对数函数的定点即可判断选项D.
10．（2025高一下·茂名月考）已知，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的图象关于对称
C．的值域为 D．在上单调递增
【答案】B,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为，
所以也是的周期，故选项A错误；
B、因为，
所以的图象关于对称，故选项B正确；
CD、如图所示，
由，所以是偶函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，的最小正周期是，
所以时，，
所以，又的最小正周期是，
所以是一个周期，所以的值域为，故选项C，选项D正确.
故选：BCD.
【分析】利用函数的周期性与诱导公式可知，即可判断选项A； 利用函数的对称性与诱导公式可知判断选项B；再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定选项C、D.
11．（2025高一下·茂名月考）定义在上的函数，且，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于点对称
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、令，得，
令，得，
∴，所以，
又，∴，∴是偶函数，故选项A正确；
BC、令，得，
∴，∴，
令，得，
∵，
∴的图象不关于点对称，故选项B错误，选项C正确；
D、令，得，
∴，∴，
令，得，∴，∴，
令，得，∴，∴，
同理可得，
所以，故选项D正确；
故选：ACD.
【分析】利用赋值法令和令，结合已知条件和奇偶性的定义即可判断选项A； 利用赋值法求得， 即可判断选项B；利用赋值法求得f(4)，f(5)，...，f(10)即可判断选项D.
12．（2025高一下·茂名月考）已知函数，则 ．
【答案】
【知识点】函数的值；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，所以，
故答案为：.
【分析】由分段函数解析式，由内向外求解，先求f(e)=-1，进而求f(f(e))=f(-1)即可.
13．（2025高一下·茂名月考）不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立；
当时，要想不等式对一切实数都成立，
则，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】对不等式的二次项系数进行分类讨论，和两种情况，结合二次函数的性质进行求解即可.
14．（2025高一下·茂名月考）已知实数满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，所以，
设，所以，所以
所以，
因为，
所以，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【分析】根据已知条件可得到，再由三角函数换元，设，进而可知，，即可得到，利用正弦函数的性质即可求得的取值范围 .
15．（2025高一下·茂名月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点．
（1）求和的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由题意可知，，
∵，．
∴．
（2）解：
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由三角函数的定义即可求得，利用二倍角的正弦公式即可求得的值 ；
（2）由诱导公式及同角商的关系即可求得的值．
（1）因为角的终边经过点．由三角函数定义知
，．
∴．∴．
（2）由诱导公式得
16．（2025高一下·茂名月考）已知函数．
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）若在上具有单调性，求实数的取值范围；
（3）当时，对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：∵的解集为．
∴是方程的两根．
由韦达定理可得，，．
（2）解：的对称轴方程为．
∵在上具有单调性．
∴，
∴或．
∴实数的取值范围为．
（3）解：，∴，
设，任取，且
∴．
当时，，∴，
当时，，∴．
∴在上单调递减，在上单调递增，
且．
∴当时，，∴，
∴取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据的解集得到方程的两根，进而利用韦达定理计算即可求得 实数的值；
（2）根据二次函数的单调性列不等式，解不等式即可求得实数的取值范围；
（3）将恒成立转化为恒成立，设，利用单调性的定义判断的单调性，进而求最值即可求得实数的取值范围 .
（1）∵的解集为．
∴是方程的两根．
∴，．
（2）的对称轴方程为．
∵在上具有单调性．
∴，
∴或．
∴实数的取值范围为．
（3），
∴，
设，任取，且．
当时，，∴，
当时，，∴．
∴在上单调递减，在上单调递增，
且．所以当时，，
所以，即取值范围为．
17．（2025高一下·茂名月考）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，求的最小值；
（3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，
因为在上单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，即，
∴，∴，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为．
（3）解：有四个不等实根，
即有四个不等实根，
设，得，
只需方程有两个不等正实根，
，解得，
∴的取值范围为．
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将函数 的解析式化为分段函数的形式，进而利用的单调性，结合函数图象即可求得的单调区间；
（2）根据函数的单调性以及对数的运算可得，即可利用基本不等式可得，即可求得的最小值；
（3）有四个不等实根，即有四个不等实根，利用换元法，令，则有两个不等的正实数根，进而由一元二次方程根的分布求解即可求得实数的取值范围．
（1），
由于在上单调递增，
所以的增区间为，减区间为；
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
，即，
∴，∴，∴，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为．
（3）有四个不等实根，即有四个不等实根，
设，得，
只需方程有两个不等正实根，
，解得，
∴的取值范围为．
18．（2025高一下·茂名月考）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值；
（3）若的图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
令，解得，
所以的单调递增区间为，．
（2）解：由（1）知，
所以，
又，所以，
又，所以，
所以，
所以，．
（3）解：当时，由（1）知在区间和上单调递增，在区间上单调递减，且，
则在区间上的图象如图所示，
又因为直线与的图象有三个交点．所以，
不妨设三个交点为，且，则，
又易知，所以，
所以的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式可得到，利用正弦函数的性质，得，解不等式即可求得的单调递增区间 ；
（2）根据条件可知，利用平方关系求出，再通过构角，利用两角差的余弦公式，即可求得的值 ；
（3）利用（1）结果得到在区间上的单调性，进而得出图象，再数形结合，即可求得的取值范围．
（1）因为，
由，得到，
所以的单调递增区间为，．
（2）由（1）知，则，
又，所以，
又，所以，
则，
又，．
（3）当时，由（1）知在区间和上单调递增，在区间上单调递减，且，
则在区间上的图象如图所示，
又直线与的图象有三个交点．则，
不妨设三个交点为，且，则，
又易知，所以，
所以的取值范围为．
19．（2025高一下·茂名月考）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，是自然对数的底数（…）
（1）解方程；
（2）求不等式的解集；
（3）对于任意，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：∵，∴，∴，
设，则，
∴，解得或（舍去），
∴，∴．
（2）解：∵，∴为偶函数，
任取，
则，
∵，∴，，
∴，
∴，即在上单调递增，
又是偶函数，∴在上单调递减，
∵，即，
∴，即，解得，
∴不等式 的解集为．
（3）解：，
只需，
设，
由的单调性可知在上单调递减，
∴，
（当时取等号），
∴即．∴的取值范围为．
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得，设，则，解方程求得t的值，进而可求得x的值；
（2）由已知条件可知为偶函数，进而利用单调性的定义可知在上单调递增，在上单调递减，即可知，再解不等式即可求得不等式的解集；
（3）分别求出的，最值，构造不等式即可求得实数的取值范围．
（1）即，，
设得，
∴解得或（舍去），
∴，∴．
（2）∵，∴为偶函数，
任取，，
∵，∴，，
∴，
∴即在上单调递增，
又是偶函数，∴在上单调递减，
即，
∴即，解得，
∴不等式的集体为．
（3），
只需，
设，
由的单调性可知在上单调递减，
∴，
（当时取等号），
∴即．∴的取值范围为．
1 / 1广东省茂名市七校联盟2024-2025学年高一下学期2月联考数学试题
1．（2025高一下·茂名月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·茂名月考）命题：“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高一下·茂名月考）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·茂名月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·茂名月考）已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
6．（2025高一下·茂名月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．12
7．（2025高一下·茂名月考）设，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·茂名月考）已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高一下·茂名月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若幂函数的图象经过点，则函数的图象恒过定点
10．（2025高一下·茂名月考）已知，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的图象关于对称
C．的值域为 D．在上单调递增
11．（2025高一下·茂名月考）定义在上的函数，且，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于点对称
C． D．
12．（2025高一下·茂名月考）已知函数，则 ．
13．（2025高一下·茂名月考）不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围
14．（2025高一下·茂名月考）已知实数满足，则的取值范围是 ．
15．（2025高一下·茂名月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点．
（1）求和的值；
（2）求的值．
16．（2025高一下·茂名月考）已知函数．
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）若在上具有单调性，求实数的取值范围；
（3）当时，对任意恒成立，求实数的取值范围．
17．（2025高一下·茂名月考）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，求的最小值；
（3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围．
18．（2025高一下·茂名月考）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值；
（3）若的图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围．
19．（2025高一下·茂名月考）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，是自然对数的底数（…）
（1）解方程；
（2）求不等式的解集；
（3）对于任意，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式
【解析】【解答】解：由，解得，所以，
又，解得，所以，所以，
故选：A.
【分析】先化简求得集合A，B，进而利用集合的交集运算求出即可 .
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：“”的否定是“”.
故选：B.
【分析】根据特称命题的否定为全称命题，改变量词，否定命题即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】由于均为增函数，
所以为定义域上的增函数，
，
根据零点存在定理，
零点在区间内.
故答案为：C
【分析】判断出均为增函数，利用函数的零点判定定理可得答案.
4．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：因为，解得，
所以，
故选：B.
【分析】结合已知条件利用两角差的正切公式先求得，进而利用二倍角的正切公式求得即可 .
5．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意可知最小正周期因为，所以，
所以，
所以将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到，
再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，
即的图象，
故选：A.
【分析】利用已知条件先求出函数的最小正周期T，再利用周期公式求出，即可得到函数的解析式，利用诱导公式可得，根据图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得到答案．
6．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解： 因为 ，所以，，所以，，
所以，所以，所以，解得，
因为，所以，
故选：B.
【分析】根据指对互化，结合换底公式可得，，利用对数式的运算法则可知，即可求得t的值.
7．【答案】D
【知识点】利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，所以，即；
因为，所以，即；
因为，所以，即；
所以，
故选：D.
【分析】找中间值，得到，，，即可求得a，b，c的大小关系.
8．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：当函数在上单调递增时，
令，∵ ，
解得，
∴，
又∵，
取，得，
当函数在上单调递减时，
令，∵ ，∴，
∴，
又，
取，得，
综上所述，的取值范围是，
故选：C.
【分析】分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，再结合解不等式组可求得的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：A、能推出，反之可以推出或，所以是的必要不充分条件，故选项A正确；
B、因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立， 取得最小值为 ，故选项B正确；
C、当时， ，故选项C错误；
D、经过点，所以，解得，所以，
因为恒过定点，令x+3=1，解得x=-2，所以恒过定点，故选项D正确；
故选：ABD.
【分析】利用充要条件的推导关系即可判断选项A；利用同角的三角函数关系式和正切的和差公式和均值不等式即可判断选项B； 当 时即可判断选项C；根据幂函数过点(2，8)即可求得m的值，进而可求得函数f(x)的解析式，利用对数函数的定点即可判断选项D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为，
所以也是的周期，故选项A错误；
B、因为，
所以的图象关于对称，故选项B正确；
CD、如图所示，
由，所以是偶函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，的最小正周期是，
所以时，，
所以，又的最小正周期是，
所以是一个周期，所以的值域为，故选项C，选项D正确.
故选：BCD.
【分析】利用函数的周期性与诱导公式可知，即可判断选项A； 利用函数的对称性与诱导公式可知判断选项B；再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定选项C、D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、令，得，
令，得，
∴，所以，
又，∴，∴是偶函数，故选项A正确；
BC、令，得，
∴，∴，
令，得，
∵，
∴的图象不关于点对称，故选项B错误，选项C正确；
D、令，得，
∴，∴，
令，得，∴，∴，
令，得，∴，∴，
同理可得，
所以，故选项D正确；
故选：ACD.
【分析】利用赋值法令和令，结合已知条件和奇偶性的定义即可判断选项A； 利用赋值法求得， 即可判断选项B；利用赋值法求得f(4)，f(5)，...，f(10)即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】函数的值；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，所以，
故答案为：.
【分析】由分段函数解析式，由内向外求解，先求f(e)=-1，进而求f(f(e))=f(-1)即可.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立；
当时，要想不等式对一切实数都成立，
则，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】对不等式的二次项系数进行分类讨论，和两种情况，结合二次函数的性质进行求解即可.
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，所以，
设，所以，所以
所以，
因为，
所以，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【分析】根据已知条件可得到，再由三角函数换元，设，进而可知，，即可得到，利用正弦函数的性质即可求得的取值范围 .
15．【答案】（1）解：由题意可知，，
∵，．
∴．
（2）解：
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由三角函数的定义即可求得，利用二倍角的正弦公式即可求得的值 ；
（2）由诱导公式及同角商的关系即可求得的值．
（1）因为角的终边经过点．由三角函数定义知
，．
∴．∴．
（2）由诱导公式得
16．【答案】（1）解：∵的解集为．
∴是方程的两根．
由韦达定理可得，，．
（2）解：的对称轴方程为．
∵在上具有单调性．
∴，
∴或．
∴实数的取值范围为．
（3）解：，∴，
设，任取，且
∴．
当时，，∴，
当时，，∴．
∴在上单调递减，在上单调递增，
且．
∴当时，，∴，
∴取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据的解集得到方程的两根，进而利用韦达定理计算即可求得 实数的值；
（2）根据二次函数的单调性列不等式，解不等式即可求得实数的取值范围；
（3）将恒成立转化为恒成立，设，利用单调性的定义判断的单调性，进而求最值即可求得实数的取值范围 .
（1）∵的解集为．
∴是方程的两根．
∴，．
（2）的对称轴方程为．
∵在上具有单调性．
∴，
∴或．
∴实数的取值范围为．
（3），
∴，
设，任取，且．
当时，，∴，
当时，，∴．
∴在上单调递减，在上单调递增，
且．所以当时，，
所以，即取值范围为．
17．【答案】（1）解：，
因为在上单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，即，
∴，∴，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为．
（3）解：有四个不等实根，
即有四个不等实根，
设，得，
只需方程有两个不等正实根，
，解得，
∴的取值范围为．
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将函数 的解析式化为分段函数的形式，进而利用的单调性，结合函数图象即可求得的单调区间；
（2）根据函数的单调性以及对数的运算可得，即可利用基本不等式可得，即可求得的最小值；
（3）有四个不等实根，即有四个不等实根，利用换元法，令，则有两个不等的正实数根，进而由一元二次方程根的分布求解即可求得实数的取值范围．
（1），
由于在上单调递增，
所以的增区间为，减区间为；
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
，即，
∴，∴，∴，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为．
（3）有四个不等实根，即有四个不等实根，
设，得，
只需方程有两个不等正实根，
，解得，
∴的取值范围为．
18．【答案】（1）解：因为，
令，解得，
所以的单调递增区间为，．
（2）解：由（1）知，
所以，
又，所以，
又，所以，
所以，
所以，．
（3）解：当时，由（1）知在区间和上单调递增，在区间上单调递减，且，
则在区间上的图象如图所示，
又因为直线与的图象有三个交点．所以，
不妨设三个交点为，且，则，
又易知，所以，
所以的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式可得到，利用正弦函数的性质，得，解不等式即可求得的单调递增区间 ；
（2）根据条件可知，利用平方关系求出，再通过构角，利用两角差的余弦公式，即可求得的值 ；
（3）利用（1）结果得到在区间上的单调性，进而得出图象，再数形结合，即可求得的取值范围．
（1）因为，
由，得到，
所以的单调递增区间为，．
（2）由（1）知，则，
又，所以，
又，所以，
则，
又，．
（3）当时，由（1）知在区间和上单调递增，在区间上单调递减，且，
则在区间上的图象如图所示，
又直线与的图象有三个交点．则，
不妨设三个交点为，且，则，
又易知，所以，
所以的取值范围为．
19．【答案】（1）解：∵，∴，∴，
设，则，
∴，解得或（舍去），
∴，∴．
（2）解：∵，∴为偶函数，
任取，
则，
∵，∴，，
∴，
∴，即在上单调递增，
又是偶函数，∴在上单调递减，
∵，即，
∴，即，解得，
∴不等式 的解集为．
（3）解：，
只需，
设，
由的单调性可知在上单调递减，
∴，
（当时取等号），
∴即．∴的取值范围为．
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得，设，则，解方程求得t的值，进而可求得x的值；
（2）由已知条件可知为偶函数，进而利用单调性的定义可知在上单调递增，在上单调递减，即可知，再解不等式即可求得不等式的解集；
（3）分别求出的，最值，构造不等式即可求得实数的取值范围．
（1）即，，
设得，
∴解得或（舍去），
∴，∴．
（2）∵，∴为偶函数，
任取，，
∵，∴，，
∴，
∴即在上单调递增，
又是偶函数，∴在上单调递减，
即，
∴即，解得，
∴不等式的集体为．
（3），
只需，
设，
由的单调性可知在上单调递减，
∴，
（当时取等号），
∴即．∴的取值范围为．
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