2024—2025 学年度九年级第二次模拟考试试卷
总分：100分 考试时间：90分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）
1．（3分）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的
愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）“海葵一号”是我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，是集原油生产、存储、
外输等功能于一体的海洋装备，最大储油量达 6万吨．将数据 60000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.6×105 B．6×104 C．60×103 D．6×105
3．（3分）若“※”代表一种运算，且 a4※a3＝a，则“※”代表的运算符号可以是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
4．（3分）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有 8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、
“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每
个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
8 4 3 2
5．（3分）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线 a平行于直线 b的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知关于 x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，则以 a，b，c为
边长的三角形说法正确的是（ ）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长 c所对的角是 90° D．边长 a所对的角是 90°
7．（3分）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一
个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即 BC的长）为 a．已知，
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冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为 26.5°，则立柱 AC高
为（ ）
A． B．atan26.5° C．asin26.5° D．
26.5° 26.5°
8．（3分）如图，直线 l1、l2表示一条河的两岸，且 l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄 A经桥过
河到村庄 B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）
方案一： 方案二：
①将点 A向上平移 d得到 A'；②连接 A'B ①连接 AB交 l1于点 M；②过点 M作 MN
交 l1于点 M；③过点 M作 MN⊥l1，交 l2于 ⊥l1，交 l2于点 N．MN即桥的位置．
点 N，MN即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
9 = 2．（3分）已知 = 3是二元一次方程 x+ky＝8的一个解，则 k的值为 ．
10．（3分）因式分解：5m2﹣5＝ ．
11．（3分）已知一个扇形的半径长是 4cm，圆心角为 45°，则这个扇形的面积是 cm2．
12 ．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数 = ( ＞0， ＞0)的图象上，延长 AB
交 x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是 12，则 k的值为 ．
第 12 题图 第 13 题图
13．（3分）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为 4的正方形
制作出如图 1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图 2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的 A，B，C三个
顶点作圆，则这个圆的半径长为 ．
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三．解答题（共 7 小题，满分 61 分）
14．（6分）计算：| 4| ( 3 1)0 + 2 45° + ( 1 ) 12 +
3 8．
2
15．（6分）先化简：(1 1 1 +2 ) ÷ +2，再从﹣2，﹣1，1，2中选择合适的 a的值代入求值．
16．（7分）2025年横空出世的 DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可
以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了
DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调
查报告．请根据调查报告，回答下列问题：
课题 ××学校学生对 DeepSeek掌握情况
调查方式 抽样调查
调查对象 ××学校学生
数据的整理与描述
分组 成绩 x/分 频数 频率
A 60≤x＜70 8 0.16
B 70≤x＜80 m 0.24
C 80≤x＜90 n 0.48
D 90≤x＜100 6 p
调查结论 …
（1）上述表格中，m＝ ，n＝ ，p＝ ；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组；补全频数分布直方图；
（3）若该校有 1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于 80分的学生有多少名？
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17．（10分）近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温
馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部
不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的
《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多 100万元．该
公司以 8100万元制作《希望的田野》的集数与 5400万元制作《指尖上的传承》集数相同．
（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元．
（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共 60集，且《指尖上的传承》的集数不
2
少于《希望的田野》集数的 .完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望
3
的田野》按每集 450万元收购，《指尖上的传承》按每集 320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，
应该如何制作这两部文艺作品？
18．（8分）如图，AB是⊙O的直径， = ，点 E在 AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为 2，BC＝3时，求 tan∠AEB的值．
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19．（12分）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），
“空中飞人“是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪
桥的旋转木梯点 F处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台 AB上，其飞行路线
可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网 MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面
直角坐标系，已知；点 A的坐标为（0，8），OC＝11.4m，CE＝2.1m， = 7 25 ，∠FEC＝135°，AB
＝1m．
（1）当抛物线过点 B，且与 y轴交于点 H（0，6）时，点 F的坐标为 ，抛物线的解
析式为 ；
（2 7）在（1）的条件下，若点 N的坐标为(8， 2 )，为使演员在演出时不受伤害，求保护网 MN（线段
MN）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为 y＝ax2﹣8ax+c，若抛射点 F不变，为保证演员表演时落在平台 AB上（即
抛物线与线段 AB有交点），请直接写出 a的取值范围．
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20．（12分）【问题情境】
（1）如图 1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方
形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转 45°（如图 2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方
形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图 3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边 a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按
所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图 4．请你结合整个变化过程，直接写出图 4中以矩形内一点
P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图 5，在图 3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点 P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP
存在最大值．若 PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求 AD的长；
（4）如图 6，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，点 D、E分别在边 AC和 BC上，连接 DE、AE、BD．若
AC+CD＝5，BC+CE＝8，求 AE+BD的最小值．
第 6页（共 6页）2024—2025 学年度九年级第二次模拟考试——评分标准
一．选择题（共 8 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B． D A C D B A
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
9． 2 ； 10． 5（m+1）（m﹣1）； 11． 2π ；12． 8 ；13． 2 5 ．
三．解答题（共 7 小题，满分 61 分）
14．（6分）计算：| 4| ( 3 1)0 + 2 45° + ( 1 1 32 ) + 8．
解：原式 = 4 1 + 2 × 22 + ( 2) + ( 2) ................................................ 5 分
= 2 1．....................................................... ......... ......... ......... .. 6 分
2
15 6 (1 1 ) ÷ 1．（ 分）先化简： +2 +2，再从﹣2，﹣1，1，2中选择合适的 a的值代入求值．
2
解：原式 = (1 1 +2 ) ÷
1
+2
= +1 × +2 +2 ( +1)( 1) ...................................................................... 3 分
= 1 1， .................................................................... 4 分
∵a+2≠0，a2﹣1≠0，
∴a≠﹣2，±1， .................................................................. 5 分
当 a＝2 1时，原式= 2 1 = 1． ................................................ 6 分
16．（7分）解：（1）m＝12， n＝24， p=0.12；........................................... 3 分
（2）C组，............................................................................................ 4 分
.................................. 5 分
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（3）1200×（0.48+0.12）＝720（名），.............................................. 6 分
答：估计成绩不低于 80分的学生有 720名．...................................... 7 分
17．（10分）解：（1）设制作《希望的田野》每集成本 x万元，..................... 1 分
8100 5400
根据题意，得 = ，................................................ 2 分
100
解得 x＝300，........................................................... ..............3 分
经检验 x＝300是方程的解，且符合题意．.................................4 分
x﹣100＝300﹣100＝200．
答：制作《希望的田野》每集 300万元，《指尖上的传承》每集 200万元．..............5 分
（2）设制作《希望的田野》m集，
（3 2）根据题意，得 60 ≥ 3 ，....................................................................... ...........6 分
解得 m≤36．...........................................................................................................7 分
设该影视公司收益为 w万元，
则 w＝（450﹣300）m+（320﹣200）（60﹣m）＝30m+7200．.................................8 分
∵30＞0，
∴w随 m的增大而增大．...................................................................................................9 分
又∵m≤36，
∴当 m＝36时，w取最大值，此时 60﹣m＝60﹣36＝24．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．.........10 分
17．（8分）（1）证明：连接 BD，OC，OD，设 AB交 CD于点 F，
∵ = ，
∴BC＝BD，............................................................1 分
∵OC＝OD，
∴点 O、B在 CD的垂直平分线上，
∴OB垂直平分 CD，
∴∠AFD＝90°，...............................................2 分
第 2页（共 5页）
∵∠ADC＝∠AEB，
∴CD∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∴AB⊥BE， .......................................................................3 分
∵AB是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；.........................................................4 分
（2）解：∵⊙O的半径为 2，
∴AB＝2×2＝4，...............................................................5 分
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，
∴ = 2 2 = 42 32 = 7，.........................6 分
∴ ∠ = =
7
3 ，
∵ = ，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠AEB＝∠ADC，
∴∠AEB＝∠ABC，........................................................7 分
∴ ∠ = ∠ = 73 ．...................................8 分
（注：其他证明方法视情况酌情给分）
19．解：（1）点 F的坐标为（10，3.5），...................................................2 分
1 9
设抛物线的解析式为：y= 4x
2+ 4x+6；......................................4 分
7
（2）∵MN∥x轴，N（8， ），
2
7
∴点 M的纵坐标为 ，................................................................5 分
2
y= 7 1 9 7当 2时，
2
4x + 4x+6= 2，
解得：x1＝10（舍），x2＝﹣1，....................................................7 分
∴MN＝8﹣（﹣1）＝9，......................................................8 分
∴保护网 MN（线段 MN）的长度至少为 9米；................9 分
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（3）a 9 1的取值范围是 40 ≤a≤ 6．.......................... 12 分
20．（12分）解：（1）2；......................... 2 分
（2）PA2+PC2＝PB2+PD2；..................... 4 分
（3）如图，∵将△PDC绕点 P逆时针旋转，
∴点 D在以点 P为圆心，PD为半径的圆上运动，.............. 5 分
∵A为圆外一个定点，
∴当 AD与⊙P相切时，∠DAP最大，点 P为圆心，PD为半径的圆上运动，.............. 6 分
∴PD⊥AD，
∴AD2＝AP2﹣PD2，.................................................................................... 7 分
由（2）可得：AE＝DF，
∵PE＝8，PF＝5，
∴AD2＝AP2﹣PD2＝PE2+AE2﹣PF2﹣DF2＝82﹣52＝39，..................................... 8 分
∴ = 39；.................................................................................................................. 9 分
（4）如图，将△BDC沿 BC对折，D的对应点为 D1，将△AEC沿 AC对折，E的对应点为 E1，连接
D1E1，
∴CD＝CD1，CE＝CE1，
再将△ABE1沿 AC方向平移，使 A与 D1重合，如图，得△B1D1E2，
第 4页（共 5页）
由（2）可得：AE+BD＝D1E2+BD1，
∴当 E2，D1，B三点共线时，AE+BD＝D1E2+BD1最短，
∵AC+CD＝5，BC+CE＝8，
∴E1E2＝5，BE1＝8，
∴ 2 = 21 + 2 2 21 2 = 8 + 5 = 89，
∴AE+BD的最小值为 89．......................................................................................................... 12 分
（注：依据情况酌情给分）
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