2025年中考数学解答题系列：圆综合（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：圆综合
1．如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的面积．
2．如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作直线，交的延长线于点．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径和阴影部分的面积．
3． 如图， 是的直径， 是上异于点A，B的一动点， 连接， ， 过点A 作射线．为射线上一点，连接．
【初步探究】
（1） 若，求的长；
【深入探究】若在点 P 的运动过程中，始终有
（2） 如图1， 若，求证：直线与相切；
（3） 如图2， 连接， 设，求m的取值范围．
4．如图，四边形内接于，为的直径，的延长线交于点，连接．
(1)若点为的中点，，求的度数；
(2)若点是的中点，，求的长．
5．如图，内接于在半径延长线上，
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若半径长为，求由弧，线段和所围成的阴影部分的面积．
6．如图，在中，，以为直径作，过点作的切线交的延长线于点，点在上，作交的延长线于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
7．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，，与交于Q点．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)求证：；
(3)若，的面积为，求的长．
8．在矩形中，，点从点出发沿边以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒：
(1)如图1， 秒后，的面积等于；
(2)在运动过程中，若以为圆心、为半径的与相切（如图1），求值；
(3)如图2，若以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
9．【问题提出】
（1）如图1，是的弦，连接，，点、分别是弦两侧上的点，分别连接，，，，则______，______；
【问题解决】
（2）如图2，已知矩形，，，为边上的点，连接，，当矩形面积最大时，求的值；
【实际应用】
（3）如图3，某村有一块形状为菱形的菜地，菜地中有一条沟渠将菜地分成和两部分，村民计划要在内修建两条小路和，点、分别在上，始终保证，同时要在两条小路和的交点处修建一个取水点，且要保证菜地入口到取水点的距离最短，经过测量发现菱形的边长为60米，，试求菜地入口到取水点的最短距离．
10．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”．
定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．
实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．

(1)求证：；
(2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
11．如图，是四边形的外接圆，直径为10，平分，过点D作，交的延长线于点P．
(1)如图①，若是的直径．
①求证：与的相切；
②若，求的度数；
(2)如图②，若，求的最大值．（提示：连接，在上截取）
12．【问题背景】
如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将绕点D，逆时针旋转到处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
【简单应用】
（1）在图①中，若，，则　　．
（2）如图③，是的直径，点C、D在上，若，，求的长．
【拓展规律】
（3）如图④，，，若，，求的长（用含a，b的代数式表示）
（4）如图⑤，，，点P为的中点，若点E满足，，点Q为的中点，则线段与的数量关系是　　．（直接写出答案）
《2025年中考数学解答题系列：圆综合》参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连接，如图，先证明，然后利用得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）证明，然后利用相似三角形的性质求出，由圆周角定理得到，即可求解面积．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．(1)直线与相切，理由见解析
(2)的半径为，阴影部分的面积为
【分析】（1）连接，，由等边对等角得，由角平分线的定义得，所以，进而求得，再结合得，即可得解；
（2）连接，，由得，证明是等边三角形得，进而求得，所以，，
由解直角三角形的知识得，所以，最后根据扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
连接，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
（2）解：如图，连接，，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
即的半径为，阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，由特殊三角函数值求角度，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
3．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）证明，再利用勾股定理求解即可；
（2）如图1，连接，证明， 求解，证明是等边三角形，可得，再进一步求解即可；
（3）如图2，过点A作射线，作射线使得，射线与交于点D，连接，则在中，求解，，证明，可得，可得，结合根据三角形的三边关系，得，进一步可得答案．
【详解】解：（1）是的直径，P是上异于点的一动点，
，
在中，由勾股定理，得；
（2）证明：如图1，连接，
，
，
，
是的直径，，
，
，
是等边三角形，
，
，即，
，又是的半径，
是的切线，即直线与相切；
（3）如图2，过点A作射线，作射线使得，射线与交于点D，连接，则在中，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，根据三角形的三边关系，得，
，即，
；
【点睛】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，特殊三角函数值，三角函数，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，三角形三边关系，作出合适的辅助线是解本题的关键．
4．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质：
（1）利用圆周角定理得到，由点为的中点，得到，推出，再根据圆的内接四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求求解；
（2）连接交与点F，易证，，推出，证明，得到，求出，进而求出，再证明，得到，求出，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得是的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接交与点F，
∵点是的中点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
∴．
5．(1)相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到的度数，再有，即得是等边三角形，从而得到的度数，就可得到的度数，即可判断结果；
（2）阴影部分的面积可用的面积减去扇形的面积即得．
【详解】（1）解：直线与相切．理由如下：
在中，．
又，
是等边三角形，
．
又，
，
．
又是半径，
直线与相切．
（2）解：由（1）得是直角三角形，，
∴
，
，
．
．
又，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等等，熟知切线的判定定理，以及把不规则图形面积转换成求规则图形面积是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，正弦的定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接，根据切线的性质以及等腰三角形的性质，结合，可以得出，进而根据等角对等边，即可得证；
（2）设的半径为，根据，得出，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式，可得．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
；
（2）设的半径为r，
，
，
解得，
在中，，
，
，
即，
即，
解得．
7．(1)等边三角形，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由圆周角定理知，即可证明是等边三角形；
（2）过B作交于D，证得，，再证即可；
（3）通过作辅助线，构造等腰直角三角形求解．
【详解】（1）解：是等边三角形．
证明：∵，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：如图，过B作交于D，则，
又∵，
∴，
，
∵，
∴，
；
（3）解：设正的高为h，则．
∵，
即，
解得，
连接，，，作于E，
由是正三角形知，从而得，
∴；
由得，
于是，
∴，
如图，作等腰直角，在直角边上取点G，使，则
，
作，垂足为H．
设，则．
在中，
，，
∴，，
∴．
在图中，作于F，
∴．
解法二、连接，过点P作，交的延长线于点H，
同上可求，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题利用了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，解题关键是通过作辅助线，构造相似三角形和等腰直角三角形．
8．(1)
(2)
(3)0或或
【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可；
（2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可；
（3）先判断不与，相切，然后分与相切；与相切，根据半径等于构建方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，则，
∵
∴，即，
解得，
故当运动时间为3秒时，的面积为；
（2）解：如图1，设切点为，连接．
∵，
∴与相切，
∴分别与，相切，
∴．
∵与相切，
∴，
在中，依据勾股定理可得．
∴．
∵，
∴，．
在中，依据勾股定理可得，，
解得；
（3）解∶①由题意知不与，相切，
当与相切时，设切点为E，连接，
则，，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
解得或；
当与相切时，
则，
∴，
解得，（舍去），
综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切．
【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键．
9．（1），；（2）；（3）米．
【分析】（1）先根据圆周角定理可得，再根据圆的内接四边形的性质即可解答；
（2）作的外接圆，易得，设半径为r，，根据勾股定理列方程可得，易得过O作，则 ，，四边形是矩形，进而得到，最后根据线段的和差即可解答；
（3）首先证明，结合全等三角形的性质以及三角形外角的性质可得，进而可得，所以点P的轨迹在以为弦，含圆周角的圆上，圆心在的垂直平分线上，作的外接圆，当共线时，最短，作的垂直平分线交于点，交于，连接，过点作于H，可证明为等边三角形，且三点在同一直线上，分别求得，的长度，结合勾股定理计算的长度，即可获得答案．
【详解】解：（1）∵与所对的弧都是，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴．
故答案为：，．
（2）如图：作的外接圆，
∵，
∴，
设半径为r，，
由勾股定理，则，解得：或（舍去），
当为的切线时，矩形ABCD的面积最大，最大，此时圆心O到AD的距离为，
过O作，则 ，，四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴当矩形面积最大时，求的值为．
（3）∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴是等边三角形 ，
∴，即，
∵菱形边长米，
∴米，
∴ 米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的轨迹在以为弦，含圆周角的圆上，作的外接圆，如图，
当共线时，最短，
作的垂直平分线交于点，交于，则点在直线上，
连接，过点作于H，
则，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，米，
∴，即三点在同一直线上，
∵，，
∴，
∵垂直平分，，
∴，米，
∴米，米，
∵，，，
∴米，，
∴米，米，
∴米，
∴菜地入口到取水点的最短距离米．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识解决实际问题成为解题的关键．
10．(1)证明见解析
(2)结论仍然成立，证明见解析
【分析】该题考查了角平分线的性质定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
（1）如图②过点作于点，于点，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明；
（2）同（1）的作图方法分为如图③，当点在上时，和如图④，当点在内时，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明；
【详解】（1）证明：如图②过点作于点，于点，
又∵平分，
∴，
∴；

（2）解：结论仍然成立．
理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知．
∴，
如图④，当点在内时，由（1）知．
∴．
11．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①连接，由得到，根据平分，即得到，而，即可得到，即可得到结论；
②先判断出，求出，即可得到答案．
（2）连接，在上截取，证明是等边三角形，证明，根据全等三角形的性质进行证明即可．
【详解】（1）解：①证明：连接，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
与相切；
②是的直径，
，
，
，
，
由①知，
，
，
，
；
（2）解：如题图，连接，在上截取，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
当为直径，即时，取最大值是．
【点睛】本题主要考查圆的切线判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定及性质、解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．（1）5；（2）；（3）；（4）或
【分析】（1）先判断出E、A、C三点共线，再用旋转的性质得出是等腰直角三角形，证明可得结论；
（2）连接、、即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出的长度；
（3）以为直径作，连接并延长交于点，由（2）问题可知：；又因为，所以利用勾股定理即可求出的长度；
（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线的右侧和当点E在直线的左侧时，连接、后，利用（2）和（3）问的结论进行解答．
【详解】解：（1）将绕点D，逆时针旋转到处，
∴，
∵，
∴，
∴E、A、C三点共线，
∴为平角，
由旋转知，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：5；
（2）连接、、，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
将绕点D，逆时针旋转到处，如图③，
∴，
∵，
∴，
∴E、A、C三点共线，
∵，，
∴由勾股定理可求得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）以为直径作，连接并延长交于点，
连接，，，如图④，
由（2）的证明过程可知：，
∵，，
∴，
又∵是的直径，
∴，
∵，，
∴由勾股定理可求得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（4）分以下两种情况：
当点E在直线的左侧时，如图⑤，
连接，，
∵，，
点P是的中点，
∴，，
又∵，点Q是的中点，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理可求得：，
由（2）的证明过程可知：，
∴，
∴；
当点E在直线的右侧时，如图⑥，
连接、，
同理可知：，
设，则，
∴，
由勾股定理可求得：，
由（3）的结论可知：，
∴．
综上所述，线段与的数量关系是
或．
故答案为：或．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判断和性质，圆周角定理，旋转的性质等知识点，解本题的关键是就利用得出的结论来进行解决问题．
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