2025年中考数学解答题专题系列：垂径定理及其应用（含解析）

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2025年中考数学解答题专题系列：垂径定理及其应用
1．如图，已知劣弧和其所在圆的圆心O，若要等分，请按以下要求作图：
(1)利用直尺和圆规完成作图，不写作法，保留作图痕迹：
(2)用两种不同的方法作图．
2．如图，四边形内接于，为的直径，的延长线交于点，连接．
(1)若点为的中点，，求的度数；
(2)若点是的中点，，求的长．
3．在中，为的弦，连接，，
(1)如图1，若半径于点D，，求弦的长；
(2)如图2，为的切线，点P为切点，且，过点P作于点F，与半径相交于点E．若的半径是3，求的长．
4．如图，四边形内接于，对角线是的直径，且点为弦所对优弧的中点，连接，分别延长、相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求直径的长．
5．如图，的直径垂直弦于点E，连接，G是弧的中点，连接，延长交的延长线于点F．
(1)若，，求的长；
(2)判断的形状，并证明你的结论．
6．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：；
7．已知：如图，是的直径，是的弦，过作于点，过点作的切线交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接、．若，，，求的长．
8．如图，是⊙的直径，为⊙的切线，D为⊙上的一点，，延长交的延长线于点E．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）
9．如图，是的直径，点在上，作于交于，的平分线交于点，交于点，连结，．
(1)若的半径为6，，求弦的长；
(2)求证：．
10．是的外接圆，是的直径，点为上一点，过点作与的延长线交于点，连接与交于点．
(1)如图①，若，求和大小；
(2)如图②，若恰好切于点，且，求的半径和的长．
11．如图，是的直径，点D在上，点B是的中点，连接，，过点B作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
12．如图，内接于，为直径，于点D，延长交于点E，连结交于点F，连结．
(1)求证：
(2)若，求的值．
13．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端．
(1)求拱门最高点到地面的距离；
(2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门．
14．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．）
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径．
15．如图，公园里有一圆弧形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米．
(1)求水面宽度的大小；
(2)当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度．
16．如图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知三个圆的圆心O均在格点上，且经过A、B、P三个格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图．
(1)在图①中，过点 A 作 的切线；
(2)在图②中，作点 P 关于直径所在直线的对称点M；
(3)在图③中，已知点 Q 为上任意一点（不与点 P 重合），作点Q 关于直径 所在直线的对称点N．
《2025年中考数学解答题专题系列：垂径定理及其应用》参考答案
1．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线作法和性质，垂径定理，角平分线作法和性质，垂线作法和切线性质，全等三角形性质是解题的关键．
（1）连接，作的垂直平分线交于点C，则；
（2）如图2，作的平分线交于点，则；如图3，作切线，，交于点，连接交于点，则，，，得，
得，得．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
2．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质：
（1）利用圆周角定理得到，由点为的中点，得到，推出，再根据圆的内接四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求求解；
（2）连接交与点F，易证，，推出，证明，得到，求出，进而求出，再证明，得到，求出，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得是的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接交与点F，
∵点是的中点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
∴．
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理可得，再根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可得，进而可列，解得，，再根据勾股定理可得弦的长．
（2）连接，由切线的性质，平行线的性质，可得，再由对顶角相等可得，即可由直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可得，由勾股定理可得．
【详解】（1）解：，
．
，
．
，，，
．
，，
在中，由勾股定理得，
．
（2）解：如图，连接．
为的切线，
，即．
，
．
，
，
，
，，
，
．
在中，由勾股定理得，
即，
解得．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，平行线的性质，对顶角相等，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，延长交于点，由垂径定理可推出，得到点与点重合，由是的直径，可得，，推出，得到，由得到，进而推出，即可得证；
（2）由是的直径，可得，可得，，根据相似三角形的性质求出，即可求解．
【详解】（1）证明：过点作于点，延长交于点，
，
，
点为弦所对优弧的中点，
，
点与点重合，
四边形内接于，对角线是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）四边形内接于，对角线是的直径，
，
，
，，
，，
，即，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆的性质，等腰三角形的判定与与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
5．(1)8
(2)是等腰三角形，证明见解析
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，即可解答；
（2）连接，利用同角的余角相等结合圆周角定理，可得，最后利用等角对等边可得，即可解答．
【详解】（1）解：连接，
的直径垂直弦于点E，且，，
，，
，则，
在中，，
；
（2）解：等腰三角形
证明：连接，
点G是的中点，
，
，
的直径垂直弦于点E，
，
，
，
，
是等腰三角形．
6．证明见解析
【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系．由垂径定理得到，而，得到，从而推出．
【详解】证明：∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．(1)证明见解答
(2)
【分析】（1）根据证明，则，即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：为的切线，是半径，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
同理得：，
，
中，，
设，则，
由勾股定理得：，
（负值舍），
．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了切线判定和性质、扇形面积等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，证明，即可证明结论成立；
（2）作于点F，连接，证明是等边三角形，得到，求出，则，，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵为⊙的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵点D在上，
∴是⊙的切线；
（2）如图，作于点F，连接，
由可得：是斜边的中线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴ ．
9．(1)
(2)详见解析
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理内容是解题的关键．
（1）连接，利用垂径定理得到，，用勾股定理求出即可求出答案；
（2）利用角平分线的定义、圆周角定理等证明即可得到结论．
【详解】（1）解：连接，
∵为直径，，
∴，
∵，半径
∴
在中，
∴
（2）∵平分
∴
∵
∴
∵为直径
∴
∴
∵
∴
∴
10．(1)，
(2)的半径为5，
【分析】（1）根据圆周角定理得，再结合，得出，运用圆周角定理得，即可作答．
（2）先由切线的性质得，再证明四边形是矩形，则，运用勾股定理算出，再设的半径为，则，解得，在中，则，即可作答．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，并延长交于一点H，如图所示：
∵恰好切于点，
∴，
由（1）得，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设的半径为，
则，
∴，
解得，
在中，则
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，先由垂径定理推论和圆周角得到，则，由是的切线，得到，再由平行线的性质即可求证；
（2）解得，由上知，则，可证明四边形为矩形，即可求解．
【详解】（1）证明：连接交于点，
∵点B是的中点，为半径，
∴，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
由上知，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质，垂径定理的推论，圆周角定理，矩形的判定与性质，解直角三角形等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，求正切值，熟练运用垂径定理，证明是解题的关键．
（1）根据垂径定理得到，进而得到，结合，证明，得到，即可得出结论；
（2）连接，由（1）可得，根据圆周角定理可得，根据已知，设，则，利用（1）中，求出，由正切的定义即可求解．
【详解】（1）证明：∵于点D，为的半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵由（1）知，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
设，则，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．(1)拱门最高点到地面的距离为
(2)工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．
（1）设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，由垂径定理可得，则由勾股定理可得的长，据此求出的长即可得到答案；
（2）设弦，且，连接，同理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∴拱门最高点到地面的距离为；
（2）解：如图，设弦，且，连接．
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门．
14．(1)见解析；
(2)这个圆形截面的半径
【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，垂径定理的应用和勾股定理．
（1）任取一条弦，分别作，的垂直平分线交点即为圆心，根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；
（2）连接，交于点E，交弧于点D，利用垂径定理求出，设半径为，则，再根据勾股定理列方程计算即可．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求，
（2）解：如图，连接，交于点E，交弧于点D，
∴，
由题意得，，
设半径为，则，
在中，，
∴，
解得，
∴这个圆形截面的半径．
15．(1)16米
(2)2米
【分析】本题考查了余切，垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接，在中，根据勾股定理求出，然后根据垂径定理求出即可；
（2）设与相交于点，连接，在中，根据余切定义可求出，设水面上升的高度为米，即，则，在中，根据勾股定理得出，即可求解．
【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接，
∵，
∴，
在中，，，
由勾股定理可得：，
∵，是半径，
∴，
即水面宽度的长为16米．
（2）解：设与相交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设水面上升的高度为米，即，则，
∴，
在中，，
∴，
化简得，
解得（舍去），，
答：水面上升的高度为2米．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查格点作图，垂径定理的应用及垂直平分线的性质，
（1）利用网格线的特点，取格点，连接，易得，直线即为所求；
（2）同理（1）取格点，连接交于点M，易得，由垂径定理即可得到点M即为所求；
（3）取格点G，同理（1）作交于点F，连接交于点H，连接并延长交于点N，点N即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，直线为所求；
（2）解：如图所示，点为所求；
（3）解：如图所示，点为所求．
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