2025年中考数学压轴题专题系列：轴对称综合（含解析）

/ 让教学更有效 高效备考 | 英语学科
2025年中考数学压轴题专题系列：轴对称综合
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在射线上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且，当四边形的周长最小时，求四边形周长的最小值；
(3)直线与y轴交于点H．将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由．
2．在平面直角坐标系中，已知矩形．
(1)如图1，若点，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处，
①点E的坐标为：________；②线段的长为：________；
(2)如图2，在（1）的前提下，P是y轴上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标；
(3)如图3，若点，，点F是边上的动点，过点F作的垂线交直线于点H，交直线于点G，求的最小值．
3．在中，，射线的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
(1)如图，射线都在的内部．
设，则_______（用含有的式子表示）；
在直线上取一点，使得，则线段与图中已有线段_______的长度相等．
(2)如图，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
4．如图，在矩形中，，，连结，点E为上一点，且，点P为上一动点，连结，作点B关于的对称点Q，连结、、．
(1)__________；
(2)当点Q落在上时，__________；
(3)当时，求此时的长；
(4)当与矩形重合部分的图形为轴对称图形时，直接写出的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，为的中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
6．如图，已知在平面直角坐标系中，点，，，．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，连接，若直线与线段有交点，求整数的值；
(3)若线段上存在一点，使得点关于直线的对称点在y轴上，请直接写出的取值范围．
7．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，
(1)作关于轴的对称图形；
(2)将向下平移4个单位长度，作出平移后的；
(3)连接， 则轴与的关系是 ；
(4)求出四边形的面积．
8．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明从未停止过探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，．试证明．
【知识运用】（2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距24千米，、为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接写答案）．
（3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的长．
【知识迁移】（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
9．在平面直角坐标系中，设的半径为2．对于线段和点、点，给出如下定义：记的长度为，若线段为线段关于直线的对称线段，且沿着直线方向平移个单位长度后成为的一条弦，则称点为点关于线段的关联点．
(1)已知，在、、、中，点关于线段的关联点为________；
(2)已知，动点、满足，．若点是点关于线段的关联点，直接写出线段的长度的取值范围________；
(3)已知点，、为两个不同的动点，点是点关于线段的关联点．若且，直接写出线段中点的横坐标的取值范围__________．
10．【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．晓聪用一款名为“”数学应软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助晓聪解决下列问题．
【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2-3），设点为坐标原点，水平直线为横轴，过点的铅垂线为纵轴．小球从轴上的点出发、，到达轴上的点后改变方向运动到挡板上点处，其中轴，垂足为，，小球运动都为直线型路径．
【问题探究】
（1）如图2，若的函数关系式为，．
①点的坐标为_____；
②小球再次从轴上的点出发，到达轴上的点后改变方向运动到挡板上点，求当取得最小值时，直线函数关系式．
（2）如图3，连接，若，，，求的长．
（3）如图3，若点、分别是轴、上的动点，，直接写出的最小值．
11．【问题发现】
（1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________．
【问题探究】
（2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，
连接、，求的周长；
【拓展应用】
（3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由．
12．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
(1)求出点A，B，C的坐标；
(2)以为直径作，交y轴正半轴于点E，直线平分，交y轴于点F，与关于直线对称．求证：点B，I，F三点共线．
(3)点D是抛物线对称轴与x轴的交点，点R是线段上的动点（除B，D外），过点R作x轴的垂线交抛物线于点K，直线分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，说明理由．
13．数和形是数学研究的两个主要对象，我们经常运用数形结合和转化的思想方法来解决一些数学问题．在平面直角坐标系中，有任意两点，，如何求，两点的距离？
如图1，过点，分别向轴，轴作垂线，和，，垂足分别是，，，，直线交于点．在中，由勾股定理得：．其中，，所以，两点间的距离．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，若，，则，两点间的距离______；
(2)在平面直角坐标系中，若，，且，则的值为______；
(3)如图2，在直角坐标系中，已知点，，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上．求的周长的最小值．
14．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
(1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值；
(3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值；
(4)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____．
15．如图1，在中，为的直径，弦于点E，弦于点F，与交于点H．
(1)求证：．
(2)如图2，点O落在上．
①求证：为等边三角形；
②如图3，若的半径为2，点P是直线上的动点，将点P绕点O逆时针旋转得点Q，连接．求的最小值．
《2025年中考数学压轴题专题系列：轴对称综合》参考答案
1．(1)
(2)
(3)存在这样的点M，且坐标分别为，，，
【分析】（1）根据直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点，得到，运用待定系数法解答即可．
（2）过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，先证明为等边三角形，则，找出，，证明四边形为平行四边形，故此时四边形的周长为最小，再运用勾股定理算出，即可作答．
（3）分三种情形，结合菱形的性质，两点间的距离公式，解方程求解即可．
【详解】（1）解：∵直线的解析式为，与x轴交于点C．
令，则，解得，
∴
∴
∵点A是的中点，
∴，
∵直线上有一点B的横坐标为，
把代入，得
∴，
设直线的函数表达式，
故，
解得，
故直线的函数表达式．
（2）解：过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，如图所示：
∵，
∴，
∴，
故为等边三角形，
∵，
∴令时，，则
即，
∵，
∴ ，
在直角中，
即，
∵
则，
故，
∵轴对称性质，
∴，
故为等边三角形，
则，
∵，
∴轴，
故点；
将点沿方向平移4个单位，相当于沿x轴负半轴方向平移个单位，向上平移2个单位，故点，
由点A的平移知，且，
∴四边形为平行四边形，故
此时，四边形的周长为最小，
∵
∴
即．
（3）解：如图所示，∵直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点，
∴，
∴，
∵ 直线的函数表达式与y轴交于点H，
∴,
∴．，
∴
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，，，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∵ 以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，
∴菱形的四边相等，对角线互相垂直平分，
当时，根据题意，得
解得或，
故，；
当时，根据题意，得
解得或（舍去），
故；
当时，
∵，
∴一定经过点B，
故M与点B一定重合，
故．

综上所述，存在这样的点M，且坐标分别为，，，．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称法求线段和的最小值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法，轴对称法求线段和的最小值是解题的关键．
2．(1)①；②
(2)点P的坐标为或或或
(3)
【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，轴对称的性质；
（1）①根据矩形的性质和折叠得到，，，则，即可求出；
②设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可；
（3）作关于的对称点，作关于轴的对称点，连接，，，则，，，，，当、、都在线段上时，最小，此时证明，得到，，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：①∵矩形，，
∴，，，
∵将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处，
∴，，，
∴，
∴，，
故答案为：；
②设，则，
∵中，，
∴，解得，
∴，
故答案为：；
（2）解：在（1）的前提下，，，，
设，
∴，，
∵为等腰三角形，
∴当时，，
即，
解得，此时；
当时，，
即，
解得或，
此时或；
当时，，
即，
解得，
此时；
综上所述，若为等腰三角形，点P的坐标为或或或；
（3）解：∵矩形，点，，
∴，，，，
作关于的对称点，作关于轴的对称点，连接，，，
∴，，，，
∴，
∴当、、都在线段上时，最小，
∵过点F作的垂线交直线于点H，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
3．(1)；
；
(2)，证明见解析．
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
根据角的和与差可得，把和的度数代入计算即可；
根据轴对称的性质可得，根据，等量代换可得；
在的延长线上截取，连接，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据，可证．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；
如下图所示，连接，
，，
，
又，
，
故答案为：；
（2）解：，
证明：如下图所示，在的延长线上截取，连接，
则有，，
又，
，
设，
则，
，
又，
，
，
在和中，，
，
，
又，
，
4．(1)
(2)4
(3)或
(4)或或
【分析】本题考查了解直角三角形，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积法，正确画出图形，利用分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可解答；
（2）根据对称的性质可得点Q落在上时，，即可求得；
（3）分两种情况，即点在下或点在上，利用解直角三角形和等腰直角三角形的性质分别求解即可；
（4）分两种情况，即点在下或点在上，利用轴对称的性质，用面积法分别求解即可．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，
根据勾股定理可得，
，
，
故答案为：；
（2）解：作点B关于的对称点Q，
当点落在上时，，
，
，
作点B关于的对称点Q，
，
，
故答案为：4；
（3）解：当点在下方，如图，过点作交于点，
根据对称可得，
，
，
，
，，
，
则，
，
，
；
当点在上方，如图，过点作交于点，
同上述原理可得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
综上所述，当时，为或；
（4）解：当点在下方时，设与的交点为，分两种情况，
①如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
根据折叠可得为的平分线，
根据角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离为，
则，即，
；
②如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，
则，，
根据勾股定理可得，，
根据上述面积法原理可得，
设，则，
可得方程，
解得，
经检验是原方程的解，
即；
当点落在上方或上时，整个或线段落在矩形内部，
，
为等腰三角形，
即与矩形重合部分的图形为轴对称图形
此时，
综上，或或．
5．(1)
(2)
(3)或
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）利用二次函数解析式可得，进而可得直线的解析式为，设点，过点作轴 ，交直线于点，可得，即得，即可得到，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，又可知四边形是平行四边形，得，即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解；
（）由题意可得抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，得，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，
∴，
∴，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∵点为直线上一动点，轴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，
∵点与点关于直线的对称点，
∴，
又∵，
∴，
∴的最小值；
（3）解：∵直线的解析式为，
∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，
∵，
∴，
∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，
∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
如图，当时，，
设直线的解析式为，把代入得，
，
∴，
∴直线的解析式为，
由，解得（不合，舍去）或，
∴；
当，与轴的交点为点时，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得（不合，舍去）或，
∴；
综上，当时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
6．(1)直线的函数解析式为
(2)整数k的值为或
(3)
【分析】本题主要考查一次函数，轴对称图形的性质，掌握待定系数法，轴对称图形的性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）当时，点的坐标为，分类讨论：当直线经过点时，当直线经过点时，代入计算即可求解；
（3）根据轴对称图形的性质，数形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，且直线经过点，，
∴，
∴，
∴直线的函数解析式为．
（2）解：当时，点的坐标为，
当直线经过点时，可列方程为，
解得，
当直线经过点时，可列方程为，
解得，
∴，
∴整数k的值为或．
（3）解：．
如图，设线段关于直线的对称线段为，则垂直平分线段和，分别交于点，
若点恰好在y轴上，
∴为等腰直角三角形
∵点，
∴点P的坐标为．
当点P向上平移时，线段与y轴有交点，即线段上存在一点M，使得点M关于直线的对称点在y轴上，
∴．
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)轴垂直平分
(4)
【分析】本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，平移的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质．
（1）利用轴对称的性质即可画出图形；
（2）利用平移的性质即可画出图形；
（3）利用轴对称的性质即可判定位置关系；
（4）通过点的坐标和平移的性质求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
根据轴对称的性质，找出点、、的对称点、、，连接三个点即可．
（2）解：如图，即为所求；
根据平移的性质，找出点、、的对称点、、，连接三个点即可．
（3）解：连接，根据轴对称的性质可知，对称轴垂直平分对称点连接的线段，
∴轴垂直平分线段．
（4）解：∵ ， ，
∴向下平移4个单位长度后对应点的坐标分别为， ，
∴，，，
四边形是直角梯形，
∴四边形的面积为．
8．（1）见解析（2）25千米（3）6.3125千米（4）20．
【分析】（1）利用梯形面积，直角三角形的面积等证明即可．
（2）连接，过点C作于点E，结合，得到矩形，结合千米，千米，千米，得到千米， 千米，千米，利用勾股定理解答即可．
（3）作的垂直平分线，交与点P，连接，则，设，则千米，由，根据勾股定理，得，解答即可．
（4）根据题意，令，，，设，则，根据勾股定理，得，
要求的最小值就转化为的和的最小值，于是延长到点F，使得，连接，交于点P，此时的点P位置就是使得和最小，过点F作交的延长线于点E，利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）连接，
∵，，，．
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
．
（2）解：连接，过点C作于点E，
∵，
∴矩形，
∴千米，千米，千米，
∴千米， 千米，千米，
∴（千米），
故答案为：25．
（3）解：作的垂直平分线，交与点P，连接，则，
设，则千米，
由，根据勾股定理，得，
∴，
∴，
解得，
故的长为千米．
（4）解：根据题意，令，，，设，则，
根据勾股定理，得，
要求的最小值就转化为的和的最小值，
∴延长到点F，使得，
连接，交于点P，此时的点P位置就是使得和最小，
过点F作交的延长线于点E，
∴四边形矩形，
∴， ，
∴，
故的最小值为20，
故代数式的最小值为20．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，线段和最小的计算，线段垂直平分线的应用，熟练掌握勾股定理，线段和的最小计算，矩形的判定和性质是解题的关键．
9．(1)、
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得，经过轴对称与平移后可以成为的一条弦，根据新定义可得所在直线为轴，进而可得，即，结合点的坐标，即可求解；
（2）根据已知可得、在以为圆心，半径为的圆上，且为一条弦，取，以为半径作圆，由（1）可得在半径为的上，则，关于直线对称后得到的线段仍在半径为的圆上，设直线与分别交于点，得出四边形是矩形，进而勾股定理求得的长，从而求得平移距离为，即，进而求得的长，根据点到圆上的距离求得最值，即可求解；
（3）对于关于对称的线段为，并沿着所在直线方向平移得到，则在上，反过来，沿着方向平移长度单位再关于对称可得到，这里要处理的是点，先平移再对称，结合（2）的方法构造矩形，分两种情况讨论，①当沿方向移动时，②如图所示，当沿方向移动时；是上一点，关于对称，交轴于点，则,设与轴的夹角为，，接下来求的横坐标，过点作轴于点，过点作于点，得出的表达式，进而根据二次函数的性质求得最值，再根据点到圆的距离最值问题分析，求得范围，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
又∵的半径为，
而
∴经过轴对称与平移后可以成为的一条弦，
根据新定义可得所在直线为轴，
关于轴对称的线段为，将向左平移2个单位得到的一条弦，
如图所示，
∴，即，
∴点关于线段的关联点为、
故答案为：、．
（2）解：∵，
∴、在以为圆心，半径为的圆上，且为一条弦，
如图所示，取，以为半径作圆，
∵为沿着直线方向平移个单位长度后成为的一条弦，
∴
由（1）可得在半径为的上，则
∵关于直线对称后得到的线段仍在半径为的圆上，
∴，且垂直平分，
∴
设直线与分别交于点，
∴，
∵是平移得到的，则，
∴四边形是平行四边形，
∵为沿着直线方向平移
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴
∴平均距离，即
∴在为半径的上，
当平移至时，同理可得
∴平均距离，即
∴在为半径的上，
∵
∴
∴
∴
即线段的长度的取值范围，
故答案为：．
（3）由题可知，对于关于对称的线段为，并沿着所在直线方向平移得到，则在上，反过来，沿着方向平移长度单位再关于对称可得到
∴取中点，则始终在内部，
∵，且，
如图所示，点在上运动，
将沿着方向平移个单位得到，再关于对称得到，当在上运动时，则在上运动，
①当沿方向移动时，
如图所示，是上一点，关于对称，交轴于点，则，
∴关于对称，为与轴的交点，即 ，
接下来求的横坐标，过点作轴于点，过点作于点，
同（2）可得四边形是矩形，则，
设与轴的夹角为，，
∴，，，
设，，
∴
∴当时，，
当时，，
∵的长度不能为，则不能取等于号，
∴，即
②如图所示，当沿方向移动时，同①的方法作出辅助线，
设与轴的夹角为，，
∴，，，，
设，则，
∴，对称轴为直线,
∴当时，，
当时，，
∴
∵的长度不能为，则不能取等于号，
∴，即，
综上所述，．
【点睛】本题考查了轴对称变换与平移，二次函数的性质，解直角三角形，求一点到圆上一点的距离的最值问题，垂径定理，勾股定理；反向分析新定义是解题的关键，新定义的理解，作图都是难点．
10．（1）①点的坐标为；②；（2）7；（3）8
【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及三角形全等的判定和性质、轴对称 最短线路问题，
（1）①根据解析式求出点、点的坐标；再证明，可得，，由此即可得出点的坐标为；
②根据将军饮马模型，作点关于轴的对称点，当，、三点在同一条直线上时取得最小值，求出直线函数关系式即可，
（2）延长与延长线交于点，证明可得，，可得由可得垂直平分，可得，由此可以求解，
（3）同理（2）可得：，再由直角三角形斜边中线等于斜边可得，根据“垂线段最短”得的最小值为8．
【详解】（1）解：①∵的函数关系式为，
∴点的坐标为；点的坐标为；
又∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
②如图1，
作点关于轴的对称点，
∴
∴，
根据“两点之间，线段最短”知：
当，、三点在同一条直线上时，，此时取得最小值，
设直线函数关系式为得
，解得，
∴当取得最小值时，的函数关系式为．
（2）如图2，延长与延长线交于点，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
（3）如图3，延长与延长线交于点，
同理（2）可得：，
取的中点，连接，在中，，则，
根据“垂线段最短”得，则，
∴的最小值为8．
11．（1）4；（2）30；（3）1．
【分析】（1）直接证明，再根据全等三角形的性质即可解答；
（2）由垂直平分线的性质可得、，再根据三角形的周长公式及等量代换即可解答；
（3）由题意可得，如图∶作线段，使， ，连接， 可证是等边三角形可得，再证明可得，进而得到的最小值为，即，即；如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则；根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可得点R在直线上；然后根据三角形的三边关系可得当共线且直线垂直于，即点R和点O重合，有最小值，最后根据等腰三角形的对称性解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：4．
（2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴，
∴的周长为．
（3）解∶∵，，
∴，
∵平分，
∴，
如图∶作线段，使， ，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．，
∵ 的最小值为，即
∴．
如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则
∵平分，点F关于的对称点R，
∴点R在直线上，
∵，
∴当共线且直线垂直于，
∴点R和点O重合，即时，有最小值，
∵平分，点R在直线上，点F关于的对称点R，
∴
【点睛】本题主要考出了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
12．(1)
(2)见解析
(3)是定值，．理由见解析
【分析】本题主要考查了解直角三角形、二次函数的图像及性质、求一次函数、轴对称的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形、二次函数的图像及性质是解题的关键．
（1）令，得，解得：，令，得，即可完成解答；
（2）利用待定系数法得直线的解析式为，再证点F在上即可解答；
（3）设，先求得直线的解析式为，直线的解析式为，进而得、，从而完成解答．
【详解】（1）解：令，得，解得，
令，得，
∴．
（2）证明：由（1）可知，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵直线平分，
∴，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，直线平分，
∴点与点B重合，，
∴，
过点I作轴于H，如图1，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点在直线上，
∴点B，L，F三点共线．
（3）解：是定值，．理由如下：
如图2，
设，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为．
令得，
∴，
∴是定值．
13．(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题，两点之间距离公式，解题的关键是理解题意，掌握材料中的方法．
（1）根据材料中的公式求解即可；
（2）利用两点之间距离公式得到关于的方程，即可求解；
（3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值．
【详解】（1）解：，，
，
，两点间的距离为，
故答案为：；
（2），，且，
，
解得：或，
故答案为：或；
（3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的周长最小，的周长的最小值即为的周长，
，
，，
，
，
，
，
的周长的最小值为．
14．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）令与的交点为，根据正方形的性质证明，即可求解；
（2）过点作于点，与的交点为，证明四边形是矩形，
得到，，再证明，即可求出的值；
（3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值；
（4）连接、，利用折叠的性质，证明，得到，同（2）理可得：，即，则，作点关于的对称点，连接、、，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得到的最小值．
【详解】（1）解：如图，令与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，与的交点为，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，与的交点为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
；
（4）解：如图，连接、，
由折叠的性质可知，，，，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
同（2）理可得：，即，
，
作点关于的对称点，连接、、，
，，，
，
当、、三点共线时，有最小值为的长，
，
有最小值为，
的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
15．(1)见解析
(2)①见解析；②的最小值是
【分析】（1）根据圆周角定理得出，，再由等腰三角形的性质得出，继续利用圆周角定理即可证明；
（2）①由（1）得，根据垂径定理的性质及等腰三角形的性质确定，再由等边三角形的判定即可证明；
②连接，如图，则，证明，得出，求出，故可判断点Q的运动轨迹是过点C且垂直于的直线，作点B关于的对称点N，连接，可得O、N、Q三点共线时，最小，取得最小值，然后解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵是的直径，弦于点E，
∴，，
∴，
∴，
∵于点F，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（2）①证明： 由（1）得，
∵点O落在上，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
②解：连接，如图，则，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点Q的运动轨迹是过点C且垂直于的直线，
如图，作点B关于的对称点N，连接，
则，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴O、N、Q三点共线最小，即最小，如图所示，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
即的最小值是．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、旋转和轴对称的性质等知识，综合性较强、难度较大，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线、得出的最小值是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）