2025年中考数学解答题系列：分式方程的实际应用（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：分式方程的实际应用
1．口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积．
2．中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为筹备数学节活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用为多少元？
3．文旦柚是莆田特产，某中学为了加强劳动教育，计划组织学生去某教育基地体验文旦柚种植，为了方便开展活动，需要采购一批文旦柚树苗，现有两个采购地可供选择，具体信息如下：
信息一：
树苗品种 单价/（元/棵） 采购地 A B
市场 55
园艺基地 a 50
信息二：用540元在市场上购买A种树苗的棵数恰好与用400元在园艺基地购买A种树苗的棵数相同．
(1)请分别求出园艺基地、市场上A种树苗的单价．
(2)学校决定在园艺基地购买A，B两种树苗共300棵，且A种树苗的棵数不超过B种树苗的棵数的，园艺基地为了支持该学校的活动，对A，B两种树苗均降价销售，已知两种树苗每棵均降价4元，则学校最少花费多少元？
4．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．
(1)求甲种光伏板的单价是多少？
(2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？
5．某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角．
(1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度；
(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
6．已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进．
(1)求该公司购进农产品的总质量．
(2)该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，价格每周会上涨200元/吨．公司决定将这批农产品储存一段时间后再出售，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是多少（利润=销售额-成本-支出费用）．
7．据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
(1)求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？
8．今年无锡马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进，两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的1.5倍，种跑鞋的进价比种跑鞋的进价每双多150元，，两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元．
(1)求，两种跑鞋的进价分别是多少元？
(2)该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售，若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
9．1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了．
(1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算）
(2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？
10．年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题：
燃油车 新能源车
油箱容积：升 电池容量：千瓦时
油价：元/升 电价：元/干瓦时
续航里程：千米 续航里程：干米
每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元
(1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用）
11．我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶．
(1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？
(2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值．
12．太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，他们同时从距离长风桥端（记为点A）米处的步道上点C处出发向胜利桥端（记为点B）行走，已知小明的步行速度是小亮步行速度的倍，且小明比小亮早分钟到达步道上距点A处米的出口点E处．
(1)求小明和小亮的速度分别是多少．
(2)小明到达点E后因有其他事情没有继续前行，直至小亮到达点E处．若在接下来的行走中，他们均从点E出发，各自的步行速度保持不变，求小亮至少需要先出发几分钟，才能使他不晚于小明到达点B．
《2025年中考数学解答题系列：分式方程的实际应用》参考答案
1．建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷．
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，结合题意可得，再解方程即可．
【详解】解：设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
∴，
答：建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷．
2．(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元
(2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．
（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，根据题意列出一元一次不等式，求出， 然后设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），得到，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，
依题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，
依题意得，，
解得，
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得，，
∵，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，有最小值，此时（元），
（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元．
3．(1)园艺基地、市场上A种树苗的单价分别为40元，54元
(2)购进A种树苗112棵，B种树苗为188棵，花费最少为12680元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用．
（1）根据题意，园艺基地的单价为a元，市场的单价为元，根据题意，得，解方程即可．
（2）设购进A种树苗m棵，则B种树苗为棵，总花费为w元，根据题意，得，结合，建立不等式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，园艺基地的单价为a元，市场的单价为元，根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：园艺基地、市场上A种树苗的单价分别为40元，54元；
（2）解：设购进A种树苗m棵，则B种树苗为棵，总花费为w元，根据题意，得，
∵，
解得，
根据，得w随m的增大而减小，
故时，费用最低，最低为（元）．
此时，
答：购进A种树苗112棵，B种树苗为188棵，花费最少为12680元．
4．(1)700元
(2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键．
（1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可；
（2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，
由题意得，
解得，
经检验，为原方程的根，
∴甲种光伏板的单价为700元．
（2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，
由题意得，
解得，
∵为正整数，
∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案，
设总费用为元，
则，
∵，∴随的增大而增大．
∴越小，总费用越低，
∴ 当时，总费用越低，
即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低，
最低费用为元．
5．(1)
(2)一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人
【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用；
（1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于，
由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，，
所以的长度就是与之间的距离，
在中，，，
∴，
同理可得，
∴，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，
根据题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人．
6．(1)该公司购进农产品的总质量为80吨；
(2)公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是122000元．
【分析】本题考查了分式方程和二次函数的应用．熟练掌握总价、单价、数量的关系，利润、售价、成本的关系，列方程，列函数解析式，是解题的关键．
（1）设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨，根据题意可得：，然后进行计算即可解答；
（2）设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元，然后根据总利润＝销售额﹣成本﹣支出费用，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴（吨），
∴该公司购进农产品的总质量为80吨；
（2）解：设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元，
由题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴当时，y有最大值，元，
故公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，最大利润是122000元．
7．(1)30元，60元
(2)3210元
【分析】（1）设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元，根据题意，得，解方程即可．
（2）设购买A种玩偶y件，则购买B种玩偶件．根据题意，得，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴，
答：A种玩偶价格为30元，则B种玩偶价格为元．
（2）解：设购买A种玩偶y件，则购买B种玩偶件．
根据题意，得，
解得，
设此次购进的费用为W元，根据题意，得
，
∵，
∴W随x的增大而减小，
∵y是正整数，
故y最大正整数是53，
∴当时，W值最小，且最小值为，
答：此次购进至少要花3210元．
8．(1)种跑鞋的进价是元，种跑鞋的进价是元；
(2)购进种跑鞋双，种跑鞋双时，才能获利最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设种跑鞋的进价是元，则种跑鞋的进价是元，根据题意列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进种跑鞋双，则购进种跑鞋双，根据购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设这批跑鞋全部售完的利润为元，根据总利润单双利润销售数量（购进数量），即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设种跑鞋的进价是元，则种跑鞋的进价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：种跑鞋的进价是元，种跑鞋的进价是元；
（2）解：设购进种跑鞋双，则购进种跑鞋双，
依题意，得：，
解得：，
设这批跑鞋全部售完的利润为元，则
，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值，
此时，
答：购进种跑鞋双，种跑鞋双时，才能获利最大，最大利润是元．
9．(1)滑动变阻器的最大电阻为
(2)670元
【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数的应用．
（1）设滑动变阻器的最大电阻是．根据“滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了．”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍”列出不等式，得到．列出y关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可解答．
【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意可列方程： ，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为．
（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．
由题意知： ，
解得：，
总费用 ，即，
∵ ，
∴ y随m的增大而减小．
∵ m是整数，
∴ 当时，y最小，此时，（元），
答：学校买这批仪器至少要花费670元．
10．(1)；
(2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低．
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解题关键是明确题意，列出相应方程与不等式．
（1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可；
（2）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，求解即可；
设每年行驶里程为千米时，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：，
即新能源车的每千米行驶费用为元，
故答案为：；
（2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为千米，
由题意，得，
解得，
答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低．
11．(1)每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元
(2)的值为
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）设每瓶氯化钠溶液的售价为元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元，根据题意列方程得，解方程即可得到答案；
（2）根据题意得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设每瓶氯化钠溶液的售价为元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元，
根据题意列方程得，
解得：，
经检验是原方程的解，
，
答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元；
（2）解：根据题意得
解得：或
，
不符合题意，舍去，
的值为．
12．(1)小亮的速度为米分，小明的速度为米分
(2)小亮至少先出发分钟，才能使小亮不晚于小明到达点B
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．正确找出等量关系和建立不等式是解题的关键．
（1）根据小明比小亮早到分钟列出分式方程求解即可；
（2）根据两人各自的速度和到的距离，分别算出小明、小亮从点到的时间，
设小亮先出发y分钟，因为需要小亮先出发y分钟，才能使他不晚于小明到达点B，算出小明从到的时间要大于等于小亮从到的时间，即，求解即可．
【详解】（1）解：小亮的速度为x米/分，则小明的速度为米/分，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
则．
答：小亮的速度为米分，小明的速度为米分．
（2）解：到的距离为（米），
小明从点到的时间为：（分钟），
小亮从点到的时间为：（分钟），
设小亮需要先出发y分钟，才能使他不晚于小明到达点B．
则有，解得．
故小亮至少先出发分钟，才能使小亮不晚于小明到达点B．
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