2025年中考数学解答题系列：锐角三角函数综合（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：锐角三角函数综合
1．小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图所示，点，，，分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点处射入，其折射光线恰好从点处射出．如图，已知，，求截面的面积．
2．如图，在中，，，．动点N从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；动点M同时从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为．过点M作，分别交，于点，，与相交于点．设运动时间为，请解答下列问题：
(1)当四边形为菱形时，求t的值；
(2)设五边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，在中，，，点D是平面内一点，连接，，且．
(1)如图1，若点D在内部，，延长交于H，若时，求的长；
(2)如图2，若点D在内部，将绕点A，逆时针旋转得到线段，直线与交于点F，证明：；
(3)如图3，点P是边上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到线段，连接，，，若，当，均取得最小值时，直接写出的面积．
4．如图1，郑州二七纪念塔位于郑州市中心的二七广场，是为了纪念1923年京汉铁路大罢工而建，如图2，某兴趣小组要测量二七塔的高度，在二七塔前的平地上选择一点，在处用测角仪测得二七塔顶部的仰角为，在点和二七塔之间选择一点，在处用测角仪测得仰角为，已知测角仪的高，求二七塔的高度．（结果精确到，参考数据：）
5．在菱形中，，点在射线上运动（点与点不重合），关于的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线与交于点，连接交于点．
(1)若，则____________；
(2)当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由；
(3)直接写出的外接圆的半径的最小值．
6．如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚到塔尖的仰角为．
(1)若米，则__________米，__________米（用含的代数式表示）；
(2)求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，）
7．（1）如图①，在平行四边形中，对角线相交成的锐角为．若，求平行四边形的面积．
（2）如图②，是某公园的圆形空地，为圆心，为直径，，规划部门计划在空地内建一个牡丹园，根据设计要求：点和点，点和点分别关于对称，与交于点，且，四边形为牡丹园，设的长为，牡丹园的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够用？
8．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点．
(1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2)连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设．
①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；
②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可）
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴的正半轴上，顶点，在第一象限内，正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，且与边交于点，连接，已知．
(1)求的值；
(2)观察图象，请直接写出满足的的取值范围；
(3)连接，在线段上取一点，使，过点P作垂直轴，交双曲线于点，请求出线段的长．
10．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．
(1)求抛物线对应的函数表达式及顶点的坐标；
(2)若四边形为矩形，，点以每秒1个单位长度的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，是点关于点的对称点，是轴下方抛物线上的动点．若过点的直线：与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．
11．阅读下列材料，解答问题．
【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）．
【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离；
要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度．
【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小．
【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得．
解答问题：
(1)求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示）
(2)若测得，，，求出小土坡的高度．
12．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，两点，点是直线下方抛物线上不与，重合的一动点，过点作的平行线交轴于点，设点的横坐标为．
(1)请直接写出，，的值；
(2)如图，若抛物线的对称轴为直线，点在直线的右侧，与直线交于点，当为的中点时，求的值；
(3)线段的长记为．
①求关于的函数解析式；
②若，结合关于的函数图象，直接写出的取值范围．
《2025年中考数学解答题系列：锐角三角函数综合》参考答案
1．(1)该介质的折射率是；
(2)截面的面积是．
【分析】（1）由特殊角的三角函数值得，与一起代入即可得解；
（2）由（1）中所得的折射率求出，推得，设，，结合勾股定理得出，则，将代入即可得出、，截面的面积即为．
【详解】（1）解：，，
该介质的折射率是；
（2）解：根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，
，
，
，
依题得，四边形是矩形，点是中点，
，，
由图得，
，
即，
在中，设，，
由勾股定理得，，
，
又，
，
，
截面的面积为：．
【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、解直角三角形、勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算．
2．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数关系式，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）当四边形为菱形时，即时，进而由解三角形求出，即可得出结论；
（2）过点作，垂足为，五边形的面积为，利用解三角形把相关线段用表示即可求出；
（3）延长、交于点，根据，，利用相似三角形性质得线段成比例列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，
∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，即，
∵在中，
∴，，
∴，
当四边形为菱形时，即时，
，
∴
（2）过点作，垂足为，
依题意得：，，
∵，，，
∴，
，
，
∴，
∵五边形的面积为，
∴，
即
（3）延长、交于点，
∵四边形为平行四边形，∴，，
由（2）得，，
∴，，
，
∴，
∴
∵
∴，，
∴，，
∴，
解并检验得：，，
在运动过程中，时，使得．
3．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作交于，由直角三角形的性质可得，求出，解直角三角形得出，证明为等腰直角三角形，得出，结合，得出，从而可得，即可得解；
（2）连接，延长使得，连接，由旋转的性质可得，，证明，得出，，再证明，得出，，结合对顶角相等得出，从而可得，即可得证；
（3）由等腰直角三角形的性质可得，，由圆周角定理可得，点在以为直径的圆上，取的中点，连接交于，此时最小，为，则，由勾股定理可得，从而求出的最小值为，作于，于，则，，由旋转的性质可得，，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，从而推出点在过点且与夹角为的直线上，过点作于，由垂线段最短可得，此时最小，为，证明，由相似三角形的性质求出，，最后由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】（1）解：如图，作交于，
，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，延长使得，连接，
，
由旋转的性质可得，，
∴，即，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴由圆周角定理可得，点在以为直径的圆上，
如图，取的中点，连接交于，此时最小，为，
，
则，
∴，
∴的最小值为，
作于，于，则，，
由旋转的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点在过点且与夹角为的直线上，
过点作于，
由垂线段最短可得，此时最小，为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴当，均取得最小值时，的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
4．二七塔的高度约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图，延长交于点．易得，．则四边形为矩形，进而得到．在中易得，再在中解直角三角形可得，再结合列方程求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点．
由题意可得：，．
∴四边形为矩形，
∴．
设，
在中，，
．
在中，．
，
．解得．
．
答：二七塔的高度约为．
5．(1)15
(2)直线与相切，理由见解析
(3)r的最小值为
【分析】（1）利用轴对称的性质，圆周角定理解答即可得出结论；
（2）过点E作于点H，利用菱形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理得到，则为圆的直径，利用等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，通过计算求得，则，最后利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用点的轨迹得到的外接圆为以为弦，所对的圆周角为的圆，则当取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值，过点D作于点E，利用轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质得到的长，则结论可求．
【详解】（1）解：∵关于的轴对称图形为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：直线与相切，理由：
过点E作于点H，如图，
∵四边形为菱形，
∴，
∵关于的轴对称图形为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为圆的直径，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴直线与相切；
（3）解：的外接圆的半径r的最小值为．
由题意得：，
∴的外接圆为以为弦，弦所对的圆周角为的圆，
∴当取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值，
∵点E在射线上运动，
∴当时，取得最小值，
过点D作于点E，如图，
此时点与点B重合，为的外接圆的直径，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的外接圆的半径r的最小值．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质和菱形的性质是解题的关键．
6．(1)，
(2)房子的高度为米；塔的高度为米．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）利用，可求得米，在中，利用正切函数的定义求得，进一步计算即可求解；
（2）作于点，交于点，在中，利用正切函数的定义列式得到，求得，在中，利用正切函数的定义列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵米，，
∴，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
∴米，
故答案为：，；
（2）解：作于点，交于点，
则四边形和四边形是矩形，
设米，
在中，，
∴，
在矩形中，，，
∴，
在中，，，即，
∴，
解得，
由（1）得米，米，
∵四边形是矩形，，，
在中，，，，∴，
∴米．
答：房子的高度约为米；塔的高度约为米．
7．（1）平行四边形的面积为；（2）①；②政府的预算一定够用，理由见解析．
【分析】1）过点作于点，由题意可知，，根据解直角三角形求出，即可求解；
（2）①在中，，在中，求出 ，在中，求出，再根据三角形面积公式即可求解；
②设种植牧丹园的总费用为元，，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，由题意可知，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴，
∴平行四边形的面积为；
（2）①如图，连接，过点作，
∵，
∴的半径为，
∴
由题可知点和点，点和点分别关于对称，
∴，，
，即，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
，
∴在中，，
，
∵，
∴，
，
，，
，
∵点和点，点和点分别关于对称，
∴，
，
∴；
②设种植牧丹园的总费用为元，
由①可知，
，
∵，
∴当时，取最大值，最大值为，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
综上，，
∴政府的预算一定够用．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键．
8．(1)，；
(2)①；②．
【分析】（1）由点，得到，根据点是边的中点，得到，从而得出点坐标，连接，过点作于点，证明为等边三角形，求出，即可得出点坐标；
（2）①由平移可知，，，有，得到，再得到，根据解直角三角形可得答案；
②分两种情况：当时，重叠部分为五边形，当时，重叠部分为直角三角形，分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴点，
如图，连接，过点作于点，
∵，，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
故答案为：，；
（2）解：①由（1）可知，为等边三角形，
由平移可知，，，有，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
② 当时，重叠部分为五边形，
∴，
由平移可得，，
∴，
∴为等边三角形，
同理，，
在中，
，
，
∵，
∴时，时，，
，
当时，重叠部分为直角三角形，
在中，
∵，
∴，
，
∵，
∴时，时，，
∴综上所述，取值范围为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平移的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)的长为
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
（1）先求出点E坐标即可得到的值；
（2）根据图象直接写出不等式解集即可；
（3）先求出解析式，过点作，交于点，则，继而求出的解析式得到点P坐标，最后得到长的即可.
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
在函数中，当时，，
∴点D的坐标为，
∵点D的坐标为且在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∵正方形的边长为3，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵在函数中，当时，，
∴由图象可知的x的取值范围为；
（3）解：设直线的解析式为，代入点和得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作，交于点，
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴．
10．(1)，
(2)的值为或
(3)见详解
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数和一次函数的表达式，顶点坐标，三角函数比，相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质．
（1）利用待定系数法求二次函数的表达式，利用顶点表达式即可求出顶点坐标；
（2）采用分类讨论，分别当和时，利用相似比列出方程求解即可；
（3）利用勾股定理求得的长，再利用三角函数比求出，根据直线和坐标轴的交点个数得出，利用待定系数法求出直线 对应的函数表达式，最后求的结果即可．
【详解】（1）解： 点 ， 在抛物线 上，
解得
抛物线对应的函数表达式为 又 ，
顶点 D 的坐标为 ；
（2）解：由题意得 ，，，，，
①当 时，，即 ，解得 ；
②当 时，，即 ，解得 ；
综上所述，当以 ，，为顶点的三角形与 相似时，的值为 或 ；
（3）解：由题意得 ，，
，
，
由抛物线的对称性易得 ，
，
直线 与抛物线只有一个公共点，
关于 的方程 ，即 有两个相等的实数根，
，
解得 ，
设直线对应的函数表达式为 ，
点 ， 在直线 上，
解得
直线 对应的函数表达式为 ， 为定值．
11．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作交延长线于点，设，在中利用三角函数的定义求出和的长，得出的长，在中利用勾股定理表示出的长，再根据平角的定义得到，即可求解；
（2）过点作于点，结合（1）中的结论，代入数据求出和的长，再利用等面积法得到，求出的长，即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点作交延长线于点，则，
设，
在中，，，
，，
，
在中，，
，
，
，即，
，
的长度为．
（2）解：如图，过点作于点，
，，，
，，
，
，
答：小土坡的高度为．
12．(1)，，
(2)
(3)①；②的取值范围为或或
【分析】（1）将，两点代入抛物线，求出、的值，令抛物线，即可求解的值；
（2）过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，交轴于点，可证得，得，根据，利用待定系数法求出直线的解析式为，设直线的解析式为，求得，设、，则可得，通过图象得点、在轴的同一侧，即可求解；
（3）①求出，则可得，即可求得关于的函数解析式；②画出函数图象，分析图象即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与直线交于点，两点，
将，两点代入抛物线，得：
，解得：，
抛物线，
令，解得：（舍去）或，
点，即．
，，．
（2）解：如图，过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，交轴于点，
，
，
，
点的横坐标为，
，
直线的解析式为，，
设直线的解析式为，
点是抛物线与直线的交点，
，得：，
直线的解析式为，
设，，
，
由图象可得：点、在轴的同一侧，
，解得：，
点在直线的右侧，且，
.
（3）解：①如图，设与轴的交点为点，
直线的解析式为，
直线与轴的交点为，与轴的交点为，
，
，
，
，
．
在中，，
，
．
②点是直线下方抛物线上不与，重合的一动点，且，
画出图象如下：
，
，
，
或，
当时，，
当时，，
点在直线下方，
，
由图象得：若，则的取值范围为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解二元一次方程组，解一元二次方程等，理解题意、利用参数构建方程是解题关键．
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