2025年中考数学解答题系列：实际问题与二次函数（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：实际问题与二次函数
1．掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求抛物线的表达式；
(2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
(3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分．
2．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y．
①直接写出y关于x的函数关系式；
②求售价x定为多少元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为多少？
3．冬天来临，气候寒冷，市场上保暖产品热销．巫山县某商场提前谋划，从10月中旬开始销售一种每件进价为50元的保暖衣，物价部门规定每件保暖内衣售价不得高于80元，商场销售部负责人通过对销售数据的分析，发现这种保暖内衣每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足函数关系：．
(1)商场每月想从这种保暖内衣销售中获利2000元，该如何给这种保暖衣定价？
(2)请问这种保暖衣售价定为多少元时可获得最大月利润？最大月利润是多少？
4．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．
(1)请在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)求该抛物线的函数表达式；
(3)如果该隧道内设双向行车道，一大型货运汽车装载某大型设备后，高为，宽为，那么这辆货车能否安全通过？为什么？
5．小明利用电脑软件模拟弹力球的抛物运动．如图，弹力球从x轴上的点A处抛出，其经过的路径是抛物线L：的一部分，并在点B处达到最高点，落到x轴上的点C处时弹起，向右继续沿抛物线G运动．已知抛物线G与抛物线L的形状相同，且其达到的最大高度为1个单位长度．
(1)直接写出点C的坐标．
(2)求抛物线G的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）．
(3)在x轴上有一个矩形接球筐，其中，点N位于点处，弹力球只可通过矩形接球筐的边落入框内．为使弹力球落入接球筐内（落在点M，N上也视为落在筐内），需将接球筐沿x轴向左移动b个单位长度，求出b的取值范围．（结果保留根号）
6．土族盘绣是青海省互助县土族民间传统美术，国家非物质文化遗产之一，在青海省都兰县发掘的土族先祖吐谷浑墓葬中，出现了类似盘绣的绣品，说明4世纪左右盘绣工艺已经出现．小花的妈妈想设计一幅周长为8米的矩形盘绣作品，已知盘绣作品的成本费用为每平方米2000元，设矩形的一边长为米，这幅作品的成本费用为元．
(1)若该矩形作品的面积为时，该作品的两边长分别是多少？
(2)当取何值时，这幅作品的成本费用最大？为多少元？
7．嘉嘉和淇淇在一起玩弹力球，在点处有一个发射装置，向右上方发射一个弹力小球，小球的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，点，在抛物线上，抛物线交y轴于点，最终，小球落在了轴上的点处，随后因为弹力作用，小球被弹起来，继续向右沿着另一条抛物线运动，抛物线和形状相同，且最大高度为．
(1)求抛物线的表达式和其顶点坐标．
(2)在点右侧有一个截面为等腰直角三角形的球筐，斜边为入口，，，当小球落在斜边（包括端点）上时，小球落入球筐，若点E的坐标为，判断小球被反弹后，是否能落入球筐，若能，请说明理由，若不能，则为了小球落入球筐，需平移球筐，求平移后点横坐标的取值范围．
8．某公司对其产品的年宣传费用为万元，这种产品的年销售量为吨，年利润为万元．它们之间满足如下关系：，．下表是近年公司的统计数据：
万元
吨
万元
(1)请你补全表格中的数据；
(2)请在下面平面直角坐标系中描出点；
(3)解决问题：当年宣传费用为__________万元时，年利润最大，此时利润为__________万元．
9．纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸鸢竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）的影响．如图所示，小明玩纸飞机，其起抛点的高度为米，当纸飞机的水平飞行距离为3米时达到最大高度米．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)小明前方，距离小明米．有一堵米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且不包括端点），求的取值范围；
(3)小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为10米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过米）
10．如图（1）是某公园的一种水上滑道娱乐项目，某数学兴趣小组利用计算机模拟该项目游玩过程．如图（2）是小组绘制的水滑道截面图，游玩者从起点A处沿滑道下滑至腾空点B处，飞出后落入水面上的点C处，滑道和游玩者腾空飞出后经过的路径都近似看作抛物线的一部分（将游玩者看作一个点）．以水面所在的水平线为x轴，过腾空点B与水面垂直的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，O为坐标原点．滑道的解析式为，点O与对面水池边缘点D的水平距离是14米．某游玩者腾空后形成的抛物线与滑道所在抛物线关于点B成中心对称．
(1)若点B与水面的垂直距离为2米，
①直接写出a值；
②从起点开始到落水的运动过程中，恰有两个点到水面的垂直高度相等，求这两个点之间的水平距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，游玩者腾空后的落点C与水池边缘D的距离不少于2米，不超过6.5米．
11．如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度运动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为？
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度为？
(3)如果P、Q分别从A、B同时出发，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P、Q的运动时间，如果不能请说明理由．
(4)若用S表示四边形的面积，请直接写出经过______秒S取得最小值，最小值是______．
12．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为．
(1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式．
(2)求出杯口口径的长．
(3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值．
《2025年中考数学解答题系列：实际问题与二次函数》参考答案
1．(1)
(2)没有得满分，见解析
(3)当掷出点的高度至少达到时，可得满分
【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
（1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可；
（3）把，代入得解析式，求出，再令即可求解．
【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
2．(1)
(2)①；②当时，利润最大，最大值为12250元
【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解；
②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a，
由题意可得，
解得，（舍去）
∴该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：①根据题意得：
．
②根据题意得：
．
∴当元时，w取最大值12250元．
3．(1)商场每月想从这种商品销售中获利元，此时这种商品的定价为元
(2)售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元
【分析】（1）根据“每件的利润×销售量=总利润”，列出相应的方程，然后求解即可，注意售价的取值范围；
（2）根据“每件的利润×销售量=总利润”，写出月利润关于售价x的函数关系式，再根据二次函数的增减性质和售价的取值范围，即可得到利润的最大值．
本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用——利润问题．解答本题的关键是熟练掌握总利润与每件利润和数量的关系，列出相应的方程，相应的函数解析式，利用二次函数的增减性质求最值．
【详解】（1）由题意可得，
，
解得，（不符题意，舍去），
答：商场每月想从这种商品销售中获利2000元，此时这种商品的定价为元；
（2）设利润为w元，
由题意可得：，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵物价部门规定每件售价不得高于80元，
∴，
∴当时，w取得最大值，此时，
答：售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元．
4．(1)作图见解析；
(2)；
(3)大货车可以安全通过，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，建立平面直角坐标系等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意建立平面直角坐标系即可；
（2）设函数表达式为，根据题意，得点的坐标为，，利用待定系数法求解即可；
（3）隧道内设双向行车道，求出纵坐标与作比较即可．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图：
（2）解：设函数表达式为，
根据题意，得点的坐标为，，
代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：；
（3）解：大货车可以安全通过，理由如下：
隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道，
∴当时，，
∴这辆大货车能安全通过这个隧道．
5．(1)
(2)（或）
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）令，解方程即可得出点C的坐标；
（2）根据题意设抛物线G的函数表达式为，再将点代入求解即可；
（3）当时，求得，分别求出当弹力球恰好砸中筐的最左端时，当弹力球恰好砸中筐的最右端时，b的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：令，
解得，，
∴点C的坐标为；
（2）解：抛物线G与抛物线L的形状相同，且最高点的纵坐标为1，
设抛物线G的函数表达式为，
抛物线G经过点C，
将点代入，得，
解得（舍去），，
抛物线G的函数表达式为（或）；
（3）解：当时，，
解得，（不合题意，舍去）．
球筐的最左端与原点的距离为6.5，
当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
，
球筐的最右端与原点的距离为7.5，
当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
b的取值范围为．
6．(1)该作品的两边长分别是1米和3米
(2)当时，这幅作品的成本费用最大，最大费用为8000元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元二次方程和二次函数的应用是解题关键．
（1）先求出矩形的另一边长为米，再根据矩形的面积公式建立方程，解方程即可得；
（2）先求出矩形的另一边长为米，再求出关于的函数关系式，然后求出自变量的取值范围，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：由题意得：矩形的一边长为米，另一边长为（米），
∵该矩形作品的面积为，
∴，
整理得：，
解得或，
当时，，
当时，，
答：该作品的两边长分别是1米和3米．
（2）解：由题意得：矩形的一边长为米，另一边长为（米），
则，
∵，
∴，
又∵二次函数中的，
∴在内，当时，取得最大值，最大值为8000，
答：当时，这幅作品的成本费用最大，最大费用为8000元．
7．(1)，顶点坐标为
(2)小球不能落入球筐，当点横坐标的取值范围为时，小球可以落入球筐
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与几何图形的综合运用，数形结合分析思想是解题的关键．
（1）根据题意，设抛物线的表达式为，由过点，运用待定系数法得到抛物线的表达式为，由此即可求解；
（2）抛物线和抛物线形状相同，最大高度为2，设的表达式为，由同样也经过点，运用待定系数法得到抛物线的表达式为，当抛物线经过点，及之间时，能落入球框，由等腰直角三角形等着得到，则令，由此即可求解．
【详解】（1）解：抛物线过点和，
∴抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的表达式为，
∵过点，
∴将点A，B坐标代入，得，
∴，
∴抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：抛物线和抛物线形状相同，最大高度为2，设的表达式为，
∵同样也经过点，代入可得，
解得，（舍），，
∴抛物线的表达式为，
将代入，
得（舍），．
∵点的横坐标为，
∴小球不能落入球筐，
∴当抛物线经过点，及之间时，能落入球框，
∵，
∴令，
∴或（舍去），
∴，
∴当点横坐标的取值范围为时，小球可以落入球筐．
8．(1)补全表格见解析
(2)画图见解析
(3)，
【分析】（）把的值代入关系式求出的值即可补全表格中的数据
（）根据表格数据画图即可；
（）由题意可得，再根据二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把，代入，得，
∴补全表格中的数据如下：
万元
吨
万元
（2）解：描点如下：
（3）解：∵，
∴当，即时，取最大值，最大值为，
故答案为：，．
9．(1)
(2)
(3)当纸飞机开始滑行时的高度为米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为10米
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意得抛物线经过且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）将代入解析式求出x的值即可得到答案；
（3）设滑行高度为米，则水平滑行的距离为米，根据题意列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过，且顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
（2）解：将代入解析式得：，
解得：或，
∴；
（3）解：设滑行高度为米，则水平滑行的距离为米，
当时，解得或
∴飞行的距离为米，
∴，
∴，
∴，
∵纸飞机开始滑行的高度不超过米，
∴
∴当纸飞机开始滑行时的高度为米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为10米．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
10．(1)①；②米
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）①由题意得，利用待定系数法求解即可；
②利用中心对称的性质求得抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求得抛物线的解析式，根据题意这两点分别在两条抛物线上，且必经过一条抛物线的顶点，据此分两种情况讨论，即可求解；
（2）由题意求得抛物线的解析式为，，求得落点C的横坐标在之间，再分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：①由题意得，
将代入得，，解得；
②由①知，滑道的解析式为，顶点坐标为，
∵抛物线与滑道所在抛物线关于点B成中心对称，
∴抛物线的顶点与关于点对称，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
∵从起点开始到落水的运动过程中，恰有两个点到水面的垂直高度相等，
∴这两点分别在两条抛物线上，且必经过一条抛物线的顶点，
当经过点时，
将代入，得，
解得（舍去负值），
∴这两个点之间的水平距离为；
当经过点时，
将代入，得，
解得（舍去正值），
∴这两个点之间的水平距离为；
综上，这两个点之间的水平距离为米；
（2）解：∵滑道的解析式为，
同理知，抛物线的解析式为，
由题意得落点C的横坐标在之间，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴．
11．(1)2或3秒
(2)3秒
(3)不能，理由见解析
(4)，
【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程以及配方法的应用．
（1）设运动t秒后的面积等于，用t表示出、的长，利用三角形面积公式可得方程解方程即可；
（2）在中，根据勾股定理，得，把、代入可得方程，解方程即可；
（3）根据三角形的面积公式，得，则，然后判断方程根的情况，方程无根说明线段不能把分成面积相等的两部分；
（4）根据题意求出，根据配方法求得最大值，即可求解．
【详解】（1）解：设运动t秒后的面积等于，
根据题意，知，，
根据三角形的面积公式，得，
则，即，
解得或3，
故2或3秒后，的面积等于；
（2）根据勾股定理，得，
解得（不合题意，舍去）或，
∴．
故3秒后，的长度等于；
（3）不能，理由如下：
根据三角形的面积公式，得，
则，
即，
．
故线段不能把分成面积相等的两部分；
（4）设运动时间为t秒，根据题意，知，，
∵，
∴时，S有最小值，最小值为，
故答案为：，
12．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，
（1）利用待定系数法法求解即可；
（2）先求出、的坐标，进而即可得解；
（3）理解题意求出直线的解析式，即可得到答案．
【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为的轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
由题意得，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得，
;
（2）解：当时，，
解得，
，
∴;
（3）解：根据题意知，，设与轴的交点坐标，与轴的交于点，
在中，，
，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
故线的解析式为，
令，
解得或，
点的横坐标为，
当时，，
，
．
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