2025年中考数学解答题系列：实际问题与二元一次方程组（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：实际问题与二元一次方程组
1．2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元．
(1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？
(2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？
2．在农作物不同的生长阶段运用科技手段实现精准施肥，可以提高产量和质量．某农场为种植小麦需要配制复合肥料．小麦在生长过程中需要大量的氮（N）促进叶片生长，适量的磷（P）促进根系发育，以及足够的钾（K）提高果实品质．农场有两种原料可供使用，其氮、磷、钾含量及成本如下表：
原料 氮（N）含量 （千克/吨） 磷（P）含量 （千克/吨） 钾（K）含量 （千克/吨） 成本 （元/吨）
原料A 20 40 30 600
原料B 50 10 40 800
(1)在小麦播种前农场根据土壤检测结果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A，B两种原料各多少吨？
(2)4月份，小麦进入拔节期，农场根据小麦长势和底肥用量计划配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的，且含有不少于100千克钾，请设计出成本最低的配制方案．
3．“周礼伤心凉粉”是安岳的一大美食，它不仅口感鲜美，而且制作工艺独特，传承历史悠久，被誉为四川的传统工艺之一．现有，两类“周礼伤心凉粉”特受顾客喜爱．已知购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元．
(1)分别求出，两类“周礼伤心凉粉”每份的价格；
(2)芮芮家为了招待远道而来的客人，准备购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元，则最多能购买类“周礼伤心凉粉”多少份？
4．年关将至，幸福小区物业决定采购A，B两种型号的灯笼．若购买3个A型灯笼和4个B型灯笼共需要116元；购买6个A型灯笼和5个B型灯笼共需要172元．
(1)求A，B两种型号灯笼的单价；
(2)若需要购买A，B两种型号的灯笼共200个，总费用不超过3000元，至少需要购买A型灯笼多少个？
5．某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和显示器，若购进电脑机箱5台和显示器4台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和显示器5台，共需要资金7900元．
(1)求每台电脑机箱和显示器的进价各是多少元？
(2)该经销商计划购进这两种电脑机箱和显示器共50台，用于购买这两种电脑机箱和显示器的资金不超过36000元．求最多能购进多少台显示器？
6．2025年亚冬会在哈尔滨举办，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受广大游客的喜爱，某专营店计划购进A、B两款纪念品，若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元．
(1)求A、B两款纪念品每件的进价分别为多少元？
(2)若A款纪念品售价为38元，B款纪念品售价为45元，该专营店计划购进A、B两款纪念品共50件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于540元，那么该专营店最多可以购进A款纪念品多少件？
7．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．某经销商发现，与吉祥物“滨滨”和“妮妮”相关的甲、乙两款纪念品深受大家喜爱．已知购买3个甲款纪念品和2个乙款纪念品共需180元；购买5个甲款纪念品比购买3个乙款纪念品多15元．
(1)甲、乙两款纪念品的售价各是多少？
(2)甲款纪念品的进价为20元，乙款纪念品的进价为38元．若该经销商计划购进甲、乙两款纪念品共60个，且乙款纪念品的购买数量不低于甲款纪念品购买数量的2倍，则应如何进货能使得这批纪念品全部售出后所获利润最大，最大利润是多少？
8．某兴趣小组在开展“探究小球与水面高度关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为的圆柱形烧杯中（烧杯中原有水面高度是），以观察放入大球和小球数量和烧杯中水面高度的变化情况，兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果见图（如图）．请根据图中信息回答下面的问题：
(1)放入一个小球水面升高_________．
A．2 B．3 C．6 D．
(2)若放入大球、小球共10个，要使水面上升到，求放入大球、小球各多少个？
(3)现有充足的大球和小球，要使水面上升到，下面的方案正确的序号是____________．
①往烧杯中放入1个大球和10个小球；②往烧杯中放入2个大球和9个小球；
③往烧杯中放入4个大球和7个小球；④往烧杯中放入6个大球和3个小球；
⑤往烧杯中放入8个大球．
A．①②④⑤ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③④
9．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．
(1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
10．综合与实践
【背景】住尤溪的小颖想给亲朋好友寄送尤溪特产．
【素材】
素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表：
计费单位 收费标准
福建省内 江浙沪地区
首重
续重
素材2：
电子存单1 电子存单2
托寄物：尤溪特产 目的地：福州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：尤溪特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元
素材3：收费说明
①每件快递按送达地分别计算运费；
②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）．
【问题解决】
(1)小颖给在厦门的朋友寄出了千克的尤溪特产，她需要支付快递费多少元？
(2)小颖给在杭州的外婆寄特产快递费花了72元，求这份特产重量的取值范围．
11．佰洋电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是2025年3月前两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售总额
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 18000元
第二周 4台 10台 31000元
(1)求A，B两种型号的净水器的销售单价？
(2)由于前两周两种净水器都销售一空，电器公司第三周采购这两种型号的净水器共30台，恰好花费54000元，求A种型号的净水器采购了多少台？
(3)在（2）的条件下，电器公司第三周开始销售部分刚购进的A型号和B型号净水器，但发现市场将要被新款智能净水器所取代，为扩大销售量，将剩余B种型号净水器按售价的七折进行销售，A种型号净水器原售价不变，当第三周采购的30台净水器都销售一空后统计这30台净水器的利润为6700元，求电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为多少个？
12．随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）：
线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元）
第一批
第二批
(1)求该水果线上、线下的销售单价各是多少元；
(2)若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？
《2025年中考数学解答题系列：实际问题与二元一次方程组》参考答案
1．(1)“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元
(2)当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案．
（1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可；
（2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可．
【详解】（1）解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，
由题意知： ，
解得，
答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元．
（2）解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，
由题意知：，
解得：，
设这批书签全部售出后获利W元，
则，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时，，W有最大值，元．
答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元．
2．(1)使用种原料2吨，种原料4吨
(2)使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低
【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式求解是关键．
（1）设使用种原料吨，种原料吨，由数量关系列二元一次方程组求解即可；
（2）设使用种原料吨，则种原料吨，列不等式得，解得，设总成本为元，则，根据一次函数求最值的方法计算即可求解．
【详解】（1）解：设使用种原料吨，种原料吨，
根据题意得，
解得，
答：使用种原料2吨，种原料4吨．
（2）解：追肥用量是底肥用量的，
追肥用量为（吨），
设使用种原料吨，则种原料吨，
要求肥料中含有不少于100千克钾，
，
解得，
设总成本为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
，
答：使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低．
3．(1)类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元．
(2)最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键．
（1）设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，根据题意列出二元一次方程组，然后解方程即可；
（2）设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份，根据题意列出一元一次不等式，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为．
，解得
答：类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元．
（2）解：设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份．
解得
最大为
类“周礼伤心凉粉”最多购买份
答：最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份．
4．(1)A，B两种型号灯笼的单价分别为12元和20元
(2)125个
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设A，B两种型号灯笼的单价分别为元和元，由“购买3个A型灯笼和4个B型灯笼共需要116元；购买6个A型灯笼和5个B型灯笼共需要172元”；
（2）设需要购买A型灯笼个，则需要购买B型灯笼个，由总费用不超过3000元建立不等式求解．
【详解】（1）解：设A，B两种型号灯笼的单价分别为元和元
根据题意列方程组得
解得，
答：A，B两种型号灯笼的单价分别为12元和20元；
（2）解：设需要购买A型灯笼个，则需要购买B型灯笼个
根据题意得
解得
答：至少需要购买A型灯笼125个．
5．(1)每台电脑机箱的进价为200元，每台显示器的进价是1500元
(2)20台
【分析】此题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用， 根据等量关系列出方程组是解题的关键．
（1）根据题意得出等量关系列出方程组，即可求出电脑机箱和液晶显示器的单价；
（2）根据题意列不等式计算即可求解．
【详解】（1）解：设每台电脑机箱的进价为元，每台显示器的进价是元，
根据题意得：，
解方程组得：，
答：每台电脑机箱的进价为200元，每台显示器的进价是1500元．
（2）解：设购进台显示器，
根据题意得：，
解不等式得：，
答：最多能购进20台显示器．
6．(1)A、B两种工艺品每件的进价分别为28元和33元
(2)该专营店最多购进A种工艺品30件
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
（1）设A、B两款纪念品每件的进价分别为x元和y元，再由“若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元”列方程，再解方程即可；
（2）设该专营店购进A种工艺品a件，由总获利不低于540元，再列不等式，再解不等式即可．
【详解】（1）解：设A、B两款纪念品每件的进价分别为x元和y元，
则，
解得：，
答：A、B两种工艺品每件的进价分别为28元和33元．
（2）解：设该专营店购进A种工艺品a件，
则，
解得：．
答：该专营店最多购进A种工艺品30件．
7．(1)甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元；
(2)购进甲款个，乙款个时，最大利润为元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元，根据题意列出方程组，求解即可；
（2）设购进甲款个，则乙款为个，利润为元，依题意得，再求出的范围即可求解．
【详解】（1）解：设甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元，根据题意得：
，
解得：，
答：甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元；
（2）解：设购进甲款个，则乙款为个，利润为元，依题意得：
，
∵，
∴，
当时，利润最大：元，
答：购进甲款个，乙款个时，最大利润为元．
8．(1)A
(2)放入大球4个、小球各6个．
(3)B
【分析】本题主要考查了一元一次方程、二元一次方程组的应用、有理数的混合运算等知识点，正确求出放入一个小球和大球水面上升的高度是解题的关键．
（1）根据放入3个体积相同的小球水面升高了，据此列式计算即可求解；
（2）根据放入2个体积相同的大球水面升高了，求出放入一个大球水面升高的高度，然后根据意义列二元一次方程组方程组求解即可；
（3）分别求出每一种方案的水面高度即可求解.
【详解】（1）解：由题意可得，放入3个体积相同的小球水面升高了，
∴放入一个小球水面升高．
故选：A．
（2）解：由题意可得，放入2个体积相同的大球水面升高了，
∴放入一个大球水面升高，
设放入大球x个，放入小球y个，
由题意可得：，解得：，
答：放入大球4个、小球各6个．
（3）解：∵，
∴方案①不正确；
∵，
∴方案②正确；
∵，
∴方案③不正确；
∵，
∴方案④正确；
∵，
∴方案⑤正确．
综上，方案正确的是②④⑤．
故选：B．
9．(1)选用A种食品2包，B种食品4包；
(2)选用A种食品6包，B种食品2包．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求得的范围，设总热量为，得到，再利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用A种食品2包，B种食品4包；
（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得．
∴．
设总热量为，则．
∵，
∴w随a的增大而减小．
∴当时，w最小．
∴．
答：选用A种食品6包，B种食品2包．
10．(1)支付快递费16元．
(2)这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用．
（1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，确定．根据福建省内收费标准计算即可．
（2）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程，再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可知：
解得．
∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算，
即（元）．
她需要支付快递费16元．
（2）解：设这份特产按千克计费，
则
解得．
所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克．
11．(1)A型2500元，B型2100元
(2)10台
(3)10台
【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次方程的应用，根据题意正确列方程（组）是解题的关键．
（1）设A种型号的净水器的销售单价为x元，B种型号的净水器的销售单价为y元，根据“第一周A种型号净水器的销售量为3台，B种型号净水器的销售量为5 台，销售总额为18000元；第二周A种型号净水器的销售量为4台，B种型号净水器的销售量为10台，销售总额为31000元”，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种型号的净水器采购了m台，则B种型号的净水器采购了台，根据总价单价数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为n台，则不打折销售的B种型号净水器为台，根据利润销售收入进货成本，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种型号的净水器的销售单价为x元，B种型号的净水器的销售单价为y元，
依题意，得，
解得： ，
答：A种型号的净水器的销售单价为2500元，B种型号的净水器的销售单价为2100元．
（2）解：设A种型号的净水器m台，则B种型号的净水器台，
依题意，得：，
解得，
答：A种型号的净水器采购了10台．
（3）解：设电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为n台，则不打折销售的B种型号净水器为台，
依题意，得：，
解得：，
答：电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为10台．
12．(1)该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元
(2)当线下采购该水果时最省钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，利用总收入销售单价销售数量，结合第一、二两批该水果的销售量和总收入，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，根据线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该公司采购该水果共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元；
（2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，
根据题意得：，
解得：．
设该公司采购该水果共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值．
答：当线下采购该水果时最省钱．
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