2025年中考数学解答题系列：实际问题与一元二次方程（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：实际问题与一元二次方程
1．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．
如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
(1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
(2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
2．某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元．
(1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元．
3．其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）．
表2
（吨）
（万元/吨）
(1)求与的函数解析式（不写定义域）；
(2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价；
(3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由．
（备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率）
4．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为．
(1)求此时花圃边的长；
(2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由．
5．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个．
(1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？
(2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．
6．（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ．
（2）如图2，元旦手抄报展览即将开始．为制作出精美的主题展览作品，小华想用一张面积为的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景．若设计长方形卡纸的长宽之比为，小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由．
7．如图，这是某种药物服用后在体内浓度含量（单位：mg）和时间（单位：h）之间的函数图象，其中在服用后前9h，图象是抛物线的一部分，后图象为直线的一部分．
(1)若某个成年人在服药后浓度最高可达到．
求，的值；
求药物在服用期间浓度不低于持续的时间；
(2)若整个服药期间，要求药物在体内残留时间不低于，且不得超过，求的取值范围．
8．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．
请你解决下列问题：

(1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由．
(2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
9．小张从家具厂家购进了A、B两种型号的木地板，已知每平米A型木地板的进价比每平米B型木地板的进价多30元，用7500元购进A型木地板和用6000元购进B型木地板的面积相同．
(1)求每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价各是多少元？
(2)在销售过程中，A型木地板因为质量更好高，更受消费者的欢迎．为了增大B型木地板的销量，该销售商决定对B型木地板进行降价销售．经调查，当B型木地板的售价为每平方米180元时，平均每天可卖出木地板的总面积为4平方米，在此基础上，售价每降低5元，平均每天将多售出1平方米．要使平均每天销售B型木地板的利润为320元，请问该销售商应将B型木地板的售价降低多少元．
10．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止．
(1)经过多长时间，的长为？
(2)经过多长时间，的面积为？
(3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．
11．为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取）
(1)试用含x的代数式表示y；
(2)现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；
②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？
12．某商业体内矩形停车场（平面图如图所示）规划A、B、C三个矩形区域（东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为米，米，米）作为停车区域和南北方向、东西方向各两条行车道（车道宽度相同），所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米．在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为米，东西方向边长为2.5米．
(1)①求行车道的宽度；
②直接写出的值是_____；车位数量为_____个；
(2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现：按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨元（为正整数），停车场当天收费总金额为元，求停车场当天收费总金额的最大值．
(3)通过对试营业期获取的数据进行研究后，停车场确定（从1月1日起）收费标准为：每个车位每天收费16元，同时将未出租的车位中的个普通车位改装为充电车位（充电车位必定能出租）．已知充电车位改装费为：5000元/车位．若停车场改装个车位后，要使得停车场的全年（按365天计）总收入（全年停车收费扣除充电车位改装费用）高于未改装之前的全年（按365天计）停车场停车收费总金额最大值，直接写出的最小值是_____．
《2025年中考数学解答题系列：实际问题与一元二次方程》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，
由题意得：，
解得：或（舍去），
∴剪去正方形的边长为；
（2）解：设剪去的正方形的边长为，
由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴剪去的正方形的边长为．
2．(1)它的种植面积；
(2)当甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元．
【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，一元一次方程的应用等知识，掌握知识点的应用是解题的关键
（）当时，求出与之间的关系式为，当元时，，求出即可；
（）由题意得甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为，然后分当 时和当时，然后解方程即可．
【详解】（1）解：当时，设与之间的关系式为，
把，代入得，
，解得：，
∴与之间的关系式为，
当元时，，解得：，
∴它的种植面积；
（2）解：∵甲种蔬菜的种植面积为，
∴乙种蔬菜的种植面积为，
当时，
根据题意，得，
解得，，
当时，；当时，；
当，
根据题意，得，
解得，不符合题意，舍去，
答：当甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元．
3．(1)
(2)万元/吨
(3)需要采购蓝莓的重量为吨
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键；
（1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解．
（3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设与的函数解析式为
代入，
∴
解得：
∴
（2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨）
（3）解：依题意，
原方程组整理得，
解得：（舍去）
答：需要采购蓝莓的重量为吨
4．(1)花圃边的长为4米．
(2)花圃的面积不能达到，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键．
（1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答．
【详解】（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，
∵墙的最大可用长度为，
∴，解得：
由题意可得：，
整理得：，解得：或（舍弃）．
答：花圃边的长为4米．
（2）解：花圃的面积不能达到，理由如下：
令，
整理得：，
因为，
所以方程无解，即花圃的面积不能达到．
5．(1)B生产线至少加工6小时
(2)a的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．
设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可；
根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时，
根据题意可得：，
解得：
答：生产线至少加工小时；
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：的值为．
6．（1）；（2）小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质、一元二次方程的应用、算术平方根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先求出大正方形的面积，然后求其算术平方根即可；
（2）设长方形纸片的长为，则宽为，再根据面积列一元二次方程求解，然后进行比较即可解答．
【详解】解：（1）由题意得：大正方形的面积，
∴大正方形的边长为．
故答案为∶ ．
(2)∵长方形纸片的长宽之比为，
∴设长方形纸片的长为，则宽为，
∴，
∴，解得∶，
又∵，
∴，
∴长方形纸片的长为，
又∵，即：，
∴小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
7．(1)，；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质及应用、方程求解及不等式的应用．
（1）根据抛物线顶点纵坐标公式求出a的值，再将代入抛物线求出此时的y值，把该点代入直线方程求出b的值；
分别在抛物线和直线部分求出时对应的x值，进而求出浓度不低于持续的时间；
（2）先求出抛物线与x轴正半轴交点，再根据直线与x轴交点的取值范围列出关于a的不等式组求解．
【详解】（1）解：①由题意可知，抛物线最高点的纵坐标为4，
∴，解得．
此时抛物线解析式为：．
当时，代入抛物线解析式．
把代入，解得．
∴，．
②将代入，解得，（舍去）；
将代入，解得，
故持续时间为：．
（2）由题意可知，当时，，
代入中，即，解得；
当时，．
代入中，即，解得；
综上，得，
当时，，此时，
∴．
解得．
8．(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与．
(2)不存在，理由见解析。
【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．
（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形．
【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与．
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则，
由①，得：，③
把③代入②，得，
解得，．
所以“减半”矩形长和宽分别为与．
（2）解：不存在，理由如下：
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
9．(1)每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价分别为150元和120元
(2)将B型木地板的售价降低元
【分析】本题涉及分式方程的应用和一元二次方程的实际应用，重点考查学生建立方程模型解决实际问题的能力．
（1）通过设定未知数，利用单价、总价、数量的关系建立分式方程，解方程求出两种木地板的进价；
（2）根据利润公式，结合售价与销量的动态关系，建立一元二次方程并求解，注意验证解的合理性．
【详解】（1）解：设每平方米B型木地板的进价为x元，则A型木地板的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
那么A型木地板的进价为（元），
答：每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价分别为150元和120元；
（2）解：将B型木地板的售价降低元，
由题意得：，
解得：，
答：将B型木地板的售价降低元．
10．(1)
(2)或
(3)不会，理由见解析
【分析】本题考查的了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用．
（1）设运动时间为，则，，，利用勾股定理得出关于t的方程，解方程即可；
（2）根据题意得，解方程即可；
（3）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论．
【详解】（1）解：设运动时间为，则，，，
∵，的长为，
∴在中，，即，
解得，
即经过，的长为；
（2）解：由（1）得，，
∵的面积为，
∴，即，
解得或，
∵当点运动到点时，点和点的运动停止，
∴，即，
∴经过或，的面积为；
（3）解：不会，理由如下：
由（2）知，
，
当的面积会等于面积的一半时，则
，
整理得，
此时，
∴的面积不会等于面积的一半．
11．(1)
(2)；能，设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆
【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键．
（1）整个广场的周长为两个圆的周长，据此根据圆周长计算公式求解即可；
（2）①分别表示出矩形和两个圆的面积，二者求和即可得到答案；②先根据题意求出x的取值范围，再根据①所求令费用为万元建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①由题意得，
；
②∵矩形的边的长不超过长的，
∴，
解得，
当时，则，
解得（舍去），
∴．
∴设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆．
12．(1)①5米；②5，80
(2)最大值为980元
(3)9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，正确建立方程和不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）①设行车道的宽度为米，根据行车道的面积等于停车场总面积减去停车区域的面积建立方程，解方程即可得；
②根据区域的南北方向宽度与行车道的宽度之和等于30米建立方程，解方程即可得的值；再根据车位的划分方法即可得车位数量；
（2）根据收费标准：停车场当天收费总金额每个车位每天费用出租车位的数量，建立与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；
（3）先求出当每个车位每天收费16元时，出租车位的数量为60个，再根据题意建立一元一次不等式，解不等式求出正整数的最小值即可得．
【详解】（1）解：①设行车道的宽度为米，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：行车道的宽度为5米．
②由题意得：，
解得，
车位数量为（个），
故答案为：5，80．
（2）解：由题意得：
，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为980，
答：停车场当天收费总金额的最大值为980元．
（3）解：由（2）可知，当每个车位每天收费16元时，出租车位的数量为（个），
则充电车位的数量，即，
由题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴的最小值为9，符合题意，
故答案为：9．
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