2025年中考数学解答题系列：数轴动点问题（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：数轴动点问题
1．如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4．
(1)点表示的数为______；
(2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒．
①当为何值时，、两点相遇？
②当点表示的数为2时，求、两点间的距离．
2．如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且．
(1)应用： ， ；
(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）；
(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值．
3．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数，
(1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________；
(2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________；
(3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离；
(4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值．
4．已知，数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过32个单位长度．
(1)求A，B两点所对应的数；
(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C对应的数；
(3)已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设线段的中点为P，线段的值是否变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由．
5．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满．
(1) ______， ______， ______；
(2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值；
(3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值．
6．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．
(1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系：
①点和点之间的距离为______，②点到点的距离为______；
③点和点之间的距离为______，④点到点的距离为______；
(2)【发现新知】如果数轴上点对应的数是，点对应的数是，那么点和点之间的距离可表示为______．（用含，的式子表示）
(3)【综合运用】①数轴上表示和的两点，之间的距离是10，求的值．
②式子的最小值是______．
7．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6．
【问题提出】
（1）点表示的数是________，点表示的数是________；
【问题探究】
（2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数；
【问题解决】
（3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离．
8．如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．

【问题探究】
（1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？
（2）图中点表示的数为____，点表示的数为___；
【问题解决】
（3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题；
一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄．
9．如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足．
(1)________；________；________；
(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________；
(3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
10．阅读理解：
若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点．
(1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”）
(2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；
(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？
11．阅读材料：点，在数轴上对应的数分别为，，当点在点的左侧时，我们把数轴上，两点之间的距离表示为．如可以表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
探索：
若点，在数轴上对应的数分别为，6．
(1)，两点之间的距离是________；
(2)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点对应的数为________（用含的代数式表示）；2秒后，两点间距离为______；
(3)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒3个单位长度同时沿数轴向右运动，求秒后，两点间距离．（用含的代数式表示）
12．如图，已知数轴上有两点，点A在的左边，原点是线段上的一点，已知点A与点之间的距离表示为，点对应的数分别是、3，且，点为数轴上的一动点，其对应的数为
(1)_______
(2)若，求的值；
(3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为1秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间1的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
13．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出A、B两点之间的距离______；
(2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数；
(3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值．
14．如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为______；图中点A所表示的数是______；点B所表示的数是______；
(2)受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生（0岁）；你若是我现在这么大，我就87岁啦！”则爸爸的年龄是______岁．（在图2中标出分析过程）
②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要13年才出生；你若是我现在这么大．我就119岁啦！”则爷爷的年龄是______岁．（画出示意图展示分析过程）
《2025年中考数学解答题系列：数轴动点问题》参考答案
1．(1)5
(2)①；②
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键．
（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数；
（2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可．
【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4，
点表示的数为，
故答案为：5．
（2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，
点表示的数为，
点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，
点表示的数为，
点、在数轴上表示的数分别是，1，
当、相遇时，有，
解得，
故当时，、两点相遇；
②由①可知，当点表示的数为2时，即，
解得，
此时点表示的数为，
点表示的数为5，
点、两点间的距离，
故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为．
2．(1)6；10
(2)；或；
(3)当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，．
【分析】此题考查数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，
（1）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可；
（3）根据两点之间的距离公式分别求出，，即可判断．
【详解】（1）解：，，
故答案为：6；10；
（2）解：t秒时点A表示的数是，
此时或，
故答案为：；或；
（3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，
当点A与点B重合时，，解得，
当时，，，
∴，此时的值随着时间t的变化而改变；
当时，，，
∴，此时的值不随着时间t的变化而改变，
综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，．
3．(1)-2，1，7；
(2)3，9，6；
(3)点A与点B之间的距离为3t+3，点A与点C之间的距离为5t+9，点B与点C之间的距离为2t+6；
(4)不变，12．
【分析】本题考查数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．
（1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；
（3）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可；
（4）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7．
故答案为：，1，7．
（2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为．
故答案为：3，9，6．
（3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为．
（4）解：∵，
∴，
∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12．
4．(1)点A表示的数为，点B表示的数为24
(2)点C表示的数为或6
(3)不变，
【分析】本题考查数轴的应用及一元一次方程的应用．
（1）直接根据有理数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可；
（2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出c的值即可；
（3）设运动时间为t秒，则，再根据点P是的中点用t表示出的长，再求出的值即可．
【详解】（1）由题意知，点A表示的数为，
设B为b，
则：
解得：
∴点B表示的数为24；
（2）设点C表示的数为x，
依题意，得
，
解得或，
即点C表示的数为或6；
（3）设运动时间为t秒，则，，
∵线段的中点为P
∴
即，
即，
所以的值不变，．
5．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了一元一次方程数轴上的点的运动问题，涉及绝对值方程、一元一次方程以及点的运动规律．需要通过解析方程和运动状态求解点的位置与时间关系．
（1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0 成为解题的关键；
（2）由题意可知，，结合两点距离公式求解绝对值方程即可，注意检验点P在点C左侧；
（3）根据C到达O点前，以及C到达O点后进行分类讨论，注意转折点对方程产生的影响．
【详解】（1）因为，所以，，
又因为点B为中点，所以．
故答案为：．
（2）由题意可得 ，，
因为，
所以，
解得：或．
检验，当时，，满足条件，
当时，，也满足条件，
综上或．
（3）由题意，可得：
C到达O点前，有：
①当M在O左侧时，此时，
解得；
②当M在O右侧、B左侧时，此时，
解得无解；
③当M在B右侧时，此时，
解得无解；
C到达O点后，有：
④当M在B右侧时，此时，
解得；
综上或．
6．(1)①4 ②2 ③3 ④4；
(2)；
(3)①或；②式子的最小值是8．
【分析】本题考查了列代数式、数轴，两点间距离，解决本题的关键是绝对值的意义的运用．
（1）观察数轴运用有理数减法即可求解；
（2）根据（1）中所观察规律即可得结论；
（3）①根据（2）中得到的结论列出等式，求解即可；
②分，，，，五种情况讨论，可得答案．
【详解】（1）解：观察数轴，可得
①点D与点A的距离为，
故答案为：4；
②点D与点G的距离为；
故答案为：2；
③点C与点A的距离为，
故答案为：3；
④点C与点F的距离为；
故答案为：4；
（2）解：如果点P对应的数是a，点Q对应的数是b，那么点P与点Q之间的距离可表示为．
故答案为：；
（3）解：①根据（2），得：，
，
即或，
解得：或．
②分五种情况：
当时，，
此时，当时，最小值是12；
当时，，
此时，当时，最小值是8；
当时，；
当时，，
此时，当时，最小值是8；
当时，，
此时，当时，最小值是12；
综上，当式子取最小值时，相应的x的取值范围是，
即
=8，
∴最小值是8．
故答案为：8．
7．（1），；（2）点对应的数为，点对应的数为；（3）点到点之间的距离与的大小无关，为定值8．
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离，数轴上的点表示有理数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式．
（1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解；
（2）由题意可得、的长度，从而由点A、C对应的数即可求出点M、N对应的数；
（3）根据题意可得点Q对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断；
【详解】解：（1）由题意可得：
点B对应的数为：，
又∵，
∴点A对应的数为：，
故答案为：，1；
（2）由题意可得：，
又∵，，
∴，
∴点M对应的数为：，点N对应的数为：；
（3）的长度与t无关，理由如下：
∵，
∴点Q对应的数为：，
∴，
∴点M到点Q之间的距离与t的大小无关，为定值8．
8．（1）；（2）；；（3）岁
【分析】本题考查数轴，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，
（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则可得出此木棒的长；
（2）根据两点间的距离公式即可求解；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，则可知爷爷比小红大，由此可求出爷爷的年龄；
利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是：，
∵
∴木棒的长为；
（2）图中点所表示的数为：，点所表示的数为：，
故答案为：；；
（3）如图，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，

爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时，
此时点所对应的数为，
小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时，
此时点所对应的数为，
∴爷爷比小红大：，
∴爷爷的年龄为（岁），
答：爷爷现在的年龄是岁．
9．(1)，，
(2)，或
(3)存在，
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题．
（1）根据绝对值和平方的非负性，相反数，即可求出a，b，c的值；
（2）先求出折点为，即可求出与点A重合的数，由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数；
（3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答．
【详解】（1）解：，，，
，，
的相反数为，
，
故答案为：，，；
（2）解：与重合，即，重合，
折点为，
与点重合的点是，
由三等分点得或，
∴表示的数为或．
故答案为：；或；
（3）解：存在，
∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，
点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，，
为定值，
的值与无关，
，
∴．
10．(1)不是，是
(2)或
(3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，新定义，解题的关键是理解新定义．
（1）根据题意可得：，，推出，根据新定义即可求解；
（2）设这个数是，根据题意得：，即可求解；
（3）设点运动的时间为，由题意得：，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，列方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，，
，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点，
故答案为：不是，是；
（2）设这个数是，
由题意得：，
解得：或，
数或所表示的点是[，]的赞点，
故答案为：或；
（3）设点运动的时间为，
由题意得：，，，
点到达点所用的时间为（秒），
分四种情况：
①当时，，
解得：，
此时是[，]的赞点；
②当时，，
解得：，
此时是[，]的赞点；
③当时，，
解得：，
此时是[，]的赞点；
④当时，，
解得：，
此时是[，]的赞点；
综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点．
11．(1)
(2)；
(3)
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，和数轴上的动点问题．
（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
（2）先求得秒后点A表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算，然后代入数值即可；
（3）先求得t秒后点A和点B表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：，两点之间的距离是，
故答案为：．
（2）解：点对应的数为；
2秒后点表示的数为，，
∴2秒后，两点间距离为；
故答案为：；；
（3）解：秒后，两点间距离为．
12．(1)
(2)或7
(3)见解析
【分析】本题考查了数轴的动点问题，掌握用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离是解题关键．
（1）根据点对应的数分别是、3，且，得，求解即可；
（2）分三种情况分析，当P点在A点左侧时，当P点位于A、B两点之间时，当P点位于B点右侧时，依次令，即可解答；
（3）表示出t秒后的各点表示的数，再计算，得出固定结果，即可说明．
【详解】（1）解：∵点对应的数分别是、3，且，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①当P点在A点左侧时，，不合题意，舍去．
②当P点位于A、B两点之间时，
因为，
所以，
所以；
③当P点位于B点右侧时，
因为，
所以，
所以．
故x的值为或7．
（3）解：t秒后，A点的值为，P点的值为，B点的值为，
所以
=9+3t-（2t+1+t）
．
所以的值为定值，不随时间变化而变化．
13．(1)
(2)或
(3)或或或或
【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，绝对值方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，得出，即可作答．
（2）进行分类讨论，则点C在B点的右边；当点C在A点与B点的之间，当点C在A点的左边，分别运用数轴两点间的距离进行列式计算，即可作答．
（3）考虑，则点P表示的数是，列式，解得或，点P第一次从点往点移动时，则点P表示的数是，得，解得或；当点P第二次从出发，列式，解得．据此即可作答．
【详解】（1）解：∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．
∴
∴A、B两点之间的距离为；
（2）解：设点C在数轴上表示有理数c，
点C在B点的右边，则结合数轴，，
不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去；
当点C在A点与B点的之间，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
当点C在A点的左边，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
∴点C表示的数为或；
（3）解：依题意，时间为t，
点Q表示的数是，
∵，
∴，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
即，
∴或，
解得或，
当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时，
则，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
，
即或，
此时或，
当点P刚好回到，此时点Q表示的数是，
∵，
∴，
∵，
∴当点P第二次从A出发，，
则点P表示的数是，
∵，
∴，
∴，
综上或，或或．
14．(1)，12，21；
(2)①58；②75．
【分析】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，读懂题干及正确理解题意是解决本题的关键．
（1）由图象可知3倍的长为，即可求得长度．A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A的左侧，距离A有9个单位长度，故B点为21．
（2）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爸爸（爷爷）的年龄，则木棒的长度表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出．
【详解】（1）解：观察数轴可知三根这样长的木棒长为，则这根木棒的长为，
∴A点表示为，B点表示的数是，
故答案为：，12，21；
（2）解：①借助数轴，把小明和爸爸的年龄差看做木棒，
同理可得爸爸比小明大，
∴爸爸的年龄是（岁），
故答案为58．
②借助数轴，把小明和爷爷的年龄差看做木棒，
同理可得爷爷比小明大，
∴爷爷的年龄是（岁），
故答案为75．
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