2025年中考数学解答题系列：四边形综合（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：四边形综合
1．如图，在 中，点 是边上的中点．
(1)请仅仅用无刻度直尺作图，画出边的中点．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，线段与相交于点，求证：．
2．通过学习，同学们知道，我们可以通过平行四边形转移边和角等信息，根据你的学习，完成下面的问题．如图，已知垂直平分线段，，．
(1)证明：四边形 是平行四边形；
(2)若，，求的长．
(3)已知，如图，四边形中，，，，请写出图中与相等的线段，并证明．
3．请用无刻度的直尺完成画图，保留作图痕迹，不要求说明理由．
(1)在图1中，作中边上的中线；
(2)在图2中，作中边上的高；
(3)在图3中，找到点，连接，使得四边形为平行四边形，并且过点作直线使其平分平行四边形的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，是原点，四边形是边长为5的正方形，点，分别在轴，轴正半轴上，为边上任意一点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，且，过点作，交于点，连接，，设．
(1)求点的坐标：（用含的代数式表示）
(2)试判断线段的长是否随点位置的变化而变化，并说明理由．
5．如图，点M是正方形的边上一点，连接，点E是线段上一点，的平分线交延长线于点F．
(1)图1，若G为的中点，延长至N，使，连接，且，连接，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点E为线段的中点，，求的长；
(3)如图3，若，求证：．
6．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
(1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
(2)如图，若，求；
(3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
7．已知在菱形中，．
(1)如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；
(2)如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值．
8．如图，在矩形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示线段的长度：_______．
(2)当时，运动时间t为多少秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．
(3)当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．
9．如图，四边形是平行四边形．

(1)尺规作图：作的角平分线，交于E；作的角平分线，交于F；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图中，经过学习小组讨论发现，请给出以下证明，请将证明过程补充完整．
证明：平分，
，
平分，
① ，
四边形为平行四边形，
② ，，，
即，
③ ，，
，，
，，
，
④ ，
．
10．在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为．
(1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E．
①当时，点D的坐标是 ；
②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标；
(2)如图2，动点D，G分别在边，上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式．
11．【问题情境】已知在四边形中，为边上一点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为点．
【问题初探】（1）如图（1），若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点，直接写出的度数：___________和的度数：___________．
【拓展变式】（2）如图（2），若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．求证：是等边三角形；
【问题解决】（3）如图（3），若四边形是平行四边形，，点落在线段上，为的中点，连接，求的面积．
12．已知平行四边形中，对角线、相交于点O，．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，，过点C作于点F，连接，过点A作交于点E，求证：．
(3)如图3，在（1）的条件下，点P是直线上的一个动点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，当的值最小时，请直接写出的面积．
《2025年中考数学解答题系列：四边形综合》参考答案
1．(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是关键．
（1）根据平行四边形的判定和性质作图即可求解；
（2）如图所示，连接，可得，即，证明，得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴点是中点，，，
又点 是边上的中点，
∴，，
同理，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
同理，点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点即为所求线段的中点；
（2）证明：如图所示，连接，
∵点 是边上的中点，点 是边上的中点，
∴，即
∴，
∴，
∴ ．
2．(1)证明见解析；
(2)；
(3)，理由见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（）先证得，求得，从而得到，所以，因为，，所以即可证得；
（）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求解；
（）过作，交与点，过作于点，于点，连接，四边形是平行四边形，则，，再证明，所以，然后证明，根据性质可得，由平行线的性质可得，最后利用等角对等边即可求证．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
设，则，
∴，即
解得：，
∴，
∴；
（3）解：，理由：
如图，过作，交与点，过作于点，于点，连接，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查复杂作图，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）取格点，连接，交于点，则点为的中点，连接，则即为所求；
（2）取格点，连接，则，取格点，连接，交于点，构造，则，即为边上的高；
（3）取格点，连接，与交于点，过点作直线即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，为边上的高；
（3）解：如图，点，直线即为所作；
4．(1)
(2)线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5，理由见详解
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形的性质与判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用．
（1）作轴于，则，先证出，再证明，得出，，求出，即可得出点的坐标；
（2）连接，与交于点，先证明四边形是正方形，得出，，再证出四边形是平行四边形，即可得出．
【详解】（1）解：
如图所示，过点作轴于，则，，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为；
（2）解：线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5，理由如下：
如图所示，连接与交于点，
，，，
四边形是矩形，
又，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
．
线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5．
5．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，综合性较强，能够根据题意准确作出辅助线是解题的关键．
（1）由中点定义得出，继而利用对角线互相平分证明四边形为平行四边形，由等角对等边得出，即可根据邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）设，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得的长度，进而利用勾股定理进行求解即可；
（3）过点A作交延长线于H，过点D作于点P，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明，把化为，从而三条线段放在了等腰直角三角形中即可证明．
【详解】（1）解：∵G为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵在中，点E为斜边的中点，，
∴，
由勾股定理得，即，
∴，
∴；
（3）证明：过点A作交延长线于H，过点D作于点P，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，综合性较强，能够根据题意准确作出辅助线是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，由（1）可得推出，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，得到为直角三角形，设，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案；
（2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案．
【详解】（1）解：，，
则，，
，，
在菱形中，
，
在中，，
点是线段的中点，
；
（2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，
连接，则，
由菱形的性质可知，、关于直线对称，
，
，
当点与重合时，的值最小，
当点与重合时，．
当点与不重合时，．
四边形是菱形，，
，
又，
，
，
∴，则，
∵，
，
即的最小值是．
的最小值是．
【点睛】本题是菱形综合题，考查的是轴对称最短路径问题、点到直线的距离垂线段最短，菱形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，掌握轴对称最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)有可能，
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，正确根据题意列出方程求解是解题的关键．
（1）先根据题意求出，再由即可求出答案；
（2）根据矩形的性质得到，由此建立方程求解即可；
（3）利用平行四边形的性质得到，然后分两种情况分析：当时，点从点向点运动；当时，点从点向点运动，列出方程求解即可．
【详解】（1）解；由题意得，
∴，
故答案为：；
（2）四边形是矩形，
∴，，
当时，四边形是矩形，
当时，点从点向点运动，
，
解得；
（3）以、、、为顶点的四边形有可能是平行四边形，
∵，
当时，四边形是平行四边形，
当时，点从点向点运动，
由得，
解得；
当时，点从点向点运动，
由得，
解得，
综上所述：．
9．(1)见详解；
(2)①； ②；③；④四边形为平行四边形
【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质以及判定，熟记相关定理内容是解题关键．
（1）以点为圆心，任意长为半径画弧与、相交，再以两交点为圆心，任意长为半径画弧即可作出的角平分线；同法可作出的角平分线；
（2）根据推理过程即可求解；
【详解】（1）解：如图，、为所作；

（2）证明：平分，
，
平分，
，
四边形为平行四边形，
，，，
即，
，，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：①； ②；③；④四边形为平行四边形．
10．(1)①；②点的坐标为，点的坐标为
(2)
【分析】（1）①由折叠的性质得出，则可得出答案；
②连接．证明，得出，设，则，由勾股定理可求出点坐标，证出，由可得出答案；
（2）连接，设，则，设，则，解得．由梯形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：①∵正方形边长为 2 ，点的坐标为，
，
∵将沿直线折叠，
，
又 ∵，
，
，
∴点的坐标是，
故答案为：；
②如图，连接，
∵点是线段的中点，
，
由折叠的性质可得，
又 ∵，
，
在和中，
，
∴，
，
设点的坐标为，则，
，
，
在中，，
，
解得，
∴点的坐标为，
，
，
又，
，
，
，
∴点的坐标为．
（2）解：如图，连接，
设，则．
设，则，
在中，，
，
解得，
，
设，则，
在中，．
在中，，
由折叠可知垂直平分，
，
，即，
解得：，
，
，
即．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．（1），；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，由折叠的性质可知，，，进而推出，即可求出的度数；再根据等边对等角和三角形外角的性质，即可求出的度数；
（2）根据垂直平分线的性质和折叠的性质，得到，取的中点，连接，证明是等边三角形，得出，进而推出，即可证明结论；
（3）连接，延长、交于点G，先证明为等边三角形，再解直角三角形，得到，，根据平行四边形的性质证明，从而得出，即可求出的面积．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：垂直平分线段，
，，，
由折叠的性质可知，，，
，
如图，取的中点，连接，
，
，
是等边三角形，
，
，
即，
，，
，
，
为等边三角形；
（3）解：如图，连接，延长、交于点G，
，
，
由折叠的性质得，
，
为等边三角形，
为的中点，
，
在中，，
，，
四边形是平行四边形，，
∴，，，
，，
，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键．
12．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明是等边三角形，可得，进而得到平行四边形是菱形，再由勾股定理求出的长，即可求解；
（2）过点C作，交于点G，证明，可得，，再证明，可得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，即可求证；
（3）连接，，可得，再证明，可得，，即当点在上时，的值最小，此时，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点C作，交于点G，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，连接，
由（1）得：，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴且 ，
∴是等边三角形；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即当点在上时，的值最小，
如图，
∵，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
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