2025年中考数学解答题系列：图形的变化（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：图形的变化
1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母．
(1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______；
②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______；
(2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O．
2． 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点．
【初步感知】
（1）如图1，连接，将绕点C逆时针旋转至．连接，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点F．若，求的面积；
【拓展应用】
（3）如图3，，连接．G为线段AC上一点，作点G关于直线的对称点H，点G绕B顺时针旋转至点K，连接HK，HB，请问CD和HK存在何种关系？并说明理由．
3．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．将线段向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，得到线段．
(1)直接写出点E，F的坐标：
(2)如图2，将线段沿y轴向下平移个单位后得到线段（点A与点B对应），过点B作轴于点D．若，求a的值；
(3)如图1，在x轴上是否存在一点P，使得（和分别表示和的面积），若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．在正方形中，点在边上运动（不与端点重合），作射线，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点．
(1)如图1，与线段始终相等的线段是________；
(2)如图2，连接交于点，过点作于，连接，试探究点在运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，当时，求的值．
5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
(1)平移，使点A的对应点的坐标为，请画出图形；
(2)将平移到的过程可描述为：先向左平移_______个单位长度，再向________平移_______个单位长度；
(3)若将看成是经过一次平移得到的，则这一平移的距离是________；
(4)画出关于原点成中心对称的图形．
6．如图是由的小正方形组成的网格，A、、都是格点，仅用无刻度的直尺在下列给定的网格中完成画图．（要求：每个作图辅助线不超过3条）
(1)在图1中，画线段，使得，且；在上画点，使得；
(2)直接写出的值：___________；在上画点，使得．
7．如图1，和都是边长为4的等边三角形．
(1)将沿方向平移得到，如图2、图3所示，则四边形是平行四边形吗？证明你的结论；
(2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值．
8．（1）如图，正方形，M是上的一点，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．求证：．
（2）如图，正方形的边，M是上的一点，连接．过点M作，分别交正方形的外角平分线于点Q．求证：．
（3）如图，正方形中，，M是上的一点，，且，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．连接、．求的最小值，并说明理由．
9．【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则：
①________；
②与的关系是________；
【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值．
10．（1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在的边上找到一点，连结，使得的面积与的面积之比为，（请用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹）．
（2）如图，四边形为菱形，，点是边的中点，用尺规作图分别在边上找一点，在上找一点，使最小，（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．）
11．如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别在边、、上．点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点、、运动的时间为（单位：s）．
(1)四边形________（填“能”或“不能”）是正方形；
(2)若、分别是、的中点，连接，问：当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
12．按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(1)如图1，的顶点在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使；
(2)如图2，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
①请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；
②若，则的长度为多少．
《2025年中考数学解答题系列：图形的变化》参考答案
1．(1)①见解析；直线垂直平分线段；②见解析；，；
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称作图，平移作图，找旋转中心，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）①根据轴对称图形的性质即可得出结果；②根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解；
（2）分别作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心．
【详解】（1）①解：如图1，线段即为所求的线段．
直线垂直平分线段；
②解：如图1，线段即为所求的线段．
，；
（2）解：如图2，点和点即为所求的旋转中心．
2．（1）；（2）；（3），见解析
【分析】（1）根据证明得，进而可求出的度数；
（2）作交于点T，由折叠的性质得，．求出得，设，则，，由勾股定理求出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可；
（3）连接，延长交于点T，证明得，，由旋转得，从而有．证明得，可证四边形是平行四边形，从而．
【详解】解：（1）∵在中，，，
∴，
∴．
∵将绕点C逆时针旋转至，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，作交于点T，
∵将沿折叠至，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，延长交于点T，
∵点G绕B顺时针旋转至点K，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∵作点G关于直线的对称点H，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．
3．(1)点E坐标为，点F坐标为
(2)a的值为或8
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）根据平移方式可求解点的坐标；
（2）由题意易得点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为，然后可分当点D位于y轴正半轴，即时，当点D位于y轴负半轴，即时，进而分类求解即可；
（3）连接和，由题意易得，则有，，然后可分当点P位于x轴负半轴时，当点P位于x轴正半轴时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：由题知：平移方式为向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，
∴点A进行该平移后对应的是点E，即坐标为，点O进行该平移后对应的是点F，即坐标为；
∴点E坐标为，点F坐标为．
（2）解：由题知：点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为，
①当点D位于y轴正半轴，即时，
，
，
，
解得：；
②当点D位于y轴负半轴，即时，
，
，
，
解得：．
综上，a的值为或8．
（3）解：存在，理由如下：连接和，
线段平移得到线段，
，
；
①当点P位于x轴负半轴时，如图，
，
，
，
，
，
解得：；
②当点P位于x轴正半轴时，如图，
，
，
，
解得：；
点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键．
4．(1)与线段始终相等的线段是
(2)的值为，是定值，理由见解析
(3)
【分析】此题考查了，解题的关键是．
（1）由正方形的性质得到，，然后证明出，即可得到；
（2）根据题意证明出点，，，四点共圆，得到，进而求解即可；
（3）设，则，勾股定理得出，表示出，然后证明出，得到，进而求解即可．
【详解】（1）与线段始终相等的线段是，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）的大小是定值，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴点，，，四点共圆，圆心为的中点，
∴，
即：的值为，是定值；
（3）∵在中，，
∴设，则，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
即：的值为．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
5．(1)见解析
(2)5，下，1；
(3)；
(4)如图所示．
【分析】（1）根据，，即可确定平移方式和距离，即可作图；
（2）根据，，即可确定点的平移方式和距离，继而确定图形的平移方式和距离；
（3）先确定即为一次平移的距离，再由勾股定理即可求解；
（4）先作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：∵，，
∴向左平移5个单位，向下平移1个单位至点，
∴将平移到的过程可描述为：先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，
故答案为：5，下，1；
（3）解：由题意得，即为一次平移的距离，
由勾股定理得：，
故答案为：；
（4）解：如图，即为所作：
【点睛】本题考查了本题主要考查中心变换和平移变换，及勾股定理，熟知图形平移的性质、旋转的性质是解答此题的关键．
6．(1)图见解析
(2)，图见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是系欸解题的关键：
（1）取格点D，连接；与格线交于F，连接交于E即可；
（2）勾股定理求出的长，求出的值，如图，取格点，格点，连接，与的交点即为点．
【详解】（1）解：如图所示：线段，点E即为所求；
由勾股定理，得，
由作图可知：，
∴，
∵，，
∴，即作图符合题意；
（2）解：∵，，
∴；
如图，点即为所求；
由作图可知：，；
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即作图符合题意．
7．(1)四边形是平行四边形，证明见解析
(2)
【分析】此题主要考查了矩形的性质和等边三角形的性质和平行四边形的判定以及平移的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．
（1）根据平移的性质，得到，根据等边三角形的性质，得到，，从而得到，则，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据等边三角形的性质与矩形的性质，进一步解答即可．
【详解】（1）解：根据平移的性质，得到，
根据等边三角形的性质，得到，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，，
∵，都是边长为的等边三角形，四边形为矩形，
∴，此时重合，
∴．
8．（1）见解析
（2）见解析
（3）
【分析】（1）过点B作交于G，交于H，先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得，即可得出结论；
（2）在边上截取，使，连接，证明，即可得出结论；
（3）作点A关于的对称点，作点E关于的对称点，连接，，，，，当当点、M、F、，四点共线时，值最小，最小值等于，当点M、F、共线时，值最小，最小值是，所以当点、M、F、，四点共线时，值最小，即值最小，求出此时，的长即可求解．，
【详解】（1）证明：过点B作交于G，交于H，如图，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：在边上截取，使，连接，如图，
∵正方形，
∴，，
∴
∵
∴，，即，
∴
∵是正方形的外角平分线，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）作点A关于的对称点，作点E关于的对称点，连接，，，，，如图，
∵正方形，
∴，，，，
∵点A关于的对称点，
∴点A、D、三点共线，，，
∴，
∵点E关于的对称点，点B、E、三点共线，，，
∴当点、M、F、，四点共线时，值最小，最小值等于，
当点M、F、共线时，值最小，最小值是，
∴当点、M、F、，四点共线时，值最小，即值最小，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
∴
即的最小值为．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，利用轴对称求最短路径问题，两点之间线段最短，相似三角形的判定与性质．本题属正方形与全等三角形、相似三角形综合题目，难度较大．熟练掌握相关知识的灵活应用是解题的关键．
9．（1）①；②；（2）成立，理由见解析（3）
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
（1）①根据矩形的性质和判定证明四边形和四边形都是矩形，求出各个线段的长，再利用勾股定理即可得到答案；
②由，即可得到结论；
（2）证明四边形和四边形都是矩形，利用勾股定理进行证明即可得到结论；
（3）作交的延长线于点，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，证明四边形和四边形都是矩形，根据矩形的性质定理进行求解即可．
【详解】解：（1）①如图：四边形是矩形，，，
，
，
过点作，分别交，于点，，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
四边形是矩形，
，
，
过点作，分别交，反向延长线于点，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）作交的延长线于点，则，
，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，
，
，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
的最小值为．
10．见解析；
见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、尺规作图、垂线段最短．
连接交于点，可得，根据相似三角形的性质可知，根据三角形的面积公式可得；
利用尺规作图作交于点，根据轴对称的性质可知 ，利用尺规作图过点作交于点，交于点，根据垂线段最短可知最小，等量代换可知此时最小．
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，
，
，
；
如下图所示，
利用尺规作图作交于点，
根据轴对称的性质可知 ，
利用尺规作图过点作交于点，交于点，
根据垂线段最短可知最小，
连接、，
则，
此时最小．
11．(1)不能
(2)；
(3)．
【分析】（1）由题意得，则四边形不能是正方形；
（2）连接，证明四边形是矩形，求得，推出当时，四边形是平行四边形，据此求解即可；
（3）由对称的性质知是线段的垂直平分线，当点与点重合时，，利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∵，
∴四边形不能是正方形，
故答案为：不能；
（2）解：
连接，
∵矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
此时，即，
解得；
（3）解：存在实数，使得点与点重合，
连接交于点，连接，，
∵矩形，，，
∴，
∴，
∵关于直线的对称图形是，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
当点与点重合时，，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
12．(1)作图见解析
(2)①作图见解析；②5
【分析】（1）延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点，如图所示，即可在图中画的内接三角形，使；
（2）①过点尺规作图作即可得到答案；②由切线性质，结合平行线的性质证明平分，再根据三角形全等的判定与性质即可得到．
【详解】（1）解：延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，则即为所求；
（2）解：①过点作，交与点，如图所示：
∵为直径，，
∴为的切线；
②∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆综合，综合性较强，难度适中，涉及无刻度直尺作图、圆周角定理、三角形的相似判定、尺规作图作垂线、切线的判定、平行线性质、直径所对的圆周角是直角、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质和三角形相似的判定定理是解本题的关键．
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