2025年中考数学解答题系列：相交线与平行线相关问题（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：相交线与平行线相关问题
1．已知，M，N分别在上，点E在直线与直线之间．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若F在之间，，平分，若，求与的数量关系．
2．已知，点在上，点在上，点为射线上一点．
(1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点作直线，
又，
（___________）
，
___________．
，
___________（___________）
．
(2)【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【应用拓展】如图3，平分交于点，且，直接写出的度数为___________（用含的式子表示）．
3．如图，直线相交于点，过点作射线，作射线平分．
(1)若，求的度数；
(2)若的度数比的度数大，求的度数．
4．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足．
(1)试问，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________．
(2)如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动．
(1)点A的坐标是________，点B的坐标是________，点C的坐标是________．
(2)在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标；
(3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由．
6．如图，直线，一副三角尺，中，，，，．
(1)若将三角尺如图①摆放，当平分时，则______．
(2)若将三角尺和三角尺如图②摆放，的顶点恰好落在直线上，三角尺的一边在直线上，且边与边在同一直线上，作和的平分线交于点，求的度数．
(3)若图③中三角尺固定，将三角尺绕点顺时针方向旋转（如图③），旋转到边与直线首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边与三角尺的一边平行时，请直接写出的度数．
7．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，直线，求证：
（1）把下面的解答过程补充完整，并填到相应的序号内．
解：过点作直线，
①_______，
（已知），，
②_______，
③_______，
，
．
（2）如图2，直线，若，，则______．
【方法运用】
（3）如图3，直线，点在的上方，，，之间有何数量关系？请说明理由．
【联想拓展】
（4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．
8．图形变换可以帮助我们认识图形．
(1)把图①中等腰三角形纸片沿着顶角平分线折叠得到图②，由与重合，可知：___________，___________；
(2)如图③，将沿边的垂直平分线翻折得到，点对应点，点对应点，再将绕点逆时针旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图④，中，，，点在上，过点作交于点，将所截沿过点的某射线翻折得到．直接写出当的某一边与平行时的大小．（只写出为锐角时的大小即可，结果用含用的代数式表示）
9．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．
(1)如图1．，，，则______；
(2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明．
(3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明．
10．如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ；
②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数；
(2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
11．在一副三角尺中，，，
(1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上）
①联结，测得，则的度数是多少？
②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？
(2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案）
12．如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设．
(1)求的度数；
(2)如果的角平分线交直线于点，如图2．
①当时，求的度数；
②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？
《2025年中考数学解答题系列：相交线与平行线相关问题》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算：
（1）过点E作射线平行于直线，可得，从而得到，即可求证；
（2）由（1）得，，，再由，可得，然后根据平分，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点E作射线平行于直线，
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：由（1）得，，，
因为，
所以，
因为，
所以
所以，
因为平分，
所以．
所以．
所以，与的数量关系是：．
2．(1)平行于同一条的直线的两条直线平行； ； ；两直线平行，内错角相等
(2)，见解析
(3)
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是关键．
（1）根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）如图所示，过点作直线，则，，由即可求解；
（3）如图所示，过点作直线，设交于点，根据平行线的性质，三角形外角的性质得到，，，根据题意，则，由即可求解．
【详解】（1）证明：过点作直线，
又，
（平行于同一条的直线的两条直线平行），
，
，
，
（两直线平行，内错角相等）
．
故答案为：平行于同一条的直线的两条直线平行； ； ；两直线平行，内错角相等
（2）解：
如图所示，过点作直线，
∵，
∴，
∴，，
∵；
（3）解：如图所示，过点作直线，设交于点，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
3．(1)
(2)
【分析】本题主要考查角平分线的定义，垂直定义，角的和差计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）根据垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据平角的计算得到，由此即可求解；
（2）根据题意得到，根据平角得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度数比的度数大，
，
由（1）得，
，
．
4．(1)；
(2)①；②．
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）过点作，根据平行线的性质分别求解即可；
（2）①根据角平分线的定义设，，再结合（1）所得数量关系求解即可；
②同①可得，，，……从而推出，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1，当点在的左侧时，过点作，
，
，
，，
；
如图2，当点在的右侧时，
，
，
，，
，
；
（2）解：①，分别平分和，
设，，
，，
由（1）可知，，，
，，
，
，
；
②与的角平分线交于点，
，，
，
同理可得，，，……
则，
，
，
，
．
5．(1)，，
(2)点的坐标为或
(3)或，见解析
【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理．
（1）根据非负数的性质分别求出a、b，即可得点A、B、C的坐标；
（2）过点作于点，分两种情况讨论：①如图，当点在点上方时；②如图，当点在点下方时；分别根据三角形的面积公式求出，得到点P的坐标；
（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，，
则，，，
故答案为：，，；
（2）解：如图1，过点作于点，
设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，，
三角形PAB的面积是：，
分以下两种情况：
①如图，当点在点上方时，
，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为；
②如图，当点在点下方时，
，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：或．理由如下：
过点作，
，
，，
，
分以下两种情况讨论：
①如图，当点在点上方时，
有，
；
②如图，当点在点下方时，
有，
，
，
综上所述，或．
6．(1)
(2)
(3)或或．
【分析】（1）根据得平分得，再根据得，然后根据即可求解；
（2）过点作交于，过点作，设，，由角平分线性质得，，证明，则，，，，进而得，，再根据角平分线性质得，则，由此得，结合，由此可得到答案；
（3）根据题意分三种情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：平分，
；
（2）解：过点作交于，过点作，如图2所示：

设，
平分
，
，，
，
，，，
平分
；
（3）解：分三种情况：
当时，如图，
此时，
，
∵
∴
∴；
②当时，如图，
，
；
③当时，如图，
延长交于，延长交于，
，
，
∴；
综上所述，的度数为或或．
【点睛】本题考查了图形的旋转变换及其性质，平行线的性质，三角形内角和定理，理解图形的旋转变换及其性质，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
7．（1）见解析（2）（3），理由见详解（4）
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的判定与性质求解即可；
（3）根据平行线的判定与性质求解即可；
（4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【详解】（1）解：过点作直线，
，
（已知），，
，
，
，
．
（2）如图，过点作，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
（3），
理由如下：如图，过点作，
，
，，
，
，
；
（4）如图所示，
由（2）知，，
，
，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
由（1）知：．
8．(1)；
(2)，，理由见解析；
(3)或或或或．
【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，直角三角形的性质及平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质即可求解；
（2）结合题意画出图形，根据折叠的性质、旋转的性质即可得出边、角之间的关系，根据平行线的判定定理可得答案；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，结合题意画出图形，根据折叠的性质、旋转的性质逐一求解即可．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得：，；
故答案为：； ；
（2）解：，，
理由：将沿边的垂直平分线翻折得到，点对应点，点对应点，
， ，
将绕点逆时针旋转得到，
， ， ，
，
当点恰好落在的延长线上时，是等腰三角形，
，
，
；
（3）解：①当时，如图：
，
，，
；
②Ⅰ当时，如图：
此时、共线，
，由折叠可得，，
中，，
，
；
Ⅱ当时，如图：
；
③Ⅰ当时，如图：
，
，
，
，
，
Ⅱ当时，如图：
，
，
，
综上所述，当的某一边与平行时的大小为
或或或或．
9．(1)
(2)，见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可；
（2）如图2，过作，则，同理可得，，则，即可作答．
（3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可；
【详解】（1）解：如图1，过作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：；证明如下；
如图2，过作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）解：，证明如下；
∵平分，平分，
∴，
设，则，，，
如图3，过作，过作，
由（2）可知，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
10．(1)①；；②；
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；
（2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到．
【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
②如图，过点Q作，
∵平分平分，
，，
设，
∵，，
∴，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
（2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分，
设H为线段的延长线上一点，则，，
设，,，
如图，过点O作，则，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
11．(1)①；②10秒或15秒
(2)6或9或42或45
【分析】（1）①先由平角的意义求出，再对由三角形内角和定理即可求解；
②分两种情况讨论：当和，作出图形，根据旋转的性质以及平行线的性质进行角度和差计算求出旋转角即可；
（2）设旋转时间为秒，由题意得，，，然后分四种情况讨论，当当时，得到；当时，得到；当时，得到；当时，得到，分别建立起关于时间的方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴；
②当时，
则，
∴，
∴（秒）；
当时，
∵，
∴，
∵旋转，
∴
∵
∴，
∴
∴（秒），
综上所述：当10秒或15秒时，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行；
（2）解：设旋转时间为秒，由题意得，，，
当时，
则，
∵，
∴
解得：；
当时，
∴，
∵
∴，
解得：；
当时，
则，
∵，
∴，
解得：；
当时，
则，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：，
综上所述：运动时间为6或9或42或45秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差计算，以及一元一次方程的应用，难度较大，注意分类讨论思想的应用，
12．(1)
(2)①；②当旋转20秒或40秒或60秒或80秒时，与的一边平行．
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答．
（1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答；
（2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t．
【详解】（1）解：如图1，过点G，作，
，
，
，，
，
；
（2）解：①，
，
平分，
，
又，
，，
，
解得；
【点睛】②如图2，当时，延长至点Q，
，
，
，
，
由题意知，，
由①得，
，
解得：；
当时，
，
由题意知得，
∴，
解得；
如图4，当时，延长交于点T，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
如图4，当（第二次）时，
则，
∴，
解得：；
综上，当旋转20秒或40秒或60秒或80秒时，与的一边平行．
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