2025年中考数学解答题系列：一次函数综合（含解析）

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2025年中考数学解答题系列：一次函数综合
1．已知如图所示的平面直角坐标系，一次函数的图象经过点和．
(1)求这个函数的解析式，并画出该函数的图象；
(2)已知点在直线上，点，若的面积为6，求点的坐标．
2．在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点．
(1)求的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
3．某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买3箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需元．
(1)求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
4．已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示．
(1)分别求出、关于x的函数关系式；
(2)求乙到达A地时，甲距B地的距离；
(3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？
5．第33届夏季奥运会于年月日在法国巴黎举行，本次奥运会中国代表团以金银铜枚金牌位列第二．是境外参加奥运会最佳成绩．在奥运会期间，某经销商购进奥运会吉祥物弗里热进行销售，弗里热的进价每个元．根据市场调查，若按每个元销售，每天能销售个；销售单价每涨元，日销售量就减少个．设销售单价为每个元，日销售量为个，日销售利润为元：
(1)写出与之间的函数解析式和与之间的函数解析式；
(2)在问的条件下，若经销商获得了元的销售利润，则该弗里热销售单价应为多少元？
(3)当销售单价定为每个多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
(1)求的值；
(2)请根据图象直接写出时，的取值范围；
(3)求的面积．
7．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线．
(1)求直线的函数表达式．
(2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标．
8．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
(1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？
(2)求直线的表达式和a的值．
9．某校综合与实践小组的同学开展了主题为探究最大心率与年龄的关系项目化学习，他们通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率（最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数）数据如下：
年龄周岁 12 17 22 27 32 37 42 47
最大心率（次／分） 208 203 198 193 188 183 178 173
(1)根据表中的信息，可以推断最大心率（次／分）是年龄（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求关于的函数表达式．
(2)已知不同运动效果时的心率如下：
运动效果 运动心率占最大心率的百分比
燃烧脂肪
提升耐力
20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次／分至______次／分；小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在114次／分至133次／分，小美的年龄是______周岁．
10．如图，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)请在平面内标注点，平面内是否存在一点，使四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)直线与轴交于点，若点是直线上一动点，且满足，求点的坐标；
(3)直接写出不等式的解集．
12．在平面直角坐标系中，满足方程组，若，，连接交y轴于点B，连接．
(1)求点C坐标；
(2)动点P从点D出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，运动到点A时停止运动，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式；
(3)在（2）的条件下，M为线段上的一点，且点M的坐标为，动点Q从O点出发沿y轴正方向，以每秒个单位长度的速度向终点B运动；点Q与点P同时出发，（一点停止另一点也停止运动），当的面积与的面积和为时，求点P的坐标．
《2025年中考数学解答题系列：一次函数综合》参考答案
1．(1)；图象见解析
(2)P点坐标为或．
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，函数图象上的点的坐标，三角形的面积，求出一次函数的解析式是关键．
（1）利用待定系数法即可求解，再用两点式作出函数的图象；
（2）设点，利用，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意有：，解得：，
∴这个函数的解析式为；
当时，；
当时，；
描点，连线，作出该函数的图象如图．
；
（2）解：由（1）中的解析式可设点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或 ，
∴P点坐标为或．
2．(1)，；
(2)且．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式的取值范围，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
（1）根据一次函数的平移得到新函数，再求出两直线的交点坐标，得到的值，再代入函数解析数求出的值即可；
（2）根据题意得：当时，且，然后对每个不等式分两种情况分析求解，最后确定取值范围即可．
【详解】（1）解：将函数向上平移2个单位，得到新函数，
当时，，
即函数与函数的图象交于点，
将点代入函数，
则，
解得：；
（2）解：由（1）得：，
根据题意得：当时，且，
，
当时，，最大值在时，得，
当时，，恒成立，得，
综合得：；
，
当时，，最小值在时，得，
当时，，恒成立，得，
综合得：；
综上可得：且．
3．(1)种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元
(2)购买种箱、种箱时总费用最少，总费用为元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的最值问题，掌握以上知识是解题的关键．
（1）设种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元，根据题意，列出一元二次方程组即可求解；
（2）设某公司购买种箱数为，种箱数为，总费用为，求出与的函数解析式，再根据题意列出不等式组求出的取值范围，最后根据一次函数的性质即可求解；
【详解】（1）解：设种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元，则由题意得：
，
解得：，
答：种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元；
（2）解：设某公司购买种箱数为，种箱数为，总费用为，则有：，
解得：，
总费用为：，
根据一次函数的性质，当越大，总费用越小；故取时费用最少，此时，
最少总费用为： (元)；
答：购买种箱、种箱时总费用最少，总费用为元；
4．(1)，
(2)
(3)11时或13时
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确读取信息，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可．
（2）根据两人相遇前，相遇后两种情形，解方程即可．
【详解】（1）解：设，
根据题意，得，
解得，
故；
当时，，
故图象交点的坐标为，
设，根据题意，
得，
解得，
∴，
（2）解：∴，
解得，
∴，
则，
故乙到达A地时，甲距B地的距离为．
（3）解：设经过，甲、乙相距90千米，
①甲乙相遇前，
根据题意，得则，
解得（小时），此时为11时．
②甲乙相遇后，
根据题意，得则，
解得（小时），此时为13时．
综上：行驶过程中甲、乙二人在11时或13时相距．
5．(1)；；
(2)若经销商获得了元的销售利润，则该弗里热销售单价应为元或元；
(3)当日销售单价定为每个元时，会获得最大利润，最大利润为元．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用．解决本题的关键是根据数量之间的关系求出函数解析式．
根据销量与销售单价之间的关系列出函数关系式即可，根据利润单件利润销量，可与之间的函数关系式，；
根据利润单件利润销量，可列一元二次方程，解方程即可求出销售单价；
根据利润单件利润销量，可与之间的函数关系式，把二次函数的关系式整理成顶点坐标式，即可得到结果．
【详解】（1）解：当销售单价定为每个元时，
根据题意可得：，
整理得：；
利润单件利润销量，
，
整理得：；
（2）解：设定价为每个元时，经销商获得了元的销售利润，
根据题意可得：，
整理得：，
解得：，，
答：若经销商获得了元的销售利润，则该弗里热销售单价应为元或元；
（3）解：由可知：，
，
函数有最大值，
当时，有最大值，最大值为，
答：当日销售单价定为每个元时，会获得最大利润，最大利润为元．
6．(1)
(2)
(3)4
【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
（1）将代入求解即可；
（2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果；
（3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，
∴；
（2）由（1）得，
根据图象得：当时，的图象在下方，即此时，
∴的取值范围是．
（3）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，；当时，；
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴．
7．(1)；
(2)存在，点M的坐标为或；
(3)．
【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答．
（2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答．
（3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入即可解答．
【详解】（1）解：当时，，
∴点C的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将点，代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
（2）存在．当时，，解得，
∴点B的坐标为．
∵点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
解得，点M的坐标为；
时，，
解得，点M的坐标为．
综上所述存在点M的坐标为或，使得．
（3）点Q的坐标为．
如图，连接，
设点P的坐标为．
∵，
∴当C，Q，D三点共线时，的值最小．
过点Q作轴于点H，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴点Q的坐标为．
∵点，，
∴易求得直线的函数表达式为．
把点代入，得，
解得，
∴点Q的坐标为．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形面积，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形．
8．(1)
(2)，
【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键：
（1）根据图象可知时，在的下方，得出答案；
（2）将点，代入，求出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可知，当时，
x的取值范围为；
（2）解：将点，代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
把代入
得，
∴点M的坐标为，
把代入，
得．
9．(1)一次，y关于x的函数关系式为．
(2)140，160；．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）根据“年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分”即可判定函数类型，然后根据待定系数法即可求得函数解析式；
（2）由题意可得，，把代入（1）中求得的函数关系式，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分，
∴可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的一次函数关系．
故答案为：一次．
设y关于x的函数关系式为（k、b为常数，且）．
将和分别代入,
得，解得：，
∴y关于x的函数关系式为．
（2）解：当时，，（次/分），（次/分），
∴小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分；
当运动心率应该控制在114次／分至133次／分时，
当时，，解得，
∴小美的年龄是周岁．
故答案为：140，160；．
10．(1)；
(2)或或
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据平行四边形的对角线互相平分列方程求出点的坐标．
点和点的坐标代入，用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
设点的坐标为，根据平行线四边形的对角线互相平分，可得关于、的方程组，解方程组求出 、的值即可．本题中需要分情况讨论．
【详解】（1）解：一次函数经过点和点，
可得：，
解得：，
一次函数的解析是；
（2）解：存在，点的坐标为或或，
如下图所示，
当是平行四边形的对角线时，
设点的坐标为，
则有，
解得：，
点的坐标是；
如下图所示，
当是平行四边形的一条边且点在点上方时，
设点的坐标为，
则有，
解得：，
点的坐标是；
如下图所示，
当是平行四边形的一条边且点在点下方时，
设点的坐标为，
则有，
解得：，
点的坐标是；
综上所述，点的坐标为或或．
11．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求所围成图形的面积问题，一次函数和一元一次不等式的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和函数图象的性质．
（1）利用直线的解析式求出点，利用待定系数法将，代入求解即可得出直线的解析式；
（2）利用点的坐标求出底边的长度，假设出点的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，进行求解即可得到点的坐标；
（3）结合函数图象判断不等式的解集即可，同区间内在下方的函数值比较小，在上方的函数值比较大．
【详解】（1）解：∵将代入得，
解得，
∴
将，代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线与轴交于点，直线与轴交于点，
∴，，
∴,
假设点的坐标为，
∴，
解得，或，
∴点的坐标为或；
（3）解：根据函数图象可得，
在点和点之间的图象，满足的图象在的图象的下方，且点是直线与的交点，交点坐标为0，即，
∴当时，，
即不等式的解集为．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、三角形的面积、动点问题等知识点，正确添加常用辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
（1）直接解方程组求得a、b的值即可解答；
（2）如图1，过点C作轴于点F． 然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）如图2，过点M作轴于点M，作轴于点N，然后根据三角形的面积公式构建方程求得，最后确定点P的即可．
【详解】（1）解：∵满足方程组，
∴，
∴C点坐标为．
（2）解：如图1，过点C作轴于点F．
∵，
∴，
∵
∴，
∵点P从点D沿x轴正方向每秒2个单位长度的速度运动，
∴t秒后，
∴
∴，即．
（3）解：如图2，过点M作轴于点M，作轴于点N，
∵，
∴．
∵点P从点D沿x轴正方向每秒2个单位长度的速度运动，
∴t秒后，，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则，解的：，
∴，
∴，即，
∵动点Q从O点出发沿y轴正方向，以每秒个单位长度的速度向终点B运动，
∴t秒后，，则，
∴，
∴，
∴，解得．
∴当的面积与的面积和为时，当t为．
∴，
∴．
∴点P的坐标为．
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