(共33张PPT)
专题一 力与运动
第3讲 曲线运动
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.运动的合成与分解 (1)小船船头垂直河岸过河时，所用时间最短。
(2)小船过河时，船速大于水速，船才能垂直河岸过河。
(3)与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，则沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.曲线运动中质点的速度、加速度 (4)曲线运动中质点的速度方向时刻改变，总沿该点的切线方向。
(5)曲线运动中质点所受合外力方向指向曲线弯曲的凹侧。
内容 重要的规律、公式和二级结论
3.抛体运动 (6)平抛运动的速度的反向延长线一定过水平位移的中点。
(7)平抛运动某时刻速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍。
(8)在斜面上做平抛运动时，落到斜面上的速度方向与斜面的夹角不变。
1.思想方法
合运动性质和轨迹的判断
(1)若加速度方向与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动；若加速度方向与初速度的方向不在同一直线上，则为曲线运动。
(2)若加速度恒定则为匀变速运动，若加速度不恒定则为非匀变速运动。
2.模型建构
(1)绳(杆)关联问题的速度分解方法
①把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量。
②沿绳(杆)方向的分速度大小相等。
(2)模型化思想的应用
竖直面内圆周运动常考的两种临界模型
１
抛体运动
(1)小球离开桌面时的速度大小；
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【审题指导】
【易错提醒】 (1)不会用运动的分解的方法去分析物体与地面碰撞后的运动；(2)不清楚小球飞出桌面后的平抛运动与碰撞后的斜抛运动分速度的关系。
1. (2024·浙江卷)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为( )
【答案】 C
2. (2024·辽宁大连二模)2028年奥运会新增壁球运动项目。如图所示，运动员从A点将球斜向上击出，水平击中墙上B点反弹后又水平飞出，落到C点，BB′竖直，AB′C三点在同一水平面上，B′C垂直于AC。不计空气阻力，球碰撞B点前后的速度大小分别为v1、v2，球在AB、BC两段运动时间分别为t1、t2，则正确的是( )
A．v1＝v2 B．v1
C．t1>t2 D．t1＝t2
【答案】 D
3. (多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
【答案】 BD
2
圆周运动
考法一
水平面内的圆周运动
(多选)(2021·河北卷，9)如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止。若ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时( )
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
【审题指导】
关键表述 物理量及其关系
其中MN、PQ足够长 小球可以沿PQ杆任意上下移动
PQ杆光滑 杆对小球只有弹力作用
小球均相对PQ杆静止 小球随PQ杆做匀速圆周运动
【答案】 BD
【易错提醒】 (1)未意识到小球在竖直方向上只受重力和弹簧弹力的竖直分力作用，且二力始终平衡；(2)未意识到杆对小球的弹力的方向可能向里，也可能向外。
考法二
竖直面内的圆周运动
(2023·湖南岳阳三模)“太极球”运动是一项较流行的健身运动。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，球拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，保持太极球不掉到地上。现将太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让小球在竖直面内始终不脱离平板做匀速圆周运动，则( )
A．小球的机械能守恒
B．平板对小球的弹力在A处最大，在C处最小
C．在B、D两处，小球可能不受平板的摩擦力
D．小球在此过程中做匀速圆周运动的速度可以为任意值
【答案】 C
【答案】 A
2. (2023·四川成都三诊)如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED灯就会发光。下列说法正确的是( )
A．气嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹簧弹力和向心力
B．气嘴灯运动至最高点时处于超重状态
C．以相同转速匀速行驶时，重物质量越小，在最低点时LED灯越容易发光
D．以相同转速匀速行驶时，若LED灯转到最高点时能发光，则在最低点时也一定能发光
【答案】 D
【解析】 根据题意可知，气嘴灯做圆周运动时，重物受重力和弹簧弹力，其沿轨迹半径方向的合力提供向心力，故A错误；气嘴灯运动至最高点时，合力指向圆心向下，具有向下的加速度，处于失重状态，故B错误；在最低点时，由牛顿第二定律有F－mg＝mω2r，可得F＝mg＋mω2r，可知以相同转速匀速行驶时，重物质量越小，在最低点时，弹簧弹力越小，LED灯越不容易发光，故C错误；在最高点时，由牛顿第二定律有F＋mg＝mω2r，解得F＝mω2r－mg，可知以相同转速匀速行驶时，在最高点时弹簧的弹力小于最低点时弹簧弹力，则若LED灯转到最高点时能发光，则在最低点时也一定能发光，故D正确。 专题一 第3讲
A组·基础练
1.(2024·辽宁卷)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的( )
A．半径相等
B．线速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．角速度大小相等
【答案】 D
【解析】 由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D正确；由图可知，球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为rP＜rQ，故A错误；根据v＝rω可知，球面上P、Q两点做圆周运动的线速度的关系为vP＜vQ，故B错误；根据an＝rω2可知，球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度的关系为aP＜aQ，故C错误。故选D。
2.(2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到( )
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
【答案】 C
【解析】 青蛙做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2可得v＝x，因此水平位移越小，竖直高度越大，初速度越小，因此应跳到荷叶c上面。故选C。
3.(2024·重庆三模)如图所示，网球比赛中，运动员甲某次在B点直线救球倒地后，运动员乙将球从距水平地面上D点高度为h的A点水平击出，落点为C。乙击球瞬间，甲同时起身沿直线BC奔跑，恰好在球落地时赶到C点。已知BC⊥BD，BD＝d，BC＝l，网球和运动员甲均可视为质点，忽略空气阻力，则甲此次奔跑的平均加速度大小与当地重力加速度大小之比为( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 设甲此次奔跑的平均加速度大小为a，当地重力加速度大小为g，对甲有at2＝l，对网球有gt2＝h，联立可得＝，故选A。
4.(2024·江苏卷)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，台面上掉有陶屑，陶屑与桌面间的动摩因数处处相同(台面够大)，则( )
A．离轴OO′越远的陶屑质量越大
B．离轴OO′越近的陶屑质量越小
C．只有平台边缘有陶屑
D．离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
【答案】 D
【解析】 与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2r，解得r＝，因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO′的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑，故A、B、C错误；离轴最远的陶屑其受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由前述分析可知最大的运动半径为R＝，μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不超过某一值R，故D正确。
5.(多选)(2024·江西卷)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是( )
【答案】 AD
【解析】 小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x＝vxt，故A正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt且最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。故选AD。
6.(2024·河北衡水三模)消防火箭炮具有覆盖面积大、发射效率高、使用简便和再装填时间短等优点。火箭炮发射的火箭弹打到着火点后会立即释放高浓度灭火剂，迅速扑灭火灾。如图是一种肩扛式消防火箭炮。设着火点与消防员站立点的水平距离和竖直距离分别为L、H，消防员身高h，肩扛火箭筒的瞄准仰角(与水平方向所成锐角)为θ，火箭弹发射后其高度达到最大值时刚好打到着火点上，忽略空气阻力，火箭炮发射点与消防员的头顶平齐，则L、H、h、θ这几个物理量满足的关系式为( )
A．H－h＝2Ltan θ B．H－h＝Ltan θ
C．H－h＝2Lsin θ D．H－h＝Lsin θ
【答案】 B
【解析】 如图
设初速度为v0，则竖直方向有t＝H－h
水平方向有v0cos θt＝L
联立可得H－h＝Ltan θ
故选B。
7.(多选)(2024·江西南昌一模)如图甲所示为驼峰过山车通过轨道最低点的示意图。已知驼峰过山车通过轨道最低点时整体运动速度方向水平向左，大小为v0，通过的轨道是半径为R的圆弧；过山车是一个半径为r的转盘，转盘边缘上通过两个相互垂直的直径上有四个质量相等的小孩A、B、C、D，某时刻AB直径与轨道圆弧的切线平行，转盘以ω的角速度逆时针转动(俯视)如图乙所示是转盘放大示意图。已知R r，转盘与水平面平行，圆弧轨道处于竖直平面。下列说法正确的是( )
A．A、B小孩相对转盘轴心的速度相同
B．四个小孩相对地面的加速度大小均为
C．转盘对四个小孩的作用力大小均为
D．A、B两小孩相对地面的速度大小均为
【答案】 BD
【解析】 A、B两小孩相对转盘轴心的速度大小均为ωr，但方向不同，故A错误；圆盘整体相对地面的加速度大小为，方向竖直向上，四个小孩相对转盘轴心的加速度为ω2r，方向水平，相对地面四个小孩的加速度大小为a＝，故B正确；转盘对小孩的竖直方向作用力大小为Fy＝m＋mg，转盘对小孩的作用力大小为F＝，故C错误；A、B两小孩相对地面的速度为小孩相对转盘轴心的速度和轴心相对地面水平向左的速度的矢量和，大小均为，故D正确。故选BD。
B组·综合练
8.(多选)(2024·山东烟台三模)跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所示为一城墙的入城通道，通道宽度L＝6 m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M点时斜向上跃起，到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，P点距离地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q点，P点与Q点等高，飞跃过程中人距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度g取10 m/s2，整个过程中人的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则下列说法中正确的是( )
A．人助跑的距离为3.6 m
B．人助跑的距离为3 m
C．人刚离开墙壁时的速度大小为6 m/s
D．人刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为
【答案】 AD
【解析】 人到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，根据逆向思维，可知从M点到P点的逆过程为平抛运动，则h＝gt，从P点到Q点的过程为斜抛运动，根据对称性可得H－h＝g2，L＝v0t2，解得t1＝0.4 s，t2＝1 s，v0＝6 m/s，人助跑的距离为x＝L－v0t1＝3.6 m，故A正确，B错误；人刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为vy＝g×＝5 m/s，人刚离开墙壁时的速度大小为v＝＝ m/s，故C错误；人刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为tan θ＝＝，故D正确。故选AD。
9.(多选)(2024·四川南充三模)如图，足够大水平圆盘中央固定一光滑竖直细杆，质量分别为2m和m的小球A、B用轻绳相连，小球A穿过竖直杆置于原长为l的轻质弹簧上，弹簧劲度系数为k＝，B紧靠一个固定在圆盘上且与OAB共面的挡板上，在缓慢增加圆盘转速过程中，弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度为g，则( )
A．球离开圆盘后，弹簧弹力不变
B．绳子越长小球飞离圆盘时的角速度就越大
C．当角速度为时，弹簧长度等于
D．当角速度为时，弹簧弹力等于3mg
【答案】 AD
【解析】 球离开圆盘后，对B竖直方向Tcos θ＝mg，对A竖直方向F弹＝2mg＋Tcos θ＝3mg，即弹簧弹力不变，选项A正确；设小球恰飞离圆盘时绳子与竖直方向夹角为θ0，AB绳长为L，此时弹簧长度为l1，对A，k(l－l1)＝3mg，解得l1＝，则cos θ0＝，对B，mgtan θ0＝mωLsin θ0，ω0＝＝，则小球飞离圆盘时的角速度为定值，与绳长无关，选项B错误；当角速度为<ω0时，此时物块还没有离开圆盘，此时弹簧长度大于，选项C错误；当角速度为>ω0时，此时物块已经离开圆盘，此时弹簧弹力等于3mg，选项D正确。故选AD。
10.(多选)(2024·江苏卷)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处作水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处作水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则( )
A．周期TAC．线速度vA>vB D．向心加速度aA【答案】 BD
【解析】 设绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球分析有mgtan θ＝mlsin θ，整理有T＝2π＝2π，由题意可知，高度h变小，所以周期变小，即TA>TB，故A项错误；对小球分析有mgtan θ＝mω2lsin θ，整理有ω＝＝，由题意可知，高度h变小，所以角速度大小变大，即ωA<ωB，故B项正确；对小球分析有mgtan θ＝m，整理有v＝sin θ，由题意可知，绳子长度l变小，角度θ变大，所以线速度大小变化无法判断，故C项错误；对小球分析有mgtan θ＝ma，整理有a＝gtan θ，由题意可知，角度θ变大，所以向心加速度大小变大，即aA11.(2024·江西卷)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值；
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得Tcos α＝mωr1，μmg＝Tsin α
联立解得tan α＝。
(2)设此时轻绳拉力为T′，沿A1B和垂直A1B竖直向上的分力分别为T1＝T′sin θ，T2＝T′cos θ
对转椅根据牛顿第二定律得T1cos β＝mωr2
沿切线方向T1sin β＝f＝μFN
竖直方向FN＋T2＝mg
联立解得ω2＝。
12.(2024·福建漳州三模)水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。如图为某景观水车模型，从槽口水平流出的水，垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，轮叶在水流不断冲击下转动，稳定时轮叶边缘线速度与水流冲击的速度大小近似相等。已知槽口到冲击点A所在的水平面距离h＝1.5R，水车轮轴到轮叶边缘的距离为R。忽略空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)水从槽口落到水轮叶面的时间t；
(2)槽口处水流的初速度大小v0；
(3)轮叶边缘上质量为m的钉子，随水车匀速转动时的向心力大小F。
【答案】 (1) (2) (3)4mg
【解析】 (1)由平抛运动规律知，竖直方向h＝gt2
解得t＝。
(2)竖直方向的分速度vy＝gt
由平抛运动得tan 30°＝
解得水流的初速度大小v0＝。
(3)由平抛运动得＝cos 30°
向心力大小为F＝m
解得F＝4mg。
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