2025年山东省济南历下区九年级下学期数学二模考试试题（含答案）

2025 年九年级学业水平第二次模拟考试数学试题（2025.4）
考试时间 120 分钟　满分 150 分
第 Ⅰ 卷（选择题　共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 的绝对值是（ ）
A. 7 B. -7 C. D.
2.如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（ ）
3.中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产 28 nm 浸没式 DUV 光刻机，填补国内空白。已知 28 nm = 0.000000028 m。将 0.000000028 用科学记数法表示为（ ）
A. 28×10 7 B. 2.8×10 8 C. 2.8×10 7 D. 0.28×10 8
4.如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，OE⊥OC，OF 平分∠BOE。若∠COF = 32°，则∠AOD 的度数为（ ）
A. 24° B. 26° C. 28° D. 30°
5.花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式。下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
6.实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A. a+c>a+b B. (b a)(b c)>0 C. ac>ab D. c b>c a
7.小亮和爸爸计划乘动车外出旅游。在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）。若此时 C 座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.若关于 x 的一元二次方程2x2 3x m 1=0有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. m≥ B. m≤ C. m≥ D. m≤
9.如图，将折线O A1 A2 A3 A4绕点A4顺时针旋转 180° 得到一段新的折线A4 A5 A6 A7 A8，再将新的折线绕点A8顺时针旋转 180°…… 以此类推，得到一段连续的折线。则点A2025的坐标为（ ）
A. (1265, 0) B. (,) C. (1266,) D. (,0)
10.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=x2 bx+c的图象上任意两点，设x2 x1=t，若当 2y1，则 t 的取值范围是（ ）
A. t< 4或t>7 B. t< 5或t>8 C. t< 5或t>7 D. t< 4或t>8
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11. 若二次根式有意义，则实数x 的取值范围是 。
12.如图 1，在边长为 8 cm 的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图 2 所示。小亮由此估计阴影部分面积约为 cm2。
13.如图，⊙O的内接正六边形 ABCDEF 的边长为 6，点 P 是弧CD的中点，则弧AP的长为 。
14.七巧板是中国传统数学文化的重要载体，将图 1 所示的七巧板，拼成图 2 所示的图形，则tan∠BAC= 。
15.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，点 E 为 AD 上一点，且BE=BC，作∠EBC的角平分线 BF 交边 CD 于点 F，作于点 P，分别与 AB 和 BF 交于点 G 和点 Q，若AG=AB，则 PQ 的长度为 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16. （本小题满分 7 分）计算：2cos30°+() 2+∣1 ∣ (π 2025)0。
17.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：(a+)÷，其中a= 4。
18.（本小题满分 7 分）如图，在菱形ABCD 中，点E，F分别在BC，CD 上，且∠AEC=∠AFC。求证：AE=AF。
19.（本小题满分 8 分）为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼。为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用 x 表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理。数据分成 4 组：
A 组：0≤x<3；B 组：3≤x<6；C 组：6≤x<9；D 组：9≤x<12。
下面给出了部分信息：
a. C 组数据：6, 6, 6, 6.2, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 7, 7, 7, 7.3, 7.6, 7.8, 8, 8, 8, 8.2, 8.4, 8.4, 8.5, 8.8
b. 不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中 A 组对应扇形的圆心角为 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是 h；
（4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足 6 小时的同学提供训练指导。目前九年级共 600 名学生，计划每 15 名同学配 1 名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数。
20.（本小题满分 8 分）如图1，墙壁上的点 A 处装有一个壁挂式吊灯，已知支架AB 长度为40 cm，且 AB 与墙壁 AE 所成夹角∠BAE=40°，壁灯吊杆 BC 长 30 cm，AB 与 BC 的夹角可调节。吊灯连接杆 CD 垂直于地面，CD=5cm。
（1）如图 2，当∠ABC=90°时，求灯口 D 与墙壁的距离；
（2）如图 3，现有一靠墙放置的学习桌 FH，FH 与地面平行，其距离地面的高度 FG 为 80 cm。为了日常使用方便，当 AB 与 BC 夹角调整至∠ABC=120°时，灯口 D 需距离桌面 70 cm。求点 A 距离地面的高度。（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
21.（本小题满分 9 分）如图，在中，AC=BC，⊙O与边 AB，CB 分别交于点 D，G，AG 是⊙O的直径，连接 CO，DG，过点 D 作，交 BC 于点 E。
（1）求证：DE 是⊙O的切线；
（2）若tan∠EDG=，AD=3，求 EG 的长。（本小题满分 10 分）
22.（本小题满分10分）
23.（本小题满分10 分）直线y=x+b与双曲线y=(x>0)交于点A(2,3)，与y 轴交于点B。
（1）求 k，b 的值；
（2）如图 1，点 C 是直线y=x+b上第一象限内的一点，过点 C 作轴，垂足为点 E，交双曲线于点 D，当=时，求的值；
（3）如图 2，已知点 P 是双曲线上一动点，连接 OA，OP，当∠AOP=∠BAO时，求点 P 的坐标。
24.（本小题满分 12 分）二次函数y=ax2+bx的图象过点A( 4,4)，B(,)，连接 AB，点 C 是抛物线上一个动点。
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图 1，若点C 在 y 轴左侧的抛物线上运动，平移线段 AB，使其一个端点与点 C 重合，另一个端点恰好落在 x 轴上，求点 C 的坐标；
（3）如图 2，若点C 在 y 轴右侧的抛物线上运动，作直线 AC，交 x 轴于点 E，将直线 AC 绕点 A 逆时针旋转45°得直线AG，交y 轴于点F，连接 EF。若EF=FO，直接写出点 C 的坐标。
25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点 D 在边 AC 上（点 D 不与点 A，点 C 重合），连接 BD 并将 BD 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到 DE。
（1）如图 1，连接 CE。
① CE 与 BC 的位置关系为 ，∠ABD与∠CED的数量关系是 ；
②请用等式表示 BC，CD 和 CE 的数量关系，并说明理由；
（2）如图 2，将△ABD沿 BD 翻折，得到△A’BD，连接A’E，若A’E的最小值为 2，求 AB 的长。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 的绝对值是（ C ）
A. 7 B. -7 C. D.
2.如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（ A ）
3.中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产 28 nm 浸没式 DUV 光刻机，填补国内空白。已知 28 nm = 0.000000028 m。将 0.000000028 用科学记数法表示为（ B ）
A. 28×10 7 B. 2.8×10 8 C. 2.8×10 7 D. 0.28×10 8
4.如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，OE⊥OC，OF 平分∠BOE。若∠COF = 32°，则∠AOD 的度数为（ B ）
A. 24° B. 26° C. 28° D. 30°
5.花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式。下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）
6.实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ D ）
A. a+c>a+b B. (b a)(b c)>0 C. ac>ab D. c b>c a
7.小亮和爸爸计划乘动车外出旅游。在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）。若此时 C 座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ D ）
A. B. C. D.
8.若关于 x 的一元二次方程2x2 3x m 1=0有实数根，则实数 m 的取值范围是（ A ）
A. m≥ B. m≤ C. m≥ D. m≤
9.如图，将折线O A1 A2 A3 A4绕点A4顺时针旋转 180° 得到一段新的折线A4 A5 A6 A7 A8，再将新的折线绕点A8顺时针旋转 180°…… 以此类推，得到一段连续的折线。则点A2025的坐标为（ B ）
A. (1265, 0) B. (,) C. (1266,) D. (,0)
10.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=x2 bx+c的图象上任意两点，设x2 x1=t，若当 2y1，则 t 的取值范围是（ B ）
A. t< 4或t>7 B. t< 5或t>8 C. t< 5或t>7 D. t< 4或t>8
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11. 若二次根式有意义，则实数x 的取值范围是 x≥3 。
12.如图 1，在边长为 8 cm 的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图 2 所示。小亮由此估计阴影部分面积约为 22.4 cm2。
13.如图，⊙O的内接正六边形 ABCDEF 的边长为 6，点 P 是弧CD的中点，则弧AP的长为 5π 。
14.七巧板是中国传统数学文化的重要载体，将图 1 所示的七巧板，拼成图 2 所示的图形，则tan∠BAC= 。
15.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，点 E 为 AD 上一点，且BE=BC，作∠EBC的角平分线 BF 交边 CD 于点 F，作于点 P，分别与 AB 和 BF 交于点 G 和点 Q，若AG=AB，则 PQ 的长度为 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16. （本小题满分 7 分）计算：2cos30°+() 2+∣1 ∣ (π 2025)0。
=+9+﹣1﹣1
=2+7
17.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：(a+)÷，其中a= 4。
解原式=×
=a+2
将a=﹣4代入得﹣2
18.（本小题满分 7 分）如图，在菱形ABCD 中，点E，F分别在BC，CD 上，且∠AEC=∠AFC。求证：AE=AF。
证明：∵菱形ABCD
∴∠B=∠D，AB=AD，BC=CD
又∵∠AEC=∠AFC
∴∠AEB=∠AFD
∴△ABE≌△ADF（AAS）
∴AE=AF。
19.（本小题满分 8 分）为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼。为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用 x 表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理。数据分成 4 组：
A 组：0≤x<3；B 组：3≤x<6；C 组：6≤x<9；D 组：9≤x<12。
下面给出了部分信息：
a. C 组数据：6, 6, 6, 6.2, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 7, 7, 7, 7.3, 7.6, 7.8, 8, 8, 8, 8.2, 8.4, 8.4, 8.5, 8.8
b. 不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中 A 组对应扇形的圆心角为 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是 h；
（4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足 6 小时的同学提供训练指导。目前九年级共 600 名学生，计划每 15 名同学配 1 名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数。
（1）40，18°
（2）D组12人，图略
（3）7.1
（4）600×÷15=6
20.（本小题满分 8 分）如图1，墙壁上的点 A 处装有一个壁挂式吊灯，已知支架AB 长度为40 cm，且 AB 与墙壁 AE 所成夹角∠BAE=40°，壁灯吊杆 BC 长 30 cm，AB 与 BC 的夹角可调节。吊灯连接杆 CD 垂直于地面，CD=5cm。
（1）如图 2，当∠ABC=90°时，求灯口 D 与墙壁的距离；
（2）如图 3，现有一靠墙放置的学习桌 FH，FH 与地面平行，其距离地面的高度 FG 为 80 cm。为了日常使用方便，当 AB 与 BC 夹角调整至∠ABC=120°时，灯口 D 需距离桌面 70 cm。求点 A 距离地面的高度。（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
（1）过B作BM⊥AE于M，过C作CN⊥BM于N
∵在Rt△ABM中，根据正弦和余弦的定义，
sin∠BAE=，cos∠BAE=
已知AB=40cm，sin40 ≈0.64，cos40 ≈0.77
∴BM=ABsin40 ≈40×0.64=25.6cm，AM=ABcos40 ≈40×0.77=30.8cm。
∵∠ABC=90 ，∠ABM+∠MBC=90 ，∠BCN+∠MBC=90
∴∠BCN=∠BAE=40
在Rt△BCN中，sin∠BCN=，已知BC=30cm
∴CN=BCsin40 ≈30×0.64=19.2cm
∴灯口D与墙壁的距离为AM+CN≈30.8+19.2=50cm。
（2）过B作BP⊥AE于P，过C作CQ⊥BP交BP延长线于Q。
在Rt△ABP中，BP=ABsin40 ≈40×0.64=25.6cm，AP=ABcos40 ≈40×0.77=30.8cm。
∵∠ABC=120 ，∠ABP=50
∴∠CBQ=30
在Rt△BCQ中，sin∠CBQ=，cos∠CBQ=
∵BC=30cm
∴CQ=BCsin30 =15cm，BQ=BCcos30 ≈30×≈25.98cm。
∴灯口D距离桌面70cm，桌面距离地面80cm，CD=5cm
∴C到地面的高度为70+80 5=145cm
∴B到地面的高度为145 CQ=145 15=130cm
∴点A距离地面的高度为130+BP≈130+25.6=155.6cm。
21.（本小题满分 9 分）如图，在中，AC=BC，⊙O与边 AB，CB 分别交于点 D，G，AG 是⊙O的直径，连接 CO，DG，过点 D 作，交 BC 于点 E。
（1）求证：DE 是⊙O的切线；
（2）若tan∠EDG=，AD=3，求 EG 的长。（本小题满分 10 分）
（1）证明：连接OD
∵AC=BC，OA=OG
∴CO是△ABC的中线
根据等腰三角形三线合一性质，∴CO⊥AB
∵DE∥CO
∴DE⊥AB
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∵AC=BC
∴∠A=∠B
∴∠ODA=∠B
∴OD∥BC
∵DE⊥AB，OD∥BC
∴DE⊥OD
∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线。
（2）解：连接AD，DG
∵AG是⊙O的直径
∴∠ADG=90
∵AC=BC，CO⊥AB
∴D是AB中点。
∵AD=3
∴AB=2AD=6
∵∠EDG+∠BDG=∠BDE=90 ，∠B+∠BDG=90
∴∠EDG=∠B
∵tan∠EDG=
∴tanB=
在Rt△ABD中，AD=3，AB=6
根据勾股定理可得BD=3
∵tanB==
设CO=x，则BO=3x
在Rt△BOC中，根据勾股定理BC2=CO2+BO2
∴BC=x
∵AB=6，D是AB中点，BD=3，且BC=，CD=CO=x
∴BC==x
解得x=3，即CO=3，BO=9
∵∠EDG=∠B，tan∠EDG=
设EG=y，则DE=3y
∵DE∥CO
∴△BDE∽△BOC
则=
BC=3，BE=BG EG，BG=
在Rt△ADG中，tan∠DAG=tanB=，AD=3
∴DG=，AG=2，BG=2
∴=
解得y=1
∴EG=1
22.（本小题满分10分）
项目任务1：设两车行驶里程为s千米。
∵A车每千米行驶费用为a元，总行驶费用7.5元，所以s=；
B车每千米行驶费用为(a+0.45)元，总行驶费用18.75元，所以s=
由于行驶里程相同，则=
解得a=0.3
经检验a=0.3是原方程的根
∴B车每千米行驶费用为0.3+0.45=0.75元。
项目任务 2：
∵A车一年总费用yA=6500+1230+0.3x=7730+0.3x；
B车一年总费用yB=2900+0.075x+0.75x=2900+0.825x。
当yA=yB时，
7730+0.3x=2900+0.825x
解得x=9200
yA>yB时，
7730+0.3x>2900+0.825x
解得x<9200
yA7730+0.3x<2900+0.825x
解得x>9200
∴当x=9200时，购买A车和B车费用相同；当x<9200时，购买B车更划算；当x>9200时，购买A车更划算。
23.（本小题满分10 分）直线y=x+b与双曲线y=(x>0)交于点A(2,3)，与y 轴交于点B。
（1）求 k，b 的值；
（2）如图 1，点 C 是直线y=x+b上第一象限内的一点，过点 C 作轴，垂足为点 E，交双曲线于点 D，当=时，求的值；
（3）如图 2，已知点 P 是双曲线上一动点，连接 OA，OP，当∠AOP=∠BAO时，求点 P 的坐标。
（1）将A(2,3)代入y=
得k=3×2=6
将A(2,3)代入y=x+b
得3=+b×2+b
解得b=2
（2）由（1）知直线y=x+b，B(0,2)，A(2,3)
∵=
设C点横坐标为m，则C(m,m+2)
根据两点间距离公式得=
且C在第一象限，m>0
解得m=3
∴C(3,)，D(3,2)
则=
（3）过A作AH⊥x轴于H，A(2,3)，B(0,2)，tan∠BAO=
∵∠AOP=∠BAO
∴设P(n,)，直线OP的斜率kOP=
∴tan∠AOP=，又tan∠AOP=tan∠BAO=
则=
解得n=3或n= 3（舍去）
∴P(3,2)
24.（本小题满分 12 分）二次函数y=ax2+bx的图象过点A( 4,4)，B(,)，连接 AB，点 C 是抛物线上一个动点。
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图 1，若点C 在 y 轴左侧的抛物线上运动，平移线段 AB，使其一个端点与点 C 重合，另一个端点恰好落在 x 轴上，求点 C 的坐标；
（3）如图 2，若点C 在 y 轴右侧的抛物线上运动，作直线 AC，交 x 轴于点 E，将直线 AC 绕点 A 逆时针旋转45°得直线AG，交y 轴于点F，连接 EF。若EF=FO，直接写出点 C 的坐标。
把A (-4.4), B(,)代入二次函数y=ax2+bx
得
解得
∴二次函数的表达式为 y=x2+3x
(2）设C(a,a2+3a)，D（b,0).
①当点 B 与点 C 重合，
∵DC是由 AB 平移所得．则有
解得
将 a =-代入y=x2+3x得y=﹣
∴点C坐标为（-，﹣）
②当点 A 与点 C 重合
则有
解得a1=﹣（舍去），a2=﹣﹣
∴点C（﹣﹣，）
(3）C（，）
25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点 D 在边 AC 上（点 D 不与点 A，点 C 重合），连接 BD 并将 BD 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到 DE。
（1）如图 1，连接 CE。
① CE 与 BC 的位置关系为 ，∠ABD与∠CED的数量关系是 ；
②请用等式表示 BC，CD 和 CE 的数量关系，并说明理由；
（2）如图 2，将△ABD沿 BD 翻折，得到△A’BD，连接A’E，若A’E的最小值为 2，求 AB 的长。
（1）① CE⊥BC；∠ABD=∠CED
过D作DF⊥DC交BC于F
∵∠A=90 ，AB=AC
∴∠ACB=45 ，△DFC为等腰直角三角形，DF=DC
又∵BD=DE，∠BDF=∠EDC
∴△BDF≌△EDC（SAS）。
∴∠DFB=∠DCE=135
故∠BCE=135 45 =90
即CE⊥BC；且∠ABD=∠DEC=∠CED。
②BC=CE+CD
由△BDF≌△EDC
得BF=CE。
又∵△DFC是等腰直角三角形
根据勾股定理
FC=CD
∴BC=BF+FC=CE+CD
（2）AB=2