第四讲 方程(组)及其应用（含解析） 2025年中考数学基础知识分点练

第四讲 方程(组)及其应用
命题点1 等式的基本性质(5考)
1.新考法 跨物理学科(83考)(2024贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“画”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是( )
A. x=y B. x=2y
命题点2 一次方程(组)及其解法
类型一 一次方程的解法及其解的应用(11考)
2.(2023永州)关于x的一元一次方程2 的解为 则m的值为 ( )
A. 3 B. - 3 C. 7 D. - 7
3. (2024滨州)解方程:
类型二 一次方程组的解法及其解的应用(33考)
4.(2023眉山)已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 则m的值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. (2024苏州)解方程组:
命题点3 一次方程(组)的实际应用
类型一 购买、销售问题(61考)
6.新考法 数学文化 (2024泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若 ， ，试问买甜果苦果各几个 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组： 根据已有信息，题中用“…，……”表示的缺失的条件应为( )
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
类型二 分配问题(25考)
7.(2024赤峰)用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块 如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为 ( )
8.(2024安徽)乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元)
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷
类型三 工程问题(6考)
9.新考法数学文化(2024烟台)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何 ”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同.第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工.问一共织了多少布 ( )
A. 45尺 B.88尺 C. 90尺 D.98尺
10.(2024陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间.
类型四 行程问题(20考)
11.(2024苏州)某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D.1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持：到目的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示.
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8:00 9:30 9:50 10:50
G1002 8:25 途经B站，不停车 10:30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
D1001次列车从A站到B站行驶了 分钟，从B站到C站行驶了 分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为v ，离A站的路程为( 次列车的行驶速度为v ，离A站的路程为
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟(如：上午9：15，则t= 75),已知 千米/小时(可换算为4 千米/分钟)，在G1002次列车的行驶过程中( 若 求t的值.
类型五 配套问题(8考)
12.(2023巴中)某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D.16
类型六 其他问题(59考)
13.(2024山西)当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
14. 新考法 跨音乐学科(5考)(2024吉林省卷)钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
命题点4 分式方程及其解法
类型一 分式方程的解法(83考)
15. (2024包头)解方程:
16. (2024福建)解方程:
类型二 分式方程解的应用(26考)
17.(2024齐齐哈尔)如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围是 ( )
A. m<1且m≠0 B. m<1
C. m>1 D. m<1且m≠-1
18. (2024达州)若关于x的方程 无解，则k的值为 .
命题点5 分式方程的实际应用
类型一 购买、销售问题(23考)
19.(2024重庆A卷)为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备
类型二 工程或行程问题(25考)
20.(2024呼伦贝尔)A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等. A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料 ( )
A. 60,30 B. 90,120 C. 60,90 D. 90,60
21.(2024绥化)一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为 ( )
A. 5km/h B. 6km/h C. 7 km/h D. 8km/h
中小学教育资源及组卷应用平台
22.(2024云南)某旅行社组织游客从A 地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米、乘坐C型车比乘坐D 型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度.
类型三 其他问题(79考)
23.(2024威海)某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000 千瓦·时.后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时.求一盏A型节能灯每年的用电量.
命题点6 一元二次方程及其解法
类型一 一元二次方程的解法(40考)
24.(2024河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a= ( )
A. 1 D. 1或
25. (2024凉山州)已知 则x的值为 .
26. (2024青海省卷)(1)解一元二次方程:
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长.
类型二 一元二次方程解的应用(26考)
27. (2024深圳)一元二次方程 的一个解为 则a=
28. (2024南充)已知m是方程 的一个根，则 1)的值为 .
命题点7 一元二次方程根的判别式(94考)
29.(2024上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( )
30. (2024自贡)关于x的方程 根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
31. (2024云南)若一元二次方程: 无实数根，则实数c的取值范围为 .
32. (2024南充)已知: 是关于x的方程 的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若 且k,x 都是整数，求k的值.
新考法 开放性设问(26考)(3)从( 中任意选择一个作为条件，求k的值.
[2024贵州17(1)题]
命题点8 一元二次方程根与系数的关系(54考)
33.(2024绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是 ( )
34.(2024烟台)若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为 .
35. (2024泸州)已知x ,x 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是 .
36.(2024遂宁)已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)若 是方程的两个实数根，且 求m的值.
命题点9 一元二次方程的实际应用
类型一 变化率问题(25考)
37.(2024云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是 ( )
C. 80(1-x)=60 D. 80(1-2x)=60
38.(2024重庆A卷)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4 万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是 .
类型二 几何图形面积问题(14考)
39.(2023东营)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边 BC上留一个2m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 的羊圈
(2)羊圈的面积能达到( 吗 如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由.
类型三 其他问题(34考)
40. 新考法 跨语文学科(7考)(2024吉林省卷)有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其中 于点C， 尺， 2尺.设AC的长度为x尺可列方程为 .
1. C 【解析】设“▲”的质量为 z，由题图可得 化简得将②代入①中，得x=4y.
2. A 【解析】把x=1代入2x+m=5,得2+m=5,解得m=3.
3. 解:去分母,得2(2x-1)=3(x+1),
去括号,得4x-2=3x+3,
移项,得4x-3x=3+2,
合并同类项，得x=5.
4. B 【解析】令 ,①-②,得2x-2y=2m+6,整理得x-y=m+3,∵x-y=4,∴m+3=4,解得m=1.
5. 解:令
①-②得,4y=4,解得y=1.
将y=1代入①得x=3,
∴方程组的解是
6. D 【解析】由方程 可知每个甜果 钱，每个苦果 文钱，∴9个甜果11文钱，7个苦果4文钱.
7. C 【解析】∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板，用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D 型钢板，且现在需要58块C型钢板，40块D型钢板，∴根据题意可列方程组为
8.解：设A，B这两种农作物的种植面积分别为x公顷，y公顷.
根据题意，得
解得
答：A，B这两种农作物的种植面积分别为3公顷，4公顷.
9. C 【解析】设每天减少x尺布，由题意，得5-29x=1,解得 ∴ 30天一共织布的尺数为： (尺).
10. 解:设小峰打扫了 xh,则爸爸打扫了(3-x)h.
根据题意，得
解得x=2,
答：这次小峰打扫了2h.
11. 解:(1) 90,60;
【解法提示】根据题意，得 D1001次列车从A站到 C站共行驶90+60=150(分钟),G1002次列车从A 站到C站共行驶35+60+30=125(分钟),∴ 150v =
千米/分钟，
(千米/分钟)，
由(1)知 D1001 次列车从 A 站到 B 站行驶了90分钟,
∴A站与B站之间的路程为4×90=360(千米),
∵360÷4.8=75(分钟),
∴当t=100时,G1002次列车刚好经过B站,
由题意可知,当90≤t≤110时,D1001次列车在B站停车，
∴当G1002次列车经过 B 站时,D1001次列车正在B站停车，
当 时，分四种情况讨论：
(i)当25≤t<90时,
∴4t-4.8(t-25)=60,
解得t=75;
(ii)当90≤t≤100时,
∴360-4.8(t-25)=60,
解得t=87.5，不符合题意，舍去；
(iii)当100∴4.8(t-25)-360=60,
解得t=112.5,不符合题意,舍去;
(iv)当110∴4.8(t-25)-[360+4(t-110)]=60,
解得t=125,
综上所述,当t=75或125时,
12. C 【解析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，由题意得 解得 用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，∴这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个.
13.解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克.
根据题意，得
解得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1 000 克.
14.解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个.
由题意得 解得
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个.
15. 解:去分母得:x-2-2(x-4)=x,
去括号得:x-2-2x+8=x,
移项、合并同类项得:-2x=-6,
系数化为1得:x=3,
经检验x=3是原分式方程的解.
16. 解:去分母得:3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),
去括号得：
移项、合并同类项、系数化为1得x=10，
经检验x=10是原分式方程的解.
17. A 【解析】方程两边同时乘以x(x+1)得,x+1-mx=0，解得 分式方程的解是负数，∴m-1<0,∴m<1,又∵x(x+1)≠0,∴x≠0且x+1≠0,∴x≠0且x≠-1,∴m ≠-1,∴m≠0,∴m<1且m≠0.
18. 4 【解析】去分母得:3-k+1=x-2,解得x=6-k,∵关于x 的方程 无解，∴原方程有增根,∴x-2=0,即6-k-2=0,∴k=4.
19.解：(1)设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线有(30-x)条.
根据题意,得3x+2(30-x)=70,
解得x=10,
则30-x=20.
答：该企业甲类生产线有 10 条，乙类生产线有20条;
(2)设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为(m-5)万元.
根据题意，得
解得m=50,
经检验，m=50是分式方程的解，且符合题意，则m-5=45,
则还需要更新设备费用为 10×50+20×45-70=1 330(万元),
答：该企业还需投入1330万元资金更新生产线的设备.
20. D 【解析】设B 型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运(x+30)千克化工原料，根据题意，得 解得x=60,经检验,x=60是原分式方程的解，且符合题意，∴x+30=90，∴A 型机器人每小时搬运90千克化工原料，B 型机器人每小时搬运60千克化工原料.
21. D 【解析】设江水的流速为 xkm/h,根据题意可得: 解得x=8，经检验x=8是分式方程的解，且符合题意，∴江水的流速为8km/h.
22.解：设D型车的平均速度是x千米/小时，则C型车的平均速度是3x千米/小时.
根据题意得
解得x=100,
经检验，x=100是分式方程的解，且符合题意.
答：D型车的平均速度是100千米/小时.
23.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏 A 型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时.
根据题意得
解得x=96,
经检验，x=96是分式方程的解，且符合题意，
∴2x-32=2×96-32=160(千瓦·时).
答：一盏A 型节能灯每年的用电量为160千瓦·时.
24. C 【解析】根据题意得, 解得
解题技巧
根据错误与正确的答案差值，列出对应的式子求解，再根据正数的范围确定a的值.
25.3 【解析】由题意得 将其代入 0,得 ，整理得 ,解得x=-1或3 , ∵x=y ,∴x≥0,∴x=3.
26. 解:(1)解:方程可化为:(x-1)(x-3)=0,解得
(2)∵直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，∴分三种情况讨论：
①当两根均为直角三角形的直角边时，第三边的长为
②当1为直角边边长，3为斜边边长时，第三边的长为
③当1为斜边边长，3为直角边边长时，不符合实际，舍去.
综上所述，当直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根时，第三边的长为 或2
27.2 【解析】将x=1代入一元二次方程得，1-3+a=0,解得a=2.
28. - 4 【解析】将x=m代入方程可得 即 则(
29. D 【解析】 该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意； ×1×(-9)=36>0,该方程有两个不相等实数根,故B选项不符合题意； 该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意；D. 该方程有两个相等实数根，故D选项符合题意.
30. A 【解析】· 0，∴方程有两个不相等的实数根.
31. c>1 【解析】∵一元二次方程 无实数根， 解得c>1.
32.解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
4>0.
解得k>1;
(2)∵1∴整数k的值为2,3,4.
当k=2时，方程为 解得
当k=3或4时，此时方程的解不为整数.
综上所述，k的值为2.
(3)∵由题可知关于x的方程有两个不相等的实数根,∴由(1)知k>1,且 1,∴若选择①,则 整理得 3=0,解得 (舍去);若选择②,则x · 整理得 解得 (舍去)，综上可知，选①或②k的值都为3.
33. B 【解析】令原来方程的两个根分别为x ，x ，∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1,∴ 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，∴x x = 中， 故该选项不符合题意； 中， 故该选项符合题意； 中， =2，故该选项不符合题意； 中， 故该选项不符合题意.
34. 6 【解析】∵m,n是一元二次方程 的两根 :
35. 14 【解析】∵x ,x 是一元二次方程 的两个实数根，.
36. (1)证明:∵
∴无论 m为何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)解:∵x ,x 是方程. 的两个实数根，
=9,
解得
37. B
38. 10% 【解析】设年平均增长率为x,由题意得40(1+ 解得 (不符合题意，舍去).
39. 解:(1)设矩形ABCD的宽AB= xm,则长 BC=70-2x+2=(72-2x) m.
根据题意,得x(72-2x)=640,
化简，得
解得
当x=16时,72-2x=72-32=40,
当x=20时,72-2x=72-40=32;
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640 m 的羊圈；
(2)不能，理由如下：
由题意,得x(72-2x)=650,
化简，得
∴该一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到(650m .