专题二 微专题2
A组·基础练
1.(2024·辽宁卷)如图，高度h＝0.8 m的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量mA＝mB＝0.1 kg。A、B间夹一压缩量Δx＝0.1 m的轻弹簧，弹簧与A、B不拴接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程xA＝0.4 m；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离xB＝0.25 m后停止。A、B均视为质点，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)脱离弹簧时A、B的速度大小vA和vB；
(2)物块与桌面间的动摩擦因数μ；
(3)整个过程中，弹簧释放的弹性势能ΔEp。
【答案】 (1)1 m/s,1 m/s (2)0.2 (3)0.12 J
【解析】 (1)对A物块由平抛运动知识得h＝gt2
xA＝vAt
代入数据解得，脱离弹簧时A的速度大小为vA＝1 m/s
AB物块质量相等，同时受到大小相等方向相反的弹簧弹力及大小相等方向相反的摩擦力，则AB物块整体动量守恒，则mAvA＝mBvB
解得脱离弹簧时B的速度大小为vB＝1 m/s。
(2)对物块B脱离弹簧后的运动由动能定理－μmBgxB＝0－mBv
代入数据解得，物块与桌面的动摩擦因数为μ＝0.2。
(3)弹簧的弹性势能转化为AB物块的动能及这个过程中克服摩擦力所产生的内能，即ΔEp＝mAv＋mBv＋μmAgΔxA＋μmBgΔxB
其中mA＝mB，Δx＝ΔxA＋ΔxB
解得整个过程中，弹簧释放的弹性势能ΔEp＝0.12 J。
B组·综合练
2.(2024·山东卷)如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R＝0.4 m，重力加速度大小g＝10 m/s2。
(1)若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
(2)若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示。
①求μ和m；
②初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F＝8 N，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7 m/s。求轨道水平部分的长度L。
【答案】 (1)v＝4 m/s (2)①m＝1 kg，μ＝0.2 ②4.5 m
【解析】 (1)根据题意可知小物块在Q点由合力提供向心力有mg＋3mg＝m
代入数据解得v＝4 m/s。
(2)①根据题意可知当F≤4 N时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可知F＝(M＋m)a
根据图乙有k＝＝0.5 kg－1
当外力F>4 N时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有F－μmg＝Ma
结合题图乙有a＝F－
可知k＝＝1 kg－1
截距b＝－＝－2 m/s2
联立以上各式可得M＝1 kg，m＝1 kg，μ＝0.2。
②由图乙可知，当F＝8 N时，轨道的加速度为6 m/s2，小物块的加速度为a2＝μg＝2 m/s2
当小物块运动到P点时，经过t0时间，则轨道有v1＝a1t0
小物块有v2＝a2t0
在这个过程中系统机械能守恒有Mv＋mv＝Mv＋mv＋2mgR
水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有Mv1＋mv2＝Mv3＋mv4
联立解得t0＝1.5 s
根据运动学公式有L＝a1t－a2t
代入数据解得L＝4.5 m。
3.(2024·湖北卷)如图所示，水平传送带以5 m/s的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距离为3.6 m。传送带右端的正上方有一悬点O，用长为0.3 m、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2 kg的小球，小球与传送带上表面平齐但不接触。在O点右侧的P点固定一钉子，P点与O点等高。将质量为0.1 kg的小物块无初速轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度大小为1 m/s、方向水平向左。小球碰后绕O点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕P点向上运动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小g＝10 m/s2。
(1)求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
(2)求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
(3)若小球运动到P点正上方，绳子不松弛，求P点到O点的最小距离。
【答案】 (1)5 m/s (2)0.3 J (3)0.2 m
【解析】 (1)根据题意，小物块在传送带上，由牛顿第二定律有μm物g＝m物a
解得a＝5 m/s2
由运动学公式可得，小物块与传送带共速时运动的距离为x＝＝2.5 m可知，小物块运动到传送带右端前与传送带共速，即小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小等于传送带的速度大小5 m/s。
(2)小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，小物块与小球组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律有m物v＝m物v1＋m球v2
其中v＝5 m/s，v1＝－1 m/s
解得v2＝3 m/s
小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能为ΔEk＝m物v2－m物v－m球v
解得ΔEk＝0.3 J。
(3)若小球运动到P点正上方，绳子恰好不松弛，设此时P点到O点的距离为d，小球在P点正上方的速度为v3，在P点正上方，由牛顿第二定律有m球g＝m球
小球从O点正下方到P点正上方过程中，由机械能守恒定律有m球v＝m球v＋m球g(2L绳－d)
联立解得d＝0.2 m
即P点到O点的最小距离为0.2 m。
4.(2024·浙江卷)某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角θ＝37°的直轨道AB，半径R＝1 m的圆弧轨道BCD，长度L＝1.25 m、倾角为θ的直轨道DE，半径为R、圆心角为θ的圆弧管道EF组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量m＝0.5 kg的滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量m＝0.5 kg的小物块a从轨道AB上高度为h处静止释放，经圆弧轨道BCD滑上轨道DE，轨道DE由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数μ1＝0.25，向下运动时动摩擦因数μ2＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为μ1，小物块a动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。(其他轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若h＝0.8 m，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在DE上经过的总路程；
③在DE上向上运动时间t上和向下运动时间t下之比。
(2)若h＝1.6 m，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
【答案】 (1)①16 m/s2 ②2 m ③1∶2
(2)0.2 m
【解析】 (1)①对小物块a从A到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有mgh＝mv
第一次经过C点的向心加速度大小为a＝＝＝16 m/s2。
②小物块a在DE上时，因为μ2mgcos θ所以小物块a每次在DE上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE上的滑动使机械能损失，最终小物块a将在B、D间往复运动，且易知小物块每次在DE上向上运动和向下运动的距离相等，设其在DE上经过的总路程为s，根据功能关系有mg[h－R(1－cos θ)]＝(μ1mgcos θ＋μ2mgcos θ)
解得s＝2 m。
③根据牛顿第二定律可知小物块a在DE上向上运动和向下运动的加速度大小分别为a上＝gsin θ＋μ1gcos θ＝8 m/s2
a下＝gsin θ－μ2gcos θ＝2 m/s2
将小物块a在DE上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式有a上t＝a下t
解得＝。
(2)对小物块a从A到F的过程，根据动能定理有
mg[h－Lsin θ－2R(1－cos θ)]－μ1mgLcos θ＝mv－0
解得vF＝2 m/s
设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守恒定律有mvF＝2mv
mv＝·2mv2＋2μ1mgl
解得l＝0.2 m。
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微专题2 动力学三大观点的综合运用
力学三大观点对比
力学三大观点 对应规律 表达式 选用原则
能量观点 动能定理 W合＝ΔEk 涉及做功与能量转换
机械能守恒定律 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
功能关系 WG＝－ΔEp等
能量守恒定律 E1＝E2
力学三大观点 对应规律 表达式 选用原则
动量
观点 动量定理 I合＝p′－p 只涉及初末速度、力、时间而不涉及位移、功
动量守恒定律 p1＋p2＝p1′＋p2′ 只涉及初末速度而不涉及力、时间
“类碰撞”问题
情境 类比“碰撞” 满足规律
初态 末态
相距最近时 完全非弹性碰撞 动量守恒，动能损失最多
再次恢复原长时 弹性碰撞 动量守恒，动能无损失
情境 类比“碰撞” 满足规律
初态 末态
共速时 完全非弹性碰撞 动量守恒，动能损失最多
滑离时 非弹性碰撞 动量守恒，部分动能转化为内能
到达最高点时 完全非弹性碰撞 动量守恒，动能损失最多
再次回到地面时 弹性碰撞 动量守恒，动能无损失
１
“类碰撞”问题
(2024·安徽卷)如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块右侧。现将细线拉直到水平位置，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长L＝1.25 m。小球质量m＝0.20 kg。物块、小车质量均为M＝0.30 kg。小车上的水平轨道长s＝
1.0 m。圆弧轨道半径R＝0.15 m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围。
【答案】 (1)6 N (2)4 m/s (3)0.25≤μ<0.4
(2024·江苏卷)在水平面上有一个U形滑板A，A的上表面有一个静止的物体B，左侧用轻弹簧连接在物体B的左侧，右侧用一根细绳连接在物体B的右侧，开始时弹簧处于拉伸状态，各表面均光滑，剪断细绳后，则( )
A．弹簧原长时B动量最大
B．弹簧最短时A动能最大
C．系统动量变大
D．系统机械能变大
【答案】 A
故可知弹簧原长时物体速度最大，此时动量最大，动能最大。由于动量守恒，所以此时滑板A的动量也最大。对于系统来说动量一直为零，系统机械能不变。
故选A。
2
板块模型
(2024·河北卷)如图，三块厚度相同、质量相等的木板A、B、C(上表面均粗糙)并排静止在光滑水平面上，尺寸不计的智能机器人静止于A木板左端。已知三块木板质量均为2.0 kg，A木板长度为2.0 m，机器人质量为6.0 kg，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力。
(1)机器人从A木板左端走到A木板右端时，求A、B木板间的水平距离；
(2)机器人走到A木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从A木板右端跳到B木板左端，求起跳过程机器人做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值；
(3)若机器人以做功最少的方式跳到B木板左端后立刻与B木板相对静止，随即相对B木板连续不停地3次等间距跳到B木板右端，此时B木板恰好追上A木板。求该时刻A、C两木板间距与B木板长度的关系。
【解析】 (1)机器人从A木板左端走到A木板右端，机器人与A木板组成的系统动量守恒，设机器人质量为M，三个木板质量为m，根据人船模型得Mx＝mx1
同时有x＋x1＝LA
解得A、B木板间的水平距离x1＝1.5 m。
(2024·甘肃卷)如图，质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O′P和OP作用下处于平衡状态，细绳O′P＝OP＝1.6 m，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上，质量为2 kg的物块C静止在B的左端。剪断细绳O′P，小球A开始运动。(重力加速度g取 10 m/s2)
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力；
(2)A在最低点时，细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短)、碰后A竖直下落，C水平向右运动。求碰后C的速度大小；
(3)A、C碰后，C相对B滑行4 m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
【答案】 (1)40 N (2)4 m/s (3)0.15
【解析】 根据题意，设A、C质量为m＝2 kg，B的质量为M＝ 6 kg，细绳OP长为l＝1.6 m，初始时细线与竖直方向夹角θ＝60°。
