(共20张PPT)
微专题3 动态圆和磁聚焦与磁发散问题
１
三类“动态圆”问题
1.解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态圆思想寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
2.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
3.常用的动态圆
示意图 适用条件 应用方法
放
缩
圆
(轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
1. (2023·湖南长沙模拟)如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是( )
A．粒子带负电
B．从M点射出的粒子速率一定大于从N点射出的粒子速率
C．从M点射出的粒子在磁场中的运动时间一定小于从N点射出的粒子在磁场中的运动时间
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 BC
2
磁聚焦与磁发散
磁聚焦与磁发散 轨迹圆半径等于区域圆半径 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行——磁聚焦，从边缘某点以不同方向入射时平行射出——磁发散
4. (多选)(2024·福建泉州模拟)我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度分别为B1，B2。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为＋q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是( )
【答案】 AD 专题三 微专题3
A组·基础练
1.(2024·福建莆田二模)带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中一半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 利用圆形区域匀强磁场实现对带电粒子流的磁聚焦，需要满足：粒子匀速圆周运动半径与圆形磁场区域的半径相等，设粒子做匀速圆周运动的半径为R，则有R＝r，粒子匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有qvB＝m，解得B＝，故选C。
2. (多选)(2024·安徽蚌埠模拟)如图，半径为R的圆形区域内有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场边界上的P点有一同种粒子源，粒子的比荷为k，粒子以相等速率沿不同方向进入磁场，其中沿直径方向飞入的粒子在有界磁场中偏转90°射出，粒子的重力以及粒子之间的相互作用力均可忽略，由此可以判断( )
A．所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行
B．粒子从P点进入磁场时的速率为kBR
C．粒子从P点进入磁场时的速率为
D．若粒子从射出点沿射出速度反方向以相等速率射入，一定会从P点射出
【答案】 AB
【解析】 沿直径方向飞入的粒子在有界磁场中偏转90°射出，根据几何关系可知，粒子圆周运动的轨迹半径为R，则任意方向进入磁场的粒子其入射点、出射点、轨迹圆心与磁场圆心四点构成棱形，则出射点速度方向始终垂直于入射点位置磁场圆的半径，即所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行，故A正确；结合上述可知qvB＝m，解得v＝＝kBR，故B正确，C错误；若粒子从射出点沿射出速度反方向以相等速率射入，根据左手定则可知，粒子所受洛伦兹力方向与射出前洛伦兹力方向相反，粒子偏转方向与射出前相反，此后轨迹入射点、出射点、轨迹圆心与磁场圆心四点构成棱形，根据磁汇聚可知，粒子将从磁场圆上与P点对称的点射出，故D错误。故选AB。
3. (2024·山东临沂模拟)如图所示，直角三角形的AB边长为L，∠C＝30°，三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从D点沿着垂直BC边的方向以速度v射入磁场，CD间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．v＝时，带电粒子垂直于AC边射出磁场
C．若粒子从BC边射出磁场，则v<
D．若粒子从AC边射出磁场，则v>
【答案】 B
【解析】 粒子带正电，根据左手定则可知，粒子进入磁场后将向上偏转，粒子从BC边离开时，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大，运动时间最长，当轨迹刚好与AC边相切时，粒子轨迹如图1所示
由洛伦兹力提供向心力可得qv1B＝m
根据几何关系可得r1＋＝L
联立解得r1＝，v1＝
可知粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝T＝
若粒子从BC边射出磁场，则有v<
若粒子从AC边射出磁场，则有v>
故A、C、D错误；若带电粒子垂直于AC边射出磁场，如图2所示
根据几何关系可知r2＝L
由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m
联立解得v＝
故B正确。
4.(多选)(2024·广东中山模拟)如图所示，边长为L的等边三角形A′B′C′区域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。若将质量为m、电荷量为q的带正电粒子从顶点A′沿角平分线方向以不同的速率射入磁场区域内，不计粒子重力，则( )
A．粒子可能从B′点射出
B．粒子入射速率为时，从C′点射出
C．粒子入射时的速率越大，在磁场中的运动时间一定越短
D．从A′C′边射出的粒子，出磁场时的速度方向都相同
【答案】 BD
【解析】 根据左手定则，粒子会向A′C′偏转，不可能从B′点射出，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，若粒子从C′点射出，根据几何关系有r＝L，解得粒子入射速率为v＝，故B正确；粒子在磁场中的运动周期为T＝，设粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝，当粒子的速度大于等于时，粒子都打在A′C′边上，其轨迹对应的圆心角都相等，都等于60°，在磁场中的运动时间相等，则粒子入射时的速率越大，在磁场中的运动时间不一定越短，从A′C′边射出的粒子，在磁场中偏转角度相同，出磁场时的速度方向都相同，故C错误，D正确。故选BD。
5.(多选)(2024·湖南郴州模拟)如图所示，匀强磁场中位于P处的粒子源可以沿垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为m、电荷量为q，速率为v的带正电粒子，P到荧光屏MN的距离为d，设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是( )
A．若磁感应强度B＝，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间
B．若磁感应强度B＝，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为
C．若磁感应强度B＝，则荧光屏上形成的亮线长度为(＋)d
D．若磁感应强度B＝，则荧光屏上形成的亮线长度为(＋2)d
【答案】 ABC
【解析】 根据qvB＝m，若磁感应强度B＝
由题可知，运动的轨道半径R＝d
最短时间时，恰好弦长最短，打到P点的正左方，如图所示
根据几何关系，偏转的圆心角为，因此运动时间为t＝＝，故A正确；
由几何关系可知，打到荧光屏MN上最长时间恰好运动了个周期，轨迹如下图所示
因此时间差Δt＝＝，故B正确；
若磁感应强度B＝，则轨道半径R＝2d
到达荧光屏最下端的粒子的轨迹是与MN相切的，设下半部分的亮线长度为x1，根据几何关系，有x＋(R－d)2＝R2
解得x1＝d
到达荧光屏最上端的粒子与屏的交点与P点连线为轨迹的直径，设上半部分亮线的长度为x2，根据几何关系，有x＋d2＝(2R)2
解得x2＝d
所以亮线的总长度为(＋)d，故C正确，D错误。故选ABC。
B组·综合练
6.(多选)(2024·陕西榆林一模)磁聚焦的原理图如图。通电线圈产生沿其轴线AA′方向的匀强磁场。从A点发出的带电粒子束初速度v0大小相等，方向与AA′的夹角都比较小。把初速度v0沿AA′方向和垂直于AA′方向分解，沿AA′方向的分速度v1＝v0cos θ≈v0(θ很小时)，这表明所有粒子在沿AA′方向的分速度都相同。在垂直AA′方向，所有粒子均做圆周运动，只要粒子的比荷相等，周期就相等，因此，所有从A点发出的带电粒子束就能在A′点汇聚，这就是磁聚焦原理。设由电性相反、比荷均为k的两种粒子组成的粒子束从A点射入该通电线圈，初速度v0大小相等，方向与AA′的夹角相等且都很小，这些粒子在A′点汇聚在了一起。已知该通电线圈在线圈内产生的匀强磁场的磁感应强度大小为B，忽略粒子的重力及粒子间的相互作用，则A、A′之间的距离可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】 BCD
【解析】 由于粒子束由电性相反的两种粒子组成，两种粒子在磁场中的旋转方向相反，要实现汇聚，必须经过周期的整数倍，因此A、A′之间的距离可能是Tv0、2Tv0……而不能是Tv0、…，由于qvB＝m，T＝，解得T＝＝，所以A、A′之间的距离可能是d＝(n＝1,2,3…)，当n＝1时有d＝，当n＝2时有d＝，当n＝3时有d＝，故选BCD。
7.(2024·湖南娄底模拟)磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞留等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用，如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小都是B。有一质量为m、所带正电荷电荷量为q的带电粒子从P点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R
B．粒子从P点射入磁场的速度大小为
C．粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间为
D．如果圆形区域外的磁场在一个以O为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少为(6＋4)πR2
【答案】 D
【解析】 因为粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，画出粒子轨迹示意图如图所示，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，则有tan 30°＝，可得r＝R，选项A错误；由qvB＝m，可得v＝，选项B错误；粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为T＝＝，粒子从P点射出到第一次回到P点所需要的时间为t＝＋＋＝，选项C错误；由几何关系可知，圆环的大圆半径为(2＋)R，小圆半径为R，所以其面积为S＝π[(2＋)R]2－πR2＝(6＋4)πR2，选项D正确。
8. (2024·陕西西安模拟)如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场(含边界)，磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成α＝53°角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏(质子打到荧光屏上不再反弹)，P、Q两点的坐标分别为P(0,0.4l)，Q(l,0.4l)。已知质子比荷＝k，sin 53°＝0.8。求：(结果均可用分数表示)
(1)质子在磁场中运动的最长时间是多少；
(2)如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。
【答案】 (1) (2)≤v≤
【解析】 (1)质子能打到y轴上时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示
由周期公式T＝
又由几何关系可知θ＝2(90°－α)
则粒子在磁场中运动的最长时间
t＝T＝。
(2)当质子轨迹与PQ相切时，如图1所示，设此时初速度为v1，轨迹半径为R，由几何关系可得R＋Rcos α＝0.4l
又qBv1＝
解得v1＝＝
当粒子运动轨迹与磁场边界相切时，如图2所示，
设此时初速度为v2，轨迹半径为R′，由几何关系可得R′＋R′sin α＝l
又qBv2＝
解得v2＝＝
综上可得≤v≤。
9.(2024·天津模拟)在以坐标原点O为中心、边长为l的正方形EFGH区域内，存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，如图所示。在A处有一个粒子源，可以连续不断地沿＋x方向射入速度不同的带电粒子，且都能从磁场的上边界射出。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力，不考虑粒子间的相互作用。求：
(1)粒子所带的电性；
(2)从E点射出的粒子的速度大小v；
(3)若粒子以速度v′＝射入磁场，粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】 (1)负电 (2) (3)
【解析】 (1)根据左手定则，粒子带负电。
(2)根据牛顿第二定律得qvB＝m
根据题意得r＝l
解得v＝。
(3)若粒子以速度v′＝射入磁场，根据牛顿第二定律得qv′B＝m
解得r′＝l
根据几何关系得cos θ＝
解得θ＝60°
粒子在磁场中运动的时间t
t＝T
T＝
解得t＝。
10.(2024·山东临沂模拟)如图所示，在xOy平面内的第一象限内存在一有界匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy平面向外。一束质量为m、电荷量为＋q的粒子以不同的速率从O点沿xOy平面内的OP方向发射，沿直线飞行到P点时进入有界匀强磁场区域，O、P两点间的距离为L，OP连线与x轴正方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x轴上垂直x轴射出，若速度最大的粒子A从x轴上的Q点以速度vm(未知)射出，且射出之前都在磁场内运动，粒子所受的重力忽略不计，求：
(1)vm的大小；
(2)粒子A在匀强磁场中运动的时间；
(3)有界匀强磁场区域的最小面积。
【答案】 (1) (2) (3)L2
【解析】 (1)粒子的运动轨迹如图
设粒子A在磁场中做圆周运动的半径为Rm，由几何关系得Rm＝L
粒子在磁场中的圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvmB＝m
解得vm＝。
(2)粒子做匀速圆周运动，则有qvB＝m
周期为T＝
解得T＝
由运动轨迹可知，粒子A经过磁场后的偏转角为120°，则粒子A在磁场中运动的时间
t＝T＝T
解得t＝。
(3)由几何关系可知三角形PO1Q的面积
S1＝Rsin 120°
120°圆心角对应的扇形面积
S2＝πR
由数理规律可知，磁场区域的最小面积为图中阴影部分面积，其面积
ΔS＝S2－S1＝L2。
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