第十六讲 锐角三角函数及其实际应用（含解析） 2025年中考数学基础知识分点练

第十六讲 锐角三角函数及其实际应用
命题点1 特殊角的三角函数值(10考)
1. (2024天津) 的值等于 ( )
A. 0 B. 1
命题点2 直角三角形的边角关系(60考)
2. (2024云南)如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tanA=( )
A. B.
3. (2024临夏州)如图,在△ABC中, 则BC的长是 ( )
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
4. (2024深圳)如图,在△ABC中, D为BC上一点，且满足 连接AD,过点 D 作 DE⊥AD交AC延长线于点E,则
5. (2024浙江)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE 是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求 BC的长;
(2)求sin∠DAE的值.
命题点3 锐角三角函数的实际应用 重难
类型一 解一个直角三角形(17考)
6. (2024长春)如图,2024年5月29日16时12分, “长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为( )
A. asinθ千米
千米
C. acosθ千米
千米
7.(2024烟台)根据收集的素材，探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装.
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时,14°≤α≤29°;夏至日时,43°≤α≤76°. sin 14°≈0.24, cos 14°≈0.97,tan 14°≈0.25 sin 29°≈0. 48, cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55 sin 43°≈0. 68, cos 43°≈0. 73.tan 43°≈0.93 sin 76°≈0. 97, cos 76°≈0.24,tan 76°≈4.01
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米,甲楼 AB 共 11 层 ,乙楼CD 共15 层 ,一层从地面起,每层楼高皆为3.3米. AE 为某时刻的太阳光线.
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择____日(填冬至或夏至)时，α为____(填14°,29°,43°,76°中的一个)进行计算.
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器.
8.新考法 综合与实践(2024新疆)数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
(1)准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪(图①)，利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺.
(2)实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点(图②)；
②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m.
(3)计算旗杆高度
①根据图③中测角仪的读数，得出仰角α的度数为 ；
②根据测量数据，画出示意图④， 求旗杆CD的高度(精确到0.1m);
(参考数据： 0.82,cos55°≈0.57,tan53°≈1.43)
③若测量者仍站在廓处(B点)，能否用三角板替代测角仪测出仰角α 若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角α 请写出测量方法.
类型二 背靠背型(47考)
9. 新考法 综合与实践(2024 山东省卷)
【实践课题】测量湖边观测点A 和湖心岛上鸟类栖息点 P 之间的距离.
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具.
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点
B.测量A，B两点间的距离以及∠PAB 和 测量三次取平均值，得到数据：
AB=60米,∠PAB=79°,∠PBA=64°.画出示意图,如图①.
【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离.
(参考数据：si 0.60, tan 37°≈0.75)
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图②，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD=DE,∠DEF=∠DAP,当点 F,D,P在同一条直线上时,只需测量EF 即可.
(2)乙小组的方案用到了 .(填写正确答案的序号)
①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好.对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案.
10. (2024重庆B卷)如图,A,B,C,D分别是某公园四个景点,B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西( 方向，C在A的北偏东 方向，且在B的北偏西 方向， 千米.(参考数据：
(1)求 BC 的长度(结果精确到0.1千米);
(2)甲、乙两人从景点 D出发去景点B，甲选择的路线为：D→C→B，乙选择的路线为：D→A→B.请计算说明谁选择的路线较近
类型三 母子型(123考)
11. (2024眉山)如图,斜坡CD 的坡度. 在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为 时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 米.
12.(2024安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验.如图，光线自点B处发出，经水面点E 折射到池底点A 处.已知BE与水平线的夹角( 点B 到水面的距离. 点A处水深为1.20m，到池壁的水平距离 点B,C,D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求 的值(精确到0.1).
(参考数据：
13. 新考法跨地理学科(7考)(2024成都)中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB 垂直于地面，AB长8尺.在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD.已知 求春分和秋分时日影长度.(结果精确到0.1尺；参考数据： ,
类型四 实物模型(45考)
14. 新考法 传统文化(2024湖南省卷)如图，左图为《天工开物》记载的用于春(chōng).拇谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图,右图为其平面示意图，已知 于点B，AB与水平线l相交于点O,OE⊥l.若 分米， 分米、 ，则点C到水平线l的距离CF为 分米(结果用含根号的式子表示).
15.(2024广东省卷)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站。如图是矩形PQMN充电站的平面示意图、矩形AB-CD是其中一个停车位.经测量，. m、 GH 是另一个车位的宽、所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1m，参考数据 1.73)
(1)求PQ的长;
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.
16.(2024河南)如图①，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE 相切时(如图②)，在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视角.
(1)请仅就图②的情形证明
(2)经测量，最大视角. 为 在点 P 处看塑像顶部点A的仰角 为 点P到塑像的水平距离 PH为6m .求塑像AB的高(结果精确到0.1m.参考数据：
17. 新考法 真实问题情境(2024 江西)图①是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”.如图②，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD 和矩形碗底BEFC组成，已知 EF,AM,DN是太阳光线, 点M,E,F,N在同一条直线上.经测量 (结果精确到0.1m)
(1)求“大碗”的口径AD 的长;
(2)求“大碗”的高度AM 的长.
(参考数据：s
18. 新考法 数学文化(2024乐山)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地.
送行二步与人齐，五尺人高曾记.
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.
良工高士素好奇，算出索长有几
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺(5尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺.(假设秋千的绳索拉的很直)
(1)如图①，请你根据词意计算秋千绳索 OA 的长度；
(2)如图②，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置 释放，秋下摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方( 两次位置的高度差 根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度 如果能。请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由.
19.(2024苏州)图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆 活动杆AD 可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知
(1)如图②，当活动杆AD 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号)；
(2)如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且 (α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆CD 的长度(结果保留根号).
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第十六讲 锐角三角函数及其实际应用
1. A 【解析
2. C 【解析】∵∠B=90°,AB=3,BC=4,∴tan A=BCB
3. B 【解析】如解图，过点A 作 BC 的垂线，垂足为点M,在Rt△ABM中, BM .又∵AB=AC,AM⊥BC,∴BC=2BM=6.
4. 【解析】如解图,过点A作AH⊥CB 于点H,过点C作CM⊥AD 于点M,∵AD⊥DE,∴CM∥DE,∴CAE= 设BD=8a,则CD=5a,∴AB=BC=BD+CD=13a,∵tan∠B= ,∴AH=5a,BH=12a,∴DH=BH-BD=4a,CH=a,在Rt△ACH中,AC= 在 Rt △ADH 中, AD = w
5. 解:(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∴由勾股定理得
∴CD=AD=6,
∴ BC=BD+CD=8+6=14;
(2)∵AE是BC边上的中线,
∴BE=CE=7,
∴DE=BD-BE=1,
在 Rt△ADE 中,由勾股定理得
6. A 【解析】在 Rt△ALR中,AR=a千米,∠ARL=θ,∴AL=AR·sinθ=asinθ(千米).
7. 解:任务一:冬至,14°;
任务二:如解图,过点 E作EF⊥AB 于点 F,
在△AEF 中,∠AFE= 90°,∠AEF = 14°,EF =BD =54米,
∴AF=EF·tan∠AEF =54×tan 14°≈54×0. 25=13.5(米),
∴DE=BF=AB-AF=11×3.3-13.5=22.8(米),
∵22.8÷3.3≈6.9≈7(层),
∴乙楼中1层~7层不能安装该品牌太阳能热水器.
解题技巧
根据题意，任务一中应该选择全年都会晒到太阳的临界情况.
8. 解:(3)①35°;
【解法提示】如解图①:由题意得∠C=90°,∠ADC=
②由题意得,CE=AB=1.6m,AE=BC=16.8m,∠AED=90°,
∴在 Rt△EDA中,
∴CD=DE+CE=11.8+1.6=13.4m,
答:旗杆CD的高度约为13.4m;
③不能；
若使用30°，60°，90°的三角板，可以把三角板的30°角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到60°角的顶点与点 D重合即可停下，即得到此时的仰角为30°，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可通过解直角三角形进行计算，如解图②；
若使用45°，45°，90°的三角板，可以把三角板的45°角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个45°角的顶点与点D 重合即可停下，即得到此时的仰角为45°，标记自己的位置，测量自己的位置与点 C的距离，即可通过解直角三角形进行计算，如解图③.(答案不唯一)
9. 解:(1)如解图,过点A作AC⊥BP 于点 C.
∵∠PAB=79°,∠PBA=64°,
∴ ∠P=180°-∠PAB-∠PBA=37°,
∵AB=60米,
∴在 Rt△ABC中,AC=AB· sin ∠PBA=60×sin64°,
∴在 Rt△ACP中, 90(米).
答：A，P两点间的距离约为90米；
(2)②.
10. 解:(1)如解图,过点B作BE⊥AC于点 E,由题意得,∠CAB=90°-30°=60°,∠ABC=90°-15°=75°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=45°,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=2千米,
∴BE=AB·sin∠BAE=2· sin 60°= 千米，
在 Rt△BCE 中,
2.5千米,
∴ BC的长度约为2.5千米;
(2)如解图,过点C作CF⊥AD于点 F,在Rt△ABE 中,AE=AB·cos∠BAE=2·c os60°=1千米，
∴AC=AE+CE=AE+BE=(1+ )千米，
在Rt△AFC 中,CF=AC·sin∠CAF=(1+ ) · 千米，
千米，在Rt△DCF 中,∠DCF=30°,∠DFC=90°,
千米， 千米，
千米,AD+AB=DF+AF+ 千米，∵4.03<5.15,
∴甲选择的路线较近.
【解析】如解图，过点 E 作水平面的平行线，交AB的延长线于点 H，设斜坡水平面为CF，则 设BH=x米,EH=2x米,. 米 米， 米,∵∠EAH= 米,∴AB 米.
解题技巧
作出EH∥CF,得到 设未知数用勾股定理求解出 BH，EH的长，从而求出AH，AB的长.
12. 解:如解图,过点E作EH⊥AD,垂足为点H.
由题意可知,∠CEB=α=36.9°,∠CBE=β,EH =1.20m,
∴AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90m,
在 Rt△AEH中, 1.50m,
又∵ 0.80,
13. 解:∵AB⊥BD,
∴∠ABD=∠ABC=90°,
∵AB=8,∠ACB=73.4°,∠ADB=26.6°,
(尺), 尺),
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数，
∴ 春分和秋分时日影长度 尺).
【解析】如解图，延长D C交l于点H ，连接OC,在 Rt△OBH中, 12,∴BH=OB·tan∠BOH=12×tan 30°=4 ,OH= 即 解得 CF=6-2
15. 解:(1)由题意得.∠Q=90°,∠ABQ=60°,AB=5.4m,
∴在 Rt△ABQ 中,∠BAQ=30°,BQ=AB·cos∠ABQ=5.4×cos60°=2.7 m,AQ=AB·sin∠ABQ=5.4×
∵四边形ABCD为矩形,CE=1.6m,
∴∠ABC=90°,∠CBE=180°-∠ABC-∠ABQ=30°,在Rt△CBE 中,
同理可得,在Rt△PAD中,∠PAD=60°,
答:PQ 的长约为6.1m;
解题技巧
本题涉及多个线段长求解，通过求AQ，BC，PA的长，从而求出 PQ 的长，熟练掌握锐角三角函数的关系是关键.
(2)∵充电站有20个停车位，
∴QM=QB+20BE,
由(1)得,QB=2.7m,BE=3.2m,
∴QM=2.7+3.2×20=66.7m,
∵四边形PQMN为矩形，
∴PN=QM=66.7m,
答:PN的长为66.7 m.
16. 解:(1)如解图,设AD与圆交于点M,连接BM,
∴∠AMB=∠APB,
∵∠AMB>∠ADB,
∴∠APB>∠ADB;
(2)在Rt△AHP中,∠APH=60°,PH=6m,
∴AH=PH·tan∠APH=PH· tan 60°=6 m.
∵∠APB=30°,
∴∠BPH=∠APH-∠APB=60°-30°=30°.
在 Rt△BHP 中,BH=PH·tan∠BPH=PH· tan 30°=
答:塑像AB的高约为6.9m.
17. 解:(1)∵AD∥EF,且AM⊥MN,DN⊥MN,
∴四边形AMND 为矩形,
∴AD=MN=ME+EF+FN= 20. 0+40. 0+20. 0=80.0m;
(2)如解图,过点B作 BG⊥AM于点 G,则易得四边形GMEB 为矩形,
∴∠GBE=90°,BG=ME=20.0m,GM=BE=2.4m,
∴∠ABG=∠ABE-∠GBE=152°-90°=62°,
∴AG=BG·tan∠ABG=BG·t an 62°≈20.0×1.88=37.6m,
∴AM=AG+GM=37.6+2.4=40.0m.
18. (1)
解题思路
找关键线段并设未知数，利用勾股定理，找到线段间的等量关系求解即可.
解:如解图,过点 A'作A'B⊥OA 于点 B.
设秋千绳索的长度为x尺.
由题可知，OA=OA'=x,AB=4,A'B=10,
∴OB=OA-AB=x-4.
在 Rt△OA'B 中,由勾股定理得.
解得x=14.5.
答：秋千绳索 OA 的长度为14.5尺；
(2)能;
由题可知，
在 Rt△OA'P 中,(
同理，OQ=OA"·cosβ=OA·cosβ.
∵OQ-OP=PQ=h,
∴OA·cosβ-OA·cosα=h,
解题技巧
秋千绳索不论位置是否改变，长度是定值.
19. 解:(1)如解图①,过点 C作CE⊥AD 于点 E,则∠AEC=∠CED=90°,
由题意可知∠A=∠B=90°,AB=10cm,BC=20cm,
∴四边形ABCE 是矩形,
∴AE=BC=20cm,CE=AB=10cm,
∵AD=50cm,
∴DE=AD-AE=30cm,
在 Rt△CED 中,
答：可伸缩支撑杆 CD的长度为
(2)如解图②,过点D作 DF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F,交 AD'于点 G,
易得四边形ABFG是矩形，
∴∠AGD=90°,FG=AB=10cm,BF=AG,
∵在 Rt△AGD中,
在 Rt△ADG中，根据勾股定理得
即
解得AG=40(负值已舍去),
∴DF=DG+FG=40cm,
∵BC=20cm,
∴CF=BF-BC=20cm,
∴在 Rt△CFD 中,(
答：可伸缩支撑杆 CD长度为20 cm.
解题技巧
通过构造AD'边的垂线DG，将α落在直角三角形中求解，得到线段的数量关系.