第十七讲 平行四边形与多边形（含解析） 2025年中考数学基础知识分点练

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第十七讲 平行四边形与多边形
命题点1 平行四边形的判定(82考)
1.(2024乐山)如图，下列条件中不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是 ( )
A. AB∥DC,AD∥BC
C. AO=CO,BO=DO
2. 新考法补充过程、依据 (2024河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图， 中， AE平分 的外角 点M是AC 的中点，连接BM 并延长交AE 于点 D，连接CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：
∴ ① .
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB( ② ).
∴MD=MB.∴四边形ABCD 是平行四边形.
若以上解答过程正确，①，②应分别为 ( )
A. ∠1=∠3, AAS B. ∠1=∠3,ASA
C. ∠2=∠3,AAS D. ∠2=∠3,ASA
3. |一题多设问 (2024达州)如图,线段AC,BD 相交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点 F,连接AF,CE;(不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母)
(2)若 请判断四边形AECF的形状，并说明理由.(若前问未完成，可画草图完成此问)
新考法 代数推理(3)在(2)的条件下，若 连接BC,求证:
4. 新考法 条件开放(2024湖南省卷)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E 在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形 BCDE为平行四边形；
(2)若A )，求线段AE的长.
命题点2 平行四边形性质的相关证明与计算(118考)
5. (2024 贵州)如图, ABCD的对角线AC与BD 相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( )
A. AB=BC B. AD=BC C. OA=OB D. AC⊥BD
6. (2024河南)如图,在 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E为OC的中点,EF∥AB交BC于点F,若AB=4,则EF的长为 ( )
B. 1 D. 2
7. (2024辽宁)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 若 则四边形OCED的周长为 ( ).
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
8. (2024眉山)如图,在 中,点O是BD的中点,EF 过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的个数为 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. (2024成都)如图,在 中，按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点O；③作射线BO,交AD 于点 E,交CD延长线于点 F.若CD=3,DE=2，下列结论错误的是 ( )
A. ∠ABE=∠CBE B. BC=5
C. DE=DF
10. (2024浙江)如图,在 ABCD中, 过点A作AE⊥BC交BC于点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是 ( )
A. x+y B. x-y C. xy
11.(2024江西)将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形AB-CD,连接AC,则tan∠CAB= .
12.(2023宜昌)如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A'处，并得到折边DE，小宇测得长边 CD=8，则四边形A'EBC的周长为 .
13. (2024山西)如图,在 ABCD中,AC为对角线,AE⊥BC于点E,点F是AE延长线上一点,且∠ACF=∠CAF,线段AB,CF的延长线交于点G.若 ,则BG的长为 .
14. (2024 广安)如图,在 ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,点M为直线BC 上一动点,则MA+MD的最小值为 .
15. 新考法条件开放(2024武汉)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边 BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)
16. 一题多设问 (2024北京)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点 F,DF=FB,AF∥DC.
(1)求证：四边形AFCD 为平行四边形；
(2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求 BC的长.
新考法代数推理(3)连接AC，与BD交点为G，若AC平分∠DAB,AF=a,BF=b,CF=c,求证:(
17. (2024江西)追本溯源
题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2).
(1)如图①,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D 作BC的平行线，交AB 于点E，请判断△BDE 的形状，并说明理由；
方法应用
(2)如图②,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点 F,交BC于点 G.
①图中一定是等腰三角形的有 ( )
A. 3个 B.4个 C. 5个 D. 6个
②已知 求CF的长.
新考法 结合图形对称(3)如图③，在图②基础上，设AF与BE交于点O, 与 关于过点O的直线l对称，点G的对应点H在OE上，点B的对应点M在OA的延长线上，MH与线段AE交于点 N.若 求EN的长.
[考法源自2024浙江16题]
命题点3 多边形及其性质
类型一 多边形的性质及计算(33考)
18.(2024乐山)下列多边形中，内角和最小的是 ( )
19.(2024云南)一个七边形的内角和等于 ( )
20.(2024重庆A卷)如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为 .
类型二 正多边形的性质及计算(69考)
21. (2024山东省卷)如图,已知AB,BC,CD 是正n边形的三条边,在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若 则n的值为 ( )
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
22.(2024河北)直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF 分别相交于点M,N,如图所示,则α+β= ( )
23. (2024德阳)已知,正六边形ABCDEF的面积为 则正六边形的边长为 ( )
A. 1 C. 2 D. 4
24.(2024青海省卷)正十边形一个外角的度数是 .
25. (2024威海)如图,在正六边形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为点I.若∠EFG=20°,则∠ABI= .
26. (2024广元)如图,点 F 是正五边形ABCDE边 DE 的中点,连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC 的度数为 .
27.(2024宜宾)如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 .
类型三 平面镶嵌(12考)
28.(2022青岛)图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是 °.
第十七讲 平行四边形与多边形
1. D 【解析】A选项，两组对边分别平行的四边形为平行四边形，B选项，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，C选项，对角线互相平分的四边形为平行四边形，故选 D.
2. D 【解析】∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠3,∵ ∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,∴∠2=∠3,∵点M是AC的中点,∴MA=MC,在△MAD 和△MCB中，(4202400,∴△MAD≌△MCB(ASA),∴ MD=MB,∴四边形ABCD 是平行四边形.∴ ①,②分别为∠2=∠3,ASA.
3. (1) 解:如解图①所示,CF,AF,CE 即为所求;
(2)解：四边形AECF 是平行四边形，理由如下：
∵AB∥CD,∴∠OAB=∠OCD,
又∵AB=CD,∠AOB=∠COD,
∴△ABO≌△CDO(AAS),
∴OA=OC,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AE∥CF,∠AEO=∠CFO=90°,
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF,
∴四边形AECF 是平行四边形.
(3)
解题思路
利用勾股定理把 转化为 通过线段间的对应关系转化来证明.
证明：如解图②，由(2)知：四边形AECF 为平行四边形，
∴AO=CO,EO=OF.
由(2)知△ABO≌△CDO,
∴OB=OD,∴BE=DF,
DF)(BF+DF)=(BF-BE)·BD=2OF·2OD=4OF·OD.又∵∠COD=45°,
∴OF=CF,
4. 解:(1)①,
证明:∵∠B=∠AED,
∴DE∥CB,
∵AB∥CD,
∴四边形 BCDE 为平行四边形；
一题多解
②,证明:∵AE=BE,AE=CD,
∴BE=CD,
∵AB∥CD,
∴四边形 BCDE 为平行四边形；
(2)由(1)得四边形BCDE 为平行四边形,
∴DE=BC=10,
∵AD⊥AB,AD=8,
∴在Rt△ADE中,
5. B 【解析】平行四边形的对边AD与BC一定相等，故B选项正确；而邻边不一定相等，故A 选项错误；平行四边形的对角线长度不一定相等，故C 选项错误；平行四边形的对角线不一定垂直，故D选项错误.
6. B 【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AC=2OC,∵E为OC 的中点,∴OC=2CE,∴AC=4CE,∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴AB=4EF=4,∴EF=1.
7. C 【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ OA=OC,OB=OD,∵AC=3,BD=5,∴OD= ,OC= ,∵DE∥AC,CE∥BD,∴ 四边形 OCED 为平行四边形,∴四边形 OCED的周长为2(OD+OC)=8.
8. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故①③正确,∴ S△ABCD,∠ODE=∠OBF,∵点 O 是 BD 的中点,∴OD=OB,又∵ ∠DOE =∠BOF,∴ △ODE≌△OBF(ASA),∴ S△ODE=S△OBF,EO=FO,但 EO 不一定等于ED,故②不正确,. ,即 S四边形ABOE =S四边形CDOF,故④正确，综上所述，正确结论的个数为3个.
9. D 【解析】由作图步骤可知 BF平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,故A 正确;∵四边形ABCD 是平行四边形,CD=3,∴AB∥CD,AB=CD=3,AD∥BC,AD=BC,∴∠AEB=∠CBE,∴ ∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=3.∵DE=2,∴BC=AD=AE+DE=3+2=5,故B 正确;∵AB∥CD,∴ ∠ABE = ∠F. ∵ ∠AEB = ∠ABE =∠FED,∴∠FED=∠F,∴DE=DF,故C正确;∵AB∥ 故D错误.
10. C 【解析】如解图,过点D作DG⊥BC交BC 的延长线于点 G,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠DCG,∵AE⊥BC,∴∠AEB=∠DGC=90°,∴△ABE≌△DCG(AAS),∴CG=BE=x,AE=DG,∴BG=x+y,在Rt△ACE中,由勾股定理得 在Rt△BDG中,由勾股定理得 解得 xy=2,∴xy是定值.
11.解题思路
设出AB的长，结合七巧板拼接的过程，得到线段间的数量关系以及角与角之间的关系，证得四边形ABCD是平行四边形，将∠CAB 落在直角三角形中求解.
【解析】根据题意,易知AB=CD.设AB=2,则CD=BD=2,∵∠ABD=45°+45°=90°,∠BDC=90°,∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.如解图,设AC,BD交于点O,∴BO= BD=1,∴tan∠CAB=
12. 16 【解析】由折叠的性质可知,AD=A'D,AE=A'E,∠A'ED=∠AED,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴ ∠A'DE=∠AED,∴∠A'DE=∠A'ED,∴A'D=A'E,∴A'D=A'E=AE=AD,∴ CD-A'D=AB-AE,∴A'C=EB,∴四边形A'EBC是平行四边形,∴四边形 A'EBC 的周长为2(A'E+A'C)=2(A'D+A'C)=2CD=2×8=16.
【解析】∵AE⊥BC 于点 E,∴∠AEB=90°,∵tan∠ABC=2,∴设AE=2x,BE=x,在Rt△ABE中,AB= ，由勾股定理得 解得x=1(负值已舍去),∴AE=2,BE=1,∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=4,∴CE=BC-BE=4-1=3,设EF=y,∵∠FAC=∠FCA,∴CF=AF=AE+EF=2+y,在Rt△EFC中，由勾股定理得 解得y 如解图①,过点 G作 GH⊥CB交 CB的延长线于点H,则∠GHB=∠FEC=90°,∵∠ABE= 设 HG=2m,则 又∵ ∠HCG=∠ECF,
I 解得m=
一题多解
如解图②,过点 F 作 FM∥AB 交 BC 于点 M.∵ tan∠ABC=2,∴设AE=2x,BE=x,在 Rt△ABE 中,AB= ，由勾股定理得 解得x=1(负值已舍去),∴AE=2,BE=1,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC=AD=4,∴CE=BC-BE=4-1=3,设EF=y,∵∠FAC=∠FCA,∴CF=AF=AE+EF=2+y,在 Rt△CEF中，由勾股定理得 解得 解得 解得
14. 解题思路
作点A 关于直线BC的对称点A'，将求 MA+MD的最小值转化为求A'D的长.
【解析】如解图，作点A 关于直线BC的对称点A',连接AA',A'D,分别交直线BC于点 E,M',此时点M'即为当MA+MD最小时点M的位置，连接AM'，∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD∥BC,由作图可知AE=A'E,AM'=A'M',∠A'AD=90°,故MA+MD的最小值即为A'D的长,∵∠ABC=30°,AB=4,∴AE=2,∴AA'=4,∵AD=5,∴在Rt△AA'D中, = ，即MA+MD的最小值为
15. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D,
∵AF=CE,
∴AD-AF=BC-CE,即DF=BE,
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)解:添加AF=BE(答案不唯一).
【解法提示】如解图，连接EF.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,即AF∥BE,又∵AF=BE,∴四边形ABEF是平行四边形.
16. (1)证明:∵DF=FB,∴F是BD的中点,
∵E是AB的中点,
∴EF是△ABD的中位线,
∴EF∥AD,即CF∥AD,
∵AF∥DC,
∴四边形AFCD 为平行四边形；
(2)解:由(1)得,AD=CF=2EF=2,
∵在 Rt△EFB中,
∴BF=3,
∴在 Rt△CFB 中,由勾股定理得
(3)证明:如解图,延长AF交BC于点 H,
∵AC平分∠DAB,CE∥AD,
∴∠ACE=∠DAC=∠CAE,∴AE=CE,
∵E是AB的中点,
∴∠ACB=90°,
又∵G是AC的中点，
∴点 F为△ABC的重心,
∴H是BC的中点,
∵AF=a,BF=b,CF=c,
17. 解:(1)△BDE 是等腰三角形.
理由如下:∵ BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵BC∥ED,∴∠EDB=∠CBD,
∴∠EDB=∠ABD,∴EB=ED,
∴△BDE 是等腰三角形;
(2)①B;
【解法提示】共有4个等腰三角形.分别是：△ABE，△ABG,△AFD,△CGF.
②∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵在 ABCD中,AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴ △ABE 是等腰三角形且AB=AE.
∵AF⊥BE,
∴∠BAF=∠EAF.
∵BC∥AD,
∴∠EAG=∠AGB,
∴∠BAF=∠AGB,
∴AB=BG=3,
∵AB∥FD,
∴∠BAF=∠CFG,
∵∠AGB=∠CGF,
∴∠CGF=∠CFG,
∴CG=CF,
∵CG=BC-BG=5-3=2,
∴CF=2.
(3)如解图,连接AH,EM.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,
∴∠DAF=∠AGB,∠F=∠BAG.
由②可知,BA=BG,
∴∠BAG=∠BGA,
∴∠DAF=∠F,∴AD=DF.
∵DF-CG=5,
∴AD-CG=5,
∵AD=BC,
∴BC-CG=BG=5.
∴BA=BG=5,
∵AG⊥BE,AG=6,
∴OG=OA=3.
在Rt△BOG中，根据勾股定理得， =4.
∵∠EAO=∠BGO,OA=OG,∠AOE=∠GOB,
∴△AOE≌△GOB(ASA),
∴OE=OB=4.
由对称可知,△BOG≌△MOH,
∴OB=OM,OG=OH,
∴OM=OE,OA=OH,
∴∠OME=∠OEM,∠OAH=∠OHA.
∵∠MOE=∠AOH,
∴∠OAH=∠OME,
∴AH∥ME,
18. A 【解析】∵n边形内角和为(n-2)×180°,∴边数越少内角和越小，故选A.
19. B 【解析】一个七边形的内角和等于( =900°.
20. 9 【解析】∵ ∴这个多边形的边数是9.
21. A 【解析】∵四边形 BCMN为正方形,∴∠CBN=90°,∴∠ABC=360°-∠ABN-∠CBN=150°,∴ 正n边形的外角度数为
22. B 【解析】正六边形每个内角为 120°,而六边形 MBCDEN的内角和为 720°,∴ ∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB =
23.解题思路
将正六边形拆分成6个相同的等边三角形，设未知数利用勾股定理表示出线段长，结合三角形面积公式和正六边形面积求解即可.
C 【解析】如解图，根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为120°，故正六边形是由6个相同的等边三角形构成的，过点 O 作 OM⊥AB 于点M，设正六边形的边长为a，即OA=AB=a ，在等边△OAB中,∵OM⊥AB,∴AM=BM=a/ ,在 Rt△AMO中. 一个等边三角形的面积为 ∴正六边形的面积为
(负值已舍去).
24. 36°
25. 50° 【解析】∵六边形 ABCDEF 是正六边形,∴ ∠FAH=180°-100°=80°,∴ ∠BAI=120°-80°=40°,∵BI⊥AH,∴∠ABI=90°-40°=50°.
26. 18° 【解析】如解图,连接BD,BE,∵五边形 ABCDE是正五边形,∴ AB=BC=CD =AE,∠A =∠C,∴△ABE≌△CBD(SAS),∴BE=BD,∵F 是 DE的中点,∴BG是DE 的垂直平分线,∴∠DFG=90°,∵在正五边形 ABCDE 中, ∴ ∠FDG=180°-∠CDE=72°,∴ ∠BGC = 180°-
【解析】如解图，连接BD交AC 于点F，∵五边形 ABCDE 是正五边形,∴ ∠ABC = ∠BCD =(5-2)×180°= 108°,AB= BC= CD =4,∴ ∠BCA= 同理可得∠CBD=36°,∴∠ABF=108°-36°=72°,∵∠AFB=∠CBD+∠BCA=36°+36°=72°,∴ ∠ABF=∠AFB,∴AF=AB=4,∵∠BCF=∠ACB,∠BAC=∠CBF,∴ △BCF∽△ACB, 即 解得 或CF= (舍去),∴
28. 60 【解析】如解图,由题意可知∠ABC+∠BAE=180°,∴∠BAE=180°-∠ABC.∵题图④是由有3个大小相同的题图③镶嵌得到的，∠BAF=∠EAF=∠BAE=180°-∠ABC,∠BAF+∠EAF+∠BAE=360°,即3(180°-∠ABC)=360°,解得∠ABC=60°.