第十八讲 矩形、菱形、正方形（含解析）2025年中考数学基础知识分点练

第十八讲 矩形、菱形、正方形
命题点1 矩形的相关证明与计算(204考)重难
1.(2024泸州)已知四边形ABCD 是平行四边形，下列条件中，不能判定□ABCD为矩形的是 ( )
A. ∠A=90° B. ∠B=∠C C. AC=BD D. AC⊥BD
2. (2024成都)如图,在矩形ABCD 中,对角线AC与BD 相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( )
A. AB=AD B. AC⊥BD
C. AC=BD D. ∠ACB=∠ACD
3. (2024甘肃省卷)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4. (2024辽宁)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,当 是等边三角形时，∠AEB为 ( )
A. 30° B. 45° C. 60°
5. (2024包头)如图,在矩形ABCD中,E,F是边BC上两点,且 EF=FC,连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若AB=4,BC=6,则sin∠GBF 的值为 ( )
6.(2024雅安)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD 折叠，使点C落在点E处,BE与AD交于点 F,若 则 的值是 .
7.(2024威海)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C 落在AB上的点 处，折痕为MN，点D 落在点 处， 交AD于点E.若| ，则
8. (2024德阳)如图,四边形ABCD 是矩形, 是正三角形，点F 是GD的中点，点P 是矩形ABCD 内一点，且 是以BC为底的等腰三角形，则 的面积与 的面积的比值是 .
9. (2024陕西)如图,四边形ABCD 是矩形,点E 和点 F 在边 BC上,且 求证：
10. (2024新疆)如图, 的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB,OC的中点.
(1)求证：四边形 DEFG是平行四边形；
(2)当 时，求证： 是矩形.
11. 新考法条件开放(2024贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, 有下列条件： CD,
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD 是矩形；
(2)在(1)的条件下,若 求四边形ABCD的面积.
12. (2024上海)如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且
(1)求证:
(2)F为线段AE 延长线上一点，且满足 求证：(
新考法 开放性设问(3)在(2)的条件下，记AE 和BD的交点为H，对于结论：I 你认为哪个正确，请说明理由.
13.(2024遂宁)康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理.
(1)实践与操作
如图①，任意作两条相交的直线，交点记为O：
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD;
③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.
于是可以直接判定四边形ABCD 是平行四边形，则该判定定理是: ;
(2)猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD 是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证.请你完成证明过程.
已知：如图②，四边形ABCD 是平行四边形，
求证：四边形ABCD 是矩形.
14. 新考法 利用三角板拼图(2024上海)同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形.(直角三角板互不重叠)
(1)求①两个直角三角形的直角边；(结果用h 表示，h为斜边上的高)
②平行四边形的底、高和面积；(结果用h表示，h为斜边上的高)
(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边.
命题点2 菱形的相关证明与计算(163考)重难
15.(2024自贡)如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交 两边于点M，N，再分别以M，N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B,连接MB,NB.若 则 ( )
A. 40° C. 60°
16. (2024通辽)如图, 的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明 是菱形的是 ( )
17. (2024山西)在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD、DA的中点,EG,FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等,则线段EG与FH一定满足的关系为 ( )
A.互相垂直平分 B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等 D.互相垂直平分且相等
18. (2024绥化)如图,四边形ABCD 是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点 E，则AE的长是 ( )
A. B. 6 D. 12
19. (2024上海)四边形ABCD为矩形,过A,C作对角线 BD的垂线,过B，D作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为 ( )
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
20. (2024长沙)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=30°,点E 是BC边上的动点,连接AE,DE,过点A作AF⊥DE于点 F.设DE=x,AF=y,则y与x之间的函数解析式为(不考虑自变量x的取值范围) ( )
21. (2024包头)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线,E是AC上一点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若 则DE的长为 .
22.(2024广西)如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 则重合部分构成的四边形ABCD 的周长为 cm.
23. (2024广东省卷)如图,菱形ABCD的面积为24,点 E是AB 的中点，点F是 BC上的动点.若 的面积为4，则图中阴影部分的面积为 .
24. (2024福建)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC 和CD上，且
求证：
25. 新考法补充过程、依据(2024重庆B卷)在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
(1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，用尺规过点O作AC的垂线,分别交AB,CD于点 E,F,连接AF,CE.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)已知:矩形ABCD,点E,F分别在AB,CD上,EF 经过对角线AC的中点O,且. 求证：四边形AECF 是菱形.
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴ ① ,∠OCF=∠OAE.
∵点O是AC的中点，
∴ ② .
∴ ③ .
又∵
∴四边形AECF 是平行四边形.
∴四边形AECF 是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢 请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ④ .
26. 一题多设问 (2024 德阳)如图,在菱形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD 相交于点E，连接CE并延长交AB于点 G.
(1)证明:
(2)证明:
新考法 新定义(3)定义：如果将一个三角形绕某一定点逆时针旋转 后能和图中的另一个三角形重合，则称这两个三角形为“同心三角形”.比如： 绕点E 逆时针旋转 后能和 重合，所以 和 是“同心三角形”.图中是否存在与 为“同心三角形”的三角形 若存在，请直接写一个即可；若不存在，请说明理由.
命题点3 正方形的相关证明与计算(125考)重难
27.(2024广东省卷)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是 ( )
A. 2 B. 5 C. 10 D. 20
28.(2024连云港)如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是 ( )
A. 440cm B. 320cm C. 280cm D. 160 cm
29. (2023河北)如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM 为边作正方形AMEF.若 则
C. 12 D. 16
30. (2024广西)如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ 的面积为 ( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 10
31. (2024陕西)如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点 H.若AB=6,CE=2,则DH的长为 ( )
A. 2 B. 3 C.
32. (2024烟台)如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别为对角线 BD,AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG.若∠AGF=α,则∠FAG 用含α的代数式表示为 ( )
33. (2024重庆B卷)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为 ( )
A. 2 C.
34. 新考法 条件开放(2024龙东地区)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使得菱形ABCD为正方形.
35. (2024吉林省卷)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,点 E 是 OA 的中点,点 F 是OD 上一点.连接EF.若 则 的值为 .
36. (2024福建)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 .
37. (2024 新疆)如图,在正方形ABCD中,若面积 周长 则
38. (2024兰州)如图,四边形ABCD为正方形, 为等边三角形， 于点 F，若 则
39.(2024河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A 的坐标为( 点E 在边 CD上,将 沿BE 折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为 .
40. (2024天津)如图,正方形ABCD的边长为 ,对角线AC,BD相交于点O，点E在CA的延长线上， 连接DE.
(Ⅰ)线段AE 的长为 ;
(Ⅱ)若F为DE 的中点,则线段AF的长为 .
41. (2023杭州)如图,在边长为1的正方形ABCD中,点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点 F.
(1)若 求 DF的长;
(2)求证:
(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点 G.若 ED,求ED的长.
第十八讲 矩形、菱形、正方形
1. D 【解析】A.∠A=90°,能判定 ABCD为矩形,故A选项不符合题意;B.∠B=∠C,能判定□ABCD 为矩形,故B选项不符合题意;C. AC=BD,能判定 ABCD为矩形，故 C 选项不符合题意；D. AC⊥BD，能判定 ABCD为菱形,不能判定 ABCD为矩形,故D 选项符合题意.
2. C 【解析】∵ 四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD,AD=BC,故A 错误;∵四边形 ABCD 是矩形,∴AC 与 BD一般不互相垂直，故B错误；∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC=BD,故 C 正确;∵四边形ABCD 是矩形,∴CA一般不平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD不一定成立,故D错误.
3. C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD,∠DAB=90°,∵∠ABD=60°,∴∠ADB=90°-∠ABD=30°,∵AB=2,∴在Rt△ABD中,BD=2AB=4,∴AC=BD=4.
4. C 【解析】∵△EBC是等边三角形,∴∠EBC=60°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC=60°.
5. A 【解析】∵矩形ABCD,BE=EF=FC,AB=4,BC=6,∴AD=BC=6,AD∥BC,BE=EF=FC=2,∴ △AGD∽ 如解图，过点G 作 GH⊥BC 于点 H,则 GH∥AB,∴ △GHF∽ AB= 1,∴ BH=BF-FH =3,∴ BG= GH +BH =
6. 【解析】由题意可得,∠CBD=∠EBD,∵AD∥BC,∴∠CBD=∠FDB,∴∠EBD=∠FDB,∴ BF=FD,设BF=FD=x,则AF=8-x,在Rt△ABF 中,由勾股定理得 即 解得
7. 解题思路
在Rt△C'BM中，先根据勾股定理求出C'M的值，结合折叠的性质以及矩形的性质，证明△BC'M≌△AEC'，得到BC'=AE,MC'=C'E,即可得到 DE,D'E的值,然后在 Rt△D'EN中,利用 设未知数，列式求解即可.
【解析】在 Rt△C'BM 中, 由折叠可得 C'M=CM=5,又∵四边形ABCD是矩形,∴ ∠B=90°,∴∠BC'M+∠AC'E=∠AEC'+∠AC'E=90°,∴∠BC'M=∠AEC',又∵AC'=BM=3,∴ △BC'M≌△AEC' =7,BC=AD=BM+CM=3+5=8,∴DE=AD-AE=8-4 设 ,则EN=4-a,在 Rt△D'EN 中, 即 解得
8. 2 【解析】如解图,取 BC,AD 中点 M,N,连接MN,GN,连接PD,FC, 过点 F作FR⊥CD交CD的延长线于点 R,延长 RF,交 GN于点 Q.设 BC=a,CD=b,∵△PBC是以BC为底的等腰三角形,∴P在MN上,∴P到CD的距离即为 在△GQF 和 △DRF 中, △GQF≌△DRF(AAS),∴QF=RF= a= a,∴ =2.
解题技巧
经过分析△PCD和△FCD 同底不等高,将求△PCD的面积与△FCD的面积的比值转化为求点 P到CD的距离与点 F到CD的距离的比值.
9. 证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∵BE=CF,
即
在△ABF和 中，
∴△ABF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE.
10. 证明:(1)∵△ABC的中线BD,CE交于点O,
∴点E,D分别为线段AB,AC的中点,
∴DE 为△ABC的中位线,
∵点F,G分别是OB,OC的中点,
∴FG为△OBC的中位线,
∴DE=FG,DE∥FG,
∴ 四边形 DEFG是平行四边形；
(2)∵四边形DEFG是平行四边形，
∵G是CO中点,
∴GO=CG,
同理
∵BD=CE,
∴EO=DO,
∴EG=DF,
又∵四边形DEFG是平行四边形，
∴ DEFG是矩形.
11. (1)选择①AB∥CD:
证明:∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD 是矩形；
或选择②AD=BC:
证明:∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形；
解题技巧
选择①AB∥CD，运用平行四边形的概念判断四边形ABCD 是平行四边形，选择( 运用平行四边形的判定判断四边形ABCD 是平行四边形.
(2)解:在(1)的条件下,
∵AB=3,AC=5,
∴在 中，由勾股定理得
12. (1)
解题思路
利用矩形的性质，结合角的互余的知识得到∠ABD=∠DAE,从而确定△ADE∽△BAD,利用相似三角形的性质得到
证明:在矩形ABCD中,∠BAD=90°,∠ADE=90°,AB=DC,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
∵AE⊥BD,
∴∠DAE+∠ADB=90°,
∴∠ABD=∠DAE,
∵∠BAD=∠ADE=90°,
∴△ADE∽△BAD,
即
∵AB=DC,
(2)证明:如解图①,连接AC交 BD于点O,在矩形ABCD中,∠ADE=90°,即∠DAE+∠AED=90°,
∵AE⊥BD,
∴∠DAE+∠ADB=90°,
∴∠ADB=∠AED,
∵∠FEC=∠AED,
∴∠ADO=∠FEC,
在矩形ABCD中,
∴OA=OD=EF=CF,
∴∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE,
∵∠ADO=∠FEC,
∴∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE,在△ODA 和△FEC中
∴△ODA≌△FEC(AAS),
∴CE=AD.
解题技巧
利用矩形的性质，构造辅助点O，结合题干中 得到 ，利用全等三角形的性质得到
(3)解: 理由如下：
如解图②，延长HB 至点 G，使得 ,连接CH,
CG,过点C作CM⊥BD 于点M,
由(2)知:CE=AD=BC,
又∵∠EHB=∠ECB=90°,
∴在四边形EHBC中,∠CEH=180°-∠HBC,
∵∠CBG=180°-∠HBC,
∴∠CEH=∠CBG,
又∵EH=BG,
∴△CEH≌△CBG(SAS),
∴CH=CG,∠HCG=∠ECB=90°,
∴∠CHM=45°,
又∵CM⊥BD,
∴EH+HB=HG=2CM,
又∵在矩形ABCD中,
∴CM=AH,
∴BH+HE=HG=2CM=2AH,即 HB+HE=2AH.
13.(1)解：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
【解法提示】由作图可得:OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD 是平行四边形，该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵AC=BD,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
14. 解:(1)①如解图①,△ABC 为等腰直角三角板,∠ACB=90°,则
如解图②,△DEF为含30°角的直角三角板,∠DEF=90°,∠F=30°,∠D=60°,
则EF
综上，等腰直角三角板直角边为 h,含30°角的直角三角板直角边为2h和
②
解题思路
由题意可知中间的四边形是矩形，利用线段的和差表示出矩形的长和宽，利用面积公式，进而求解出面积.
如解图③,由题意可知∠MNG=∠NGH=∠GHM=
∴四边形MNGH是矩形，
由图可得，
∴小平行四边形的底为( 高为 面积为
∴大平行四边形面积为 易知，大平行四边形的底为 ∴大平行四边形的高为
(2)如解图④，即为所作图形.
15. A 【解析】由作图痕迹可知AM=AN=BM=BN,∴四边形AMBN是菱形,∵∠A=40°,∴∠MBN=∠A=40°.
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16. D 【解析】∵∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴ ABCD 是菱形,∴A 选项不符合题意；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴ ABCD是菱形,∴B 选项不符合题意；· 即AC⊥BD,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴ ABCD是菱形，∴C 选项不符合题意； ∴∠OAD=90°,无法得到 ABCD 是菱形,∴D 选项符合题意.
17. A 【解析】∵在四边形ABCD中,点 E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,如解图,连接EF,FG,GH,EH,BD,AC,. 四边形ABCD的对角线相等，即∴AC=BD,∴EF=FG=GH=EH,∴四边形 EFGH为菱形，∴EG与FH互相垂直平分.
18. 解题思路
通过已知条件可求出两条对角线的长，再通过等积法求得AE的长.
A 【解析】∵四边形ABCD 是菱形,CD=5,BD=8,∴DO= BD=4,AC⊥BD,BC=CD=5,在 Rt△CDO 中, 菱形ABCD的·面积为
19. A 【解析】如解图，设四边形ABCD的对角线交于点 .过A，C作对角线BD的垂线，垂足分别为点 E，H，过B，D作对角线AC的垂线,垂足分别为点 F,G,∴CH∥AE,BF∥DG, AE= OA·DG,∴CH=BF=AE=DG,∴四个垂线拼成的四边形是菱形.
20. C 【解析】如解图,过点D作BC的垂线,交BC的延长线于点 G,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD=AD=6,∴∠ABC=∠DCG=30°,在Rt△CDG中,DG= CD=3.∵AD∥BG,∴△ADF∽ 即
21. 2 【解析】如解图,过点 D 作 DH⊥AC 于点 H,∵菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,∴AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠ABC=60°,∴△ABC,△ACD都是等边三角形，∴ 3,∵EF⊥AB,∴∠AEF=30°,∴AE=2AF,又∵CE=AF,∴AE=2CE,∴ CE=2,∴ HE=CH-CE=1,在Rt△CDH中,
22. 8 【解析】如解图,过点A 作AE⊥BC于点 E,AF⊥CD 于点 F,∴∠AEB=∠AFD=90°,∵两张纸条宽度均为3cm,∴四边形ABCD 为平行四边形,且AE=AF=3cm,∴∠ADF=∠ABE=60°,∴△ADF≌△ABE(AAS),∴ AD=AB,∴ 四边形 ABCD 为菱形,在Rt△ADF中,∠ADF=60°,AF=3cm,∴ ，四边形ABCD的周长为：2
23. 10 【解析】如解图,延长 DE,CB 交于点 G,∵四边形ABCD 为菱形,∴AD∥BG,∴∠GBE=∠DAE,∵E是AB 中点,∴ BE =AE,∵ ∠GEB = ∠DEA,∴△AED≌△BEG(ASA),∴S△AED=S△BEC,GE=DE,∴E为DG中点，
24. 证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴BE=DF.
25. 解:(1)作图如解图;
(2)①∠CFO=∠AEO;
②OA=OC;
③OF=OE;
④过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形.
26. (1)证明:∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形，
∵点 F 为 BC的中点,
∴AF⊥BC,
∴∠BFE=∠BOC=90°,
∵∠EBF=∠CBO,
∴△BEF∽△BCO;
(2)证明:∵ △ABC 是等边三角形,AF⊥BC,AC⊥BD,
∴AF,BO的交点 E 为△ABC的中心,
∴CG⊥AB,
∴∠AGE=∠BGE=90°,
∵△ABC是等边三角形，
∴AG=BG,
在△BEG和△AEG中,
∴△BEG≌△AEG(SAS).
(3)解:存在,△BOA.(答案不唯一)
【解法提示】当将△AFC 绕定点 E 旋转时，由(1)知△ABC是等边三边形,E是△ABC的中心,∴△ABC的中心角∠AEB=∠BEC=∠CEA=120°,在△AFC 和△BOA中,点A 绕点 E逆时针旋转120°后与点 B 重合，点F绕点E逆时针旋转120°后与点O 重合，点C绕点 E 逆时针旋转120°后与点A 重合,∴△AFC绕点E逆时针旋转120°后能和△BOA 重合，∴根据定义，△AFC 存在“同心三角形”，“同心三角形”为△BOA.
27. B
28. A 【解析】由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80 cm的正方形的两条边长再减去2×20 cm，∴题图中阴影图形的周长是:4×80+2×80-2×20=440 cm.
解题技巧
利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长，加上边长是80cm的正方形的两条边长，再减去2×20cm，即可得出结果.
29. B 【解析】∵ S正方形AMEF = 16,∴ AM=4,∵ M 是Rt△ABC斜边 BC的中点,∴AM 是 Rt△ABC 斜边上的中线,∴BC=2AM=8,∵AB=4,∴在 Rt△ABC中,由勾股定理得，
30. C 【解析】∵点E,F,G,H分别为正方形ABCD各边的中点,∴DG=CF,AD=CD,∠ADG=∠DCF=90°,∴△ADG≌△DCF,∴ ∠DAG=∠CDF,∵ ∠CDF+∠ADQ=90°,∴ ∠DAG+∠ADQ = 90°,∴ ∠AQD =90°,∴AG⊥DF,同理可得 CE⊥DF,CE⊥BH,BH⊥AG,∴ DF∥BH,CE∥AG,∴HM,EN,PF,QG分别为△ADQ,△BAM,△CNB,△DPC 的中位线,∴M,N,P,Q分别为AQ,BM,CN,DP 的中点,∴MN=PN=PQ=QM,∴四边形 MNPQ 为正方形,∵ AD=2DG,tan∠DAG=tan∠CDF,∴DQ=2QG=QP=QM,设 QG=x,则AM=QM=2x,∴AG=5x,在Rt△ADG中, 解得 负值已(舍),
一题多解
∵正方形的边长为5,F,G为BC,CD的中点,∴CD= 由勾股定理得， 易证：△DQG∽△DCF,∴ DQ:QG=DC:CF=2:1,∴ DQ=2QG，由勾股定理得， 即 解得 ∵E,F,G,H分别为各边中点.易得四边形 PNMQ 为正方形，
一题多解
如解图,过点C作CO⊥AG,交AG延长线于点O,∵点E,F,G,H分别为正方形ABCD 各边的中点,∴DG=CG=CF,AD=CD,∠ADG=∠DCF=90°,∴△ADG≌ ∠DAG+∠ADQ=90°,∴∠AQD=90°,∴AG⊥DF,∴∠D Q≌△CGO,易得由图可知，正方形ABCD由4个全等于△DCP的三角形和一个小正方形 PQMN 组成,∴ S正方形ABCD = 5S正方形PQMN,∴
31. B 【解析】∵ 四边形ABCD 是正方形,∴AD=DC=AB=6,AD∥BE.∵四边形 CEFG 是正方形,∴ FG=CG=CE=2,GF∥CE,∴DG=DC-CG=4,AD∥GF,∴ ∴
32.解题思路
利用对角线上三等分点以及正方形的性质，证明△DEG∽△BEA,得出OG∥AD,通过证明△EDG≌△FCG，得到EG=FG，进而可以得到角与角之间的数量关系，即可求解出∠FAG.
B 【解析】如解图,设AC,BD交于点O,连接OG,∵点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点,∴ DE= BE,CF= AF,∵AC=BD,∴DE=CF,∵AB∥DG,∴∠ABE=∠GDE,∵ ∠AEB =∠GED,∴ △DEG∽ 点G为CD的中点,∴DG=CG,OG为△ACD的中位线,∴OG∥AD,又∵∠ACG=∠BDC,∴△EDG≌△FCG,∴EG=FG,易得OG平分∠AGF,∴∠DAG=∠AGO= ,∴∠FAG =∠CAD-∠DAG=45°-a/2
33. D 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°,AB=AD=CD=BC=4,又∵BE=DF=1,∴△ABE≌△ADF(SAS),∴AE=AF,∵AM平分∠EAF,∴∠EAM=∠FAM,又∵AM=AM,∴△AEM≌△AFM(SAS),∴EM=FM,设DM=x,则EM=FM=DM+DF=x+1,(CM=CD-DM=4-x,在Rt△CEM中,由勾股定理得, 解得
34. AC=BD(答案不唯一).
35. 【解析】∵正方形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,∴∠OAD=45°,AD=BC,∵点 E 是 OA的中点,∴OEA= ,∵∠FEO=45°,∴EF∥AD,∴△OEF 貝
36. 2 【解析】∵正方形ABCD 的面积为4,∴ 其边长为2,即AB=BC=2,∵点E,F分别为边AB,BC的中点, 同理
37. 40 【解析】设正方形 BEOF,正方形 HOGD 的边长分别为a，b，根据题意，得 12=40.
38. 2 【解析】∵ 四边形ABCD 为正方形,△ADE 为等边三角形,∴∠EAF=∠BAD-∠EAD=90°-60°=30°,AE=AD,∵EF⊥AB,∴∠AFE=90°,∴EF= AE=2.
39. 解题思路
(3,10) 【解析】由折叠的性质可知,BC=BF,∵点A的坐标(-2,0),点F的坐标为(0,6),∴OA=2,OF=6，如解图，设CD与y轴交于点 P，正方形的边长为a,则OB=a-2,OP=BF=a,在Rt△BOF中, 即 解得a=10,∴OP=10,OB=8,∴ PF=OP-OF=4,∵∠EFP+∠FEP=90°,∠EFP+∠BFO=90°,∴ ∠FEP=∠BFO,∴ ∠EFP= 即 解得 .点 E 的坐标为(3,10).
40. (I)2 【解析】∵四边形ABCD 是正方形,∴ .在 Rt△AOD中, 3 ,∴OA=OD=3,∵OE=5,∴AE=OE-OA=5-3=2.
【解析】如解图,延长DA 到点 G,使AG=AD,连接EG,由 E点向AG作垂线,垂足为H,∵ F为DE的中点,A为GD的中点,∴AF为△DGE的中位线,AF= 在Rt△EAH中,∠EAH=∠DAC=45°,∴AH=EH, ,在 Rt△EHG 中, (负值已舍去)，.
解题技巧
由题干中F是DE的中点，构造中位线是解题的关键.
41. (1)解:∵
∵四边形ABCD为正方形，∴
(2)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AD∥BC,
又∵
(3)解:设 则
在 中，由勾股定理得，
解得
解题技巧
在第(2)问，证明线段的乘积为一个定值时，尝试证明两个三角形相似，找线段间的等量关系，列出关系式转化即可.