题型五 新函数图象与性质探究题（含解析）2025年中考数学重难题型分类练

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题型五 新函数图象与性质探究题
类型一 新函数性质探究
1.(2024吉林省卷)小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示，输入x的值为-2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6.
(1)直接写出k,a,b的值;
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图②.
Ⅰ.当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
Ⅱ.若关于x的方程 (t为实数),在( 时无解，求t的取值范围；
Ⅲ.若在函数图象上有点P，Q(P与Q 不重合). P的横坐标为m，Q的横坐标为 .小明对P，Q之间(含P，Q两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围.
2. (2023阜新)某中学数学兴趣小组的同学们,对函数y=a|x-b|+c(a，b，c是常数，a≠0)的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整.
(1)当a=1,b=c=0时,即y=|x|.当x≥0时,函数化简为y=x;当x<0时,函数化简为y= ;
(2)当a=2,b=1,c=0时,即y=2|x-1|.
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
x ... -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 m 2 0 2 4 6
其中
②在图①所示的平面直角坐标系内画出函数y=2|x-1|的图象；
(3)当a=-2,b=1,c=2时,即y=-2|x-1|+2.
①当x≥1时,函数化简为y= ,
②在图②所示的平面直角坐标系内画出函数y=-2|x-1|+2的图象；
(4)请写出函数y=a|x-b|+c(a,b,c是常数,a≠0)的一条性质： .(若所列性质多于一条，则仅以第一条为准)
类型二 与几何图形结合的函数性质探究
3. (2024重庆A卷)如图,在 中， 点P为AB上一点， 过点 P 作 交AC于点 Q.点P,Q 的距离为 的周长与 的周长之比为y .
(1)请直接写出， 分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y ，y 的图象，并分别写 出函数y ，y 的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出 时x的取值范围.(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2)
4.(2023连云港)【问题情境 建构函数】
(1)如图①,在矩形ABCD中, M是CD的中点， 垂足为 E.设 试用含x的代数式表示y.
【由数想形 新知初探】
(2)在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图②所示.若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性 若有，请说明理由，并在图②上补全函数图象.
【数形结合 深度探究】
(3)在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是 ③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A，B，C，D，使得四边形ABCD是平行四边形.其中正确的是 ；(写出所有正确结论的序号)
【抽象回归 拓展总结】
(4)若将(1)中的“AB=4”改成 ，此时y关于x的函数表达式是 ；一般地，当 x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质(直接写出3条即可).
类型三 与实际问题结合的函数性质探究
5.(2024北京)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如下.
当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h (单位：cm)和2号杯的水面高度 (单位：cm)，部分数据如下：
V/mL 0 40 100 200 300 400 500
h / cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
h / cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格(结果保留小数点后一位)；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与V，h 与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 cm(结果保留小数点后一位)；
②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 cm(结果保留小数点后一位).
6.(2023郴州)在实验课上，小明做了一个试验.如图①，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘B 与点C的距离 ，记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B 与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y /g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y /g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系 中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图②所示的y 关 于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出 关于x的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y 与x之间的函数关系，并求y 关于x的函数表达式；
②求 关于x的函数表达式；
③当 时，y 随x的增大而 (填“增大”或“减 小”),y 随x的增大而 (填“增大”或“减小”),y 的图象 可以由y 的图象向 (填“上”或“下”或“左”或“右”)平移 得到；
若在容器中加入的水的质量 满足 求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
题型五 新函数图象与性质探究题
1. 解:(1)k的值为1,a的值为1,b的值为-2;
【解法提示】∵x=-2<0,∴将x=-2,y=1代入y= kx+3,得-2k+3=1,解得k=1,∵x=2>0,x=3>0,∴将x=2,y=3 和 x = 3,y = 6 代入 得 解得
(2)Ⅰ.∵k=1,a=1,b=-2,
∴一次函数解析式为y=x+3，二次函数解析式为y=
当：x>0时 的对称轴为直线x=1，图象开口向上，∴x≥1时，y随x的增大而增大；
当x≤0时,y=x+3,k=1>0,
∴x≤0时，y随x的增大而增大，
综上所述，x的取值范围为x≤0或x≥1；
在0∴问题转化为抛物线 与直线y=t在0∵对于 ,当x=1时,y=2,
∴顶点为(1,2),如解图①,
∴当t=2时，抛物线 与直线y=t在0∴当t<2时，抛物线 与直线y=t在0当.
∴当t=11时,抛物线 与直线y=t在0∴当t≥11时,抛物线 与直线y=t在0综上所述，当t<2或t≥11时，抛物线 与直线y=t在0即当t<2或t≥11时，关于x的方程 为实数),在0Ⅲ.-1≤m≤0或1≤m≤2.
【解法提示】∵
∴点 P，Q关于直线 对称，∵图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，∴当x=1时， ,当x=0时,y最大值=3,当x=2时,y=3,当x=-1时,y=2,∴①当 时，如解图②，由题意得 ②当 时，如解图③，由题意得 综上所述,m的取值范围是-1≤m≤0或1≤m≤2.
2. 解:(1)-x;
【解法提示】y=|x|,当x<0时,函数化简为y=-x.
(2)①4;
【解法提示】当x=-1时,y=2|x-1|=2|-1-1|=4.
②画出函数y=2lx-1|的图象如解图①所示；
(3)①-2x+4;
【解法提示】当x≥1时,函数化简为y=-2(x-1)+2=-2x+4.
②画出函数y=-2|x-1|+2的图象如解图②所示;
(4)当a>0时,函数y=a|x-b|+c的图象有最低点(b,c).(答案不唯一)
3. 解:
(2)画出函数图象如解图；
根据函数图象，函数的性质为：
①当0≤x≤6时,y 随x的增大而增大;
当0②函数y 在自变量的取值范围内，有最大值和最小值.当x=0时，函数取得最小值0；当x=6时，函数取得最大值8；函数y 在自变量的取值范围内，有最小值.当x=6时，函数取得最小值1；(分别写出一条即可)
(3)由函数图象得,当2.1y .
解题技巧
当两个函数比较大小时，先求出交点，再根据图象可知谁大谁就在图象上方，即可求出函数在比大小时的取值范围.
4. 解:(1)在矩形ABCD中,∠ABC=∠C=90°,
∴∠ABE+∠MBC=90°,
∵AE⊥BM,
∴∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠AEB=∠C,∠BAE=∠MBC,
∴△ABE∽△BMC,
∵AB=4,M是CD的中点,
在Rt△BMC中,
∴y关于x的函数表达式为
(2)x取任意实数时，对应的函数图象关于原点成中心对称，理由如下：
若P(a，b)为图象上任意一点，则
设P(a,b)关于原点的对称点为Q,则Q(-a,-b),
当x=-a时,
∴Q(-a,-b)也在函数 的图象上，
∴当x取任意实数时，函数 的图象关于原点成中心对称，补全函数图象如解图所示；
(3)①④;
【解法提示】根据函数图象可得，函数值y随x的增大而增大,故①正确;∵在 Rt△AEB 中,AB 为斜边,AE为直角边，∴函数值|y|当k≠0，x取任意实数时，有如下相关性质：当k>0时，图象经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大,y的取值范围为-2k5. 解:(1)1.0;
【解法提示】由题意得，设V与h 的函数关系式为 V= ,由表格数据得100=2.5k,解得k=40,∴V=40h ,∴当lV=40时,
(2)画出函数图象如解图①；
(3)①1.2;②8.8.(答案合理即可)
【解法提示】①当V=320mL时, 由解图②可知高度差CD≈1.2cm;②当 时， ，由解图②可知，此时h 约为8.9cm，∴当两个水杯的水面高度相同时，高度约为8.8cm.(答案合理即可)
6.解：(1)作图如解图所示；
(2)
解题思路
熟练掌握反比例函数的图象特征，可看出y 与x成反比例关系，通过观察y 与y 图象的点的横纵坐标变化，可得出结论.
①y 与x成反比例函数关系，函数表达式为 (0③减小，减小，下；
(3)当y =19时,x=12.5,当 时,x=6,∴6≤x≤12.5.