广东省湛江市雷州市第八中学2024-2025学年七年级下学期开学数学试题
1．（2025七下·雷州开学考）有理数的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2．（2025七下·雷州开学考）如果和是同类项，那么m，n的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（2025七下·雷州开学考）下面表述的数据，是准确数的是（ ）
A．一张纸的厚度为 B．小明身高米
C．实验室里有18盏日光灯 D．全国约有300个城市缺水
4．（2025七下·雷州开学考）下面计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·雷州开学考）2024年10月30日神舟十九号飞船发射圆满成功，顺利与距地面最大高度为的中国空间站对接，将数据450000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七下·雷州开学考）如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七下·雷州开学考）如果 ，下列成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·雷州开学考）如图，点O在直线上，，若，平分，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025七下·雷州开学考）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025七下·雷州开学考）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；翻转2次后，点所对应的数为2；翻转3次后，点所对应的数为3；翻转4次后，点所对应的数为4，．．．，则连续翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
11．（2025七下·雷州开学考）计算：
12．（2025七下·雷州开学考）修高速公路时，经常化弯道为直道，其蕴含的数学知识为 ．
13．（2025七下·雷州开学考）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则 ．
14．（2025七下·雷州开学考）已知关于的方程的解是正整数，则正整数 ．
15．（2025七下·雷州开学考）如图是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的图形，其中第1个图形中共有6个小圆圈，第2个图形中共有9个小圆圈，第3个图形中共有12个小圆圈，按照这样的规律，第n个图形中共有 个小圆圈．
16．（2025七下·雷州开学考）计算：．
17．（2025七下·雷州开学考）解方程：．
18．（2025七下·雷州开学考）先化简，再求值：，其中．
19．（2025七下·雷州开学考）若与互为相反数．
（1）求，的值；
（2）规定一种新运算：，如，求的值．
20．（2025七下·雷州开学考）如图，已知线段，点C与点D在线段上，若点D为线段的中点，，，求线段的长度．
21．（2025七下·雷州开学考）已知：；；；…
（1）探索：第n个式子 ；
（2）按上述规律计算：
（3）探究并计算：
22．（2025七下·雷州开学考）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50％；乙种商品每件进价50元，售价80元
（1）甲种商品每件进价为________元，每件乙种商品利润率为________；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按售价打九折
超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
23．（2025七下·雷州开学考）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使，现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2．
（1）______；
（2）如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数；
（3）将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由．
（4）将直角三角板绕点O转动，始终在的外部，且，请直接写出的度数．
24．（2025七下·雷州开学考）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______；
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q同时出发．
①用含t的代数式表示：点P对应的数是______，点Q对应的数是______；
②如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P，B，Q为一组“平衡点”．求出点P运动多少秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”？
（3）若点P出发2秒后点Q再从点B出发，并以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动至点处加速，以每秒5个单位长度的速度继续向左运动．直接写出当t等于何值时，P，Q之间的距离为6．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2024；
故答案为：B．
【分析】
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数即可求得答案．
2．【答案】C
【知识点】同类项的概念；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵和是同类项，
∴，，
解得，，
故答案为：C．
【分析】根据同类项的定义：单项式中所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”；从而可以列式建立一元一次方程，，，解方程即可得答案．
3．【答案】C
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：A、一张纸的厚度为，是近似数，故A不符合题意；
B、小明身高米，是近似数，故B不符合题意；
C、实验室里有18盏日光灯，18是准确数，故C符合题意；
D、全国约有300个城市缺水，30是近似数，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据近似数和精确数的概念：准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数；即可进行判断即可．
4．【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据有理数的减法可知-2-3=-5，判断A计算错误；由有理数的除法可知B计算正确；由有理数的乘法运算可知C计算错误；由有理数的乘方运算可知判断D计算错误；由此可以选出正确答案.
5．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据450000用科学记数法表示为；
故答案为：D．
【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：面动成体，梯形绕底边旋转一周可得圆柱与圆锥的组合体，
∴所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．
故答案为：C．
【分析】根据面动成体结合梯形绕底边旋转一周可得圆柱与圆锥的组合体，即可得答案．
7．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】如果|a|= a，即一个数的绝对值等于它的相反数，则a 0.
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的性质来判断.正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数.
8．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义：所分得的两个角相等；可求出和，再结合角的和差求解即可．
9．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得，，
∴，，
∴原式
；
故答案为：．
【分析】由数轴可得，即得，，再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴得到的符号，化简绝对值即可求解．
10．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】当正方形转翻转四次后，、、、分别对应点1、2、3、4，
当正方形再翻转四次后，、、、分别对应点5、6、7、8，
，
∴四次一循环，
∵，
∴数轴上数所对应的点B．
故答案为：B．
【分析】由题意可知，翻转四次后，、、、分别对应点1、2、3、4可知其四次一循环，由此即可确定数轴上数所对应的点．
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可.
12．【答案】两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：修高速公路时，经常化弯道为直道，其蕴含的数学知识为：两点之间，线段最短；
故答案为：两点之间，线段最短．
【分析】根据题意，化弯道为直道即为了缩短距离，两点之间的所有连线中，可以有无数连法，如折线、曲线、线段等，这些所有线中，线段最短；即利用两点之间，线段最短即可得出结论．
13．【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】首先让学生通过常识得到两块三角板的直角度数，再观察图示，发现几个角之间的关系．即的度数正好是两直角相加减去的度数，从而可解得答案．
14．【答案】6
【知识点】解一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ax+10=7x-3，
∴x=，
∵x是正整数，
∴13是7-a的倍数，
∴7-a=1或7-a=13，
∴a=6或a=-6，
∵a是正整数，
∴a=6；
故答案为：6.
【分析】首先根据解方程化为x=m的形式，得到方程的解为x=，根据x是正整数，利用数的整除结论判定13是7-a的倍数，从而确定7-a=1或7-a=13，求得a的值，根据正整数a的属性确定取舍即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】用字母表示数；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察图形得：
第1个图形有个圆圈，
第2个图形有个圆圈，
第3个图形有个圆圈，
…
第n个图形有个圆圈；
故答案为：．
【分析】首先观察图形的变化，写出第1个图形含有的圆圈数，再写出第2个图形含有的圆圈数，写出第3个图形含有的圆圈数，最后总结归纳第n个图形中的小圆圈数量即可.
16．【答案】解：
．
【知识点】有理数的除法法则；有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】
先计算乘方得到4，化简绝对值得到6，再进行除法计算得到-3，最后进行乘法、加减计算，即可求得答案．
17．【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母（两边同时乘以最小公倍数4），去括号（括号前是正号，括号里每一项都不变号；括号前是负号，括号里每一项都变为它相反的符号），移项（要变号），合并同类项（字母及字母的指数不变，系数相加减），系数化为1；进行计算即可解答．
18．【答案】解：，
，
．
当时，原式．
【知识点】去括号法则及应用；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
先根据去括号法则：括号前是正号，括号里每一项都不变号；括号前是负号，括号里每一项都变为它相反的符号；合并同类项法则：字母及字母的指数不变，系数相加减；进行化简然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可
19．【答案】（1）解：∵与互为相反数，∴，
∴，，
∴，；
（2）解：由（）得：，，∴
．
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性；相反数的意义与性质
【解析】【分析】
（）根据相反数和为0的知识建立等式，再利用绝对值的非负性得到关于a、b的方程，解方程即可得出，的值；
（）根据先把，的值代入，新定义运算列式即可求解；
（1）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：由（）得：，，
∴
．
20．【答案】解：，，
，
，
点D为线段AB的中点，
，
．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】根据已知，即可求出，进而得出的长，再根据点D为线段的中点，由中点定义可得出的长，最后由线段的和差得，计算即可得出答案．
21．【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）解：原式
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（1）∵；
；
；
…；
∴；
故答案为：.
【分析】
（）运用变化规律：连续的两个整数相乘的倒数，可以写成这两个数的倒数相减，裂项计算即可求解；
（）利用规律把（）中的分数拆成两个分数的差，把互为相反数的互相抵消，得出答案即可；
（）利用规律把（）中的分数拆成两个分数的差结果扩大了2倍，因此要在两个分数的差前面分别乘以，再利用乘法分配律的逆运算，最后把互为相反数的互相抵消，得出答案即可；
（1）解：∵；
；
；
…；
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：原式
．
22．【答案】（1）40；60％；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，
根据题意得，40x+50（50-x）=2100，
解得：x=40．
答：购进甲商品40件，乙商品10件.
（3）解：设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得0.9y=504，
解得：y=560，
560÷80=7（件），
②打折前购物金额超过600元，
600×0.82+（y-600）×0.3=504，
解得：y=640，
640÷80=8（件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】（1）解：设甲的进价为x元/件，
根据题意可得：（60-x）=50%x，
解得：x=40．
故甲的进价为40元/件；
乙商品的利润率为（80-50）÷50=60%．
故答案为：40；60%.
【分析】（1）设甲的进价为x元/件，根据“ 甲种商品每件售价60元，利润率为50％ ”列出方程求出x的值可得甲的进价；再利用“利润率=利润÷进价”求出乙的利润率即可；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据“ 甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元 ”列出方程40x+50（50-x）=2100，再求解即可；
（3）设小华打折前应付款为y元，再分类讨论：①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，再分别列出方程求出y的值，从而可得答案.
（1）解：设甲的进价为x元/件，
则（60-x）=50%x，
解得：x=40．
故甲的进价为40元/件；
乙商品的利润率为（80-50）÷50=60%．
故答案为：40；60%；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，
由题意得，40x+50（50-x）=2100，
解得：x=40．
即购进甲商品40件，乙商品10件；
（3）解：设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得0.9y=504，
解得：y=560，
560÷80=7（件），
②打折前购物金额超过600元，
600×0.82+（y-600）×0.3=504，
解得：y=640，
640÷80=8（件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
23．【答案】（1）
（2）解：∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴.
（3）解：当在内部，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在外部，如图2，，
∴，
∴．
故的度数为：或．
（4）或
【知识点】角的运算；图形的旋转；旋转的性质；角平分线的概念；分类讨论
24．【答案】（1），
（2）解：①，；
②分三种情况：
a、如图，当点B为的中点时，则点P对应的，Q对应的数为
∴
∵，
解得，；
b、当为和中点时，如图，则点P对应的，Q对应的数为，
则，
∴，
解得： ；
c、当点Q为的中点时，如图，
∴，
∴
此时t不存在，
综上，t的值为或.
（3）1或6或48或60
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（1）解：∵点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．
∴设点对应的数为，
则有：，
解得：；
设的贵点对应的数为，
根据题意可得：，
故答案为：；1；
（2）解：①点P对应的，Q对应的数为，
故答案为：，；
（3）解：
，
；
∴当时，点表示的数为；
当时，从处以每秒5个单位的速度向左运动，则表示的数为；
①当时，且点在点右侧时，
，
解得，；
点在点左侧时，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∵，
∴，
整理得，，
或，
解得：或，
综上，t的值为1或6或48或60．
【分析】（1）设点对应的数为，根据“ A，B两点间的距离为10 ”列出方程求出a的值，再求出b的值即可；
（2）①利用两点之间的距离公式求出点P对应的，Q对应的数为即可；
②分类讨论： a、如图，当点B为的中点时，则点P对应的，Q对应的数为 ； b、当为和中点时，如图，则点P对应的，Q对应的数为； c、当点Q为的中点时， 再分别画出图形并列出方程求解即可；
（3）分类讨论： ①当时， ②当时，再分别列出方程求解即可.
（1）解：∵点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．
∴设点对应的数为，则有：
，
解得，；
设的贵点对应的数为，则：
，
故答案为：；1；
（2）解：①点P对应的，Q对应的数为，
故答案为：，；
②分三种情况：
a、如图，当点B为的中点时，则点P对应的，Q对应的数为
∴
∵，
解得，；
b、当为和中点时，如图，则点P对应的，Q对应的数为，
则，
∴，
解得： ；
c、当点Q为的中点时，如图，
∴，
∴
此时t不存在，
综上，t的值为或；
（3）解：
，
；
∴当时，点表示的数为；
当时，从处以每秒5个单位的速度向左运动，则表示的数为；
①当时，且点在点右侧时，
，
解得，；
点在点左侧时，
∵，
∴，
解得，；
②当时，∵，
∴，
整理得，，
或，
解得，或，
综上，t的值为1或6或48或60．
1 / 1广东省湛江市雷州市第八中学2024-2025学年七年级下学期开学数学试题
1．（2025七下·雷州开学考）有理数的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2024；
故答案为：B．
【分析】
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数即可求得答案．
2．（2025七下·雷州开学考）如果和是同类项，那么m，n的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】同类项的概念；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵和是同类项，
∴，，
解得，，
故答案为：C．
【分析】根据同类项的定义：单项式中所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”；从而可以列式建立一元一次方程，，，解方程即可得答案．
3．（2025七下·雷州开学考）下面表述的数据，是准确数的是（ ）
A．一张纸的厚度为 B．小明身高米
C．实验室里有18盏日光灯 D．全国约有300个城市缺水
【答案】C
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：A、一张纸的厚度为，是近似数，故A不符合题意；
B、小明身高米，是近似数，故B不符合题意；
C、实验室里有18盏日光灯，18是准确数，故C符合题意；
D、全国约有300个城市缺水，30是近似数，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据近似数和精确数的概念：准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数；即可进行判断即可．
4．（2025七下·雷州开学考）下面计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据有理数的减法可知-2-3=-5，判断A计算错误；由有理数的除法可知B计算正确；由有理数的乘法运算可知C计算错误；由有理数的乘方运算可知判断D计算错误；由此可以选出正确答案.
5．（2025七下·雷州开学考）2024年10月30日神舟十九号飞船发射圆满成功，顺利与距地面最大高度为的中国空间站对接，将数据450000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据450000用科学记数法表示为；
故答案为：D．
【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
6．（2025七下·雷州开学考）如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：面动成体，梯形绕底边旋转一周可得圆柱与圆锥的组合体，
∴所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．
故答案为：C．
【分析】根据面动成体结合梯形绕底边旋转一周可得圆柱与圆锥的组合体，即可得答案．
7．（2025七下·雷州开学考）如果 ，下列成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】如果|a|= a，即一个数的绝对值等于它的相反数，则a 0.
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的性质来判断.正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数.
8．（2025七下·雷州开学考）如图，点O在直线上，，若，平分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义：所分得的两个角相等；可求出和，再结合角的和差求解即可．
9．（2025七下·雷州开学考）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得，，
∴，，
∴原式
；
故答案为：．
【分析】由数轴可得，即得，，再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴得到的符号，化简绝对值即可求解．
10．（2025七下·雷州开学考）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；翻转2次后，点所对应的数为2；翻转3次后，点所对应的数为3；翻转4次后，点所对应的数为4，．．．，则连续翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】当正方形转翻转四次后，、、、分别对应点1、2、3、4，
当正方形再翻转四次后，、、、分别对应点5、6、7、8，
，
∴四次一循环，
∵，
∴数轴上数所对应的点B．
故答案为：B．
【分析】由题意可知，翻转四次后，、、、分别对应点1、2、3、4可知其四次一循环，由此即可确定数轴上数所对应的点．
11．（2025七下·雷州开学考）计算：
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可.
12．（2025七下·雷州开学考）修高速公路时，经常化弯道为直道，其蕴含的数学知识为 ．
【答案】两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：修高速公路时，经常化弯道为直道，其蕴含的数学知识为：两点之间，线段最短；
故答案为：两点之间，线段最短．
【分析】根据题意，化弯道为直道即为了缩短距离，两点之间的所有连线中，可以有无数连法，如折线、曲线、线段等，这些所有线中，线段最短；即利用两点之间，线段最短即可得出结论．
13．（2025七下·雷州开学考）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则 ．
【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】首先让学生通过常识得到两块三角板的直角度数，再观察图示，发现几个角之间的关系．即的度数正好是两直角相加减去的度数，从而可解得答案．
14．（2025七下·雷州开学考）已知关于的方程的解是正整数，则正整数 ．
【答案】6
【知识点】解一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ax+10=7x-3，
∴x=，
∵x是正整数，
∴13是7-a的倍数，
∴7-a=1或7-a=13，
∴a=6或a=-6，
∵a是正整数，
∴a=6；
故答案为：6.
【分析】首先根据解方程化为x=m的形式，得到方程的解为x=，根据x是正整数，利用数的整除结论判定13是7-a的倍数，从而确定7-a=1或7-a=13，求得a的值，根据正整数a的属性确定取舍即可得到答案.
15．（2025七下·雷州开学考）如图是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的图形，其中第1个图形中共有6个小圆圈，第2个图形中共有9个小圆圈，第3个图形中共有12个小圆圈，按照这样的规律，第n个图形中共有 个小圆圈．
【答案】
【知识点】用字母表示数；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察图形得：
第1个图形有个圆圈，
第2个图形有个圆圈，
第3个图形有个圆圈，
…
第n个图形有个圆圈；
故答案为：．
【分析】首先观察图形的变化，写出第1个图形含有的圆圈数，再写出第2个图形含有的圆圈数，写出第3个图形含有的圆圈数，最后总结归纳第n个图形中的小圆圈数量即可.
16．（2025七下·雷州开学考）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】有理数的除法法则；有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】
先计算乘方得到4，化简绝对值得到6，再进行除法计算得到-3，最后进行乘法、加减计算，即可求得答案．
17．（2025七下·雷州开学考）解方程：．
【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母（两边同时乘以最小公倍数4），去括号（括号前是正号，括号里每一项都不变号；括号前是负号，括号里每一项都变为它相反的符号），移项（要变号），合并同类项（字母及字母的指数不变，系数相加减），系数化为1；进行计算即可解答．
18．（2025七下·雷州开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
．
当时，原式．
【知识点】去括号法则及应用；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
先根据去括号法则：括号前是正号，括号里每一项都不变号；括号前是负号，括号里每一项都变为它相反的符号；合并同类项法则：字母及字母的指数不变，系数相加减；进行化简然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可
19．（2025七下·雷州开学考）若与互为相反数．
（1）求，的值；
（2）规定一种新运算：，如，求的值．
【答案】（1）解：∵与互为相反数，∴，
∴，，
∴，；
（2）解：由（）得：，，∴
．
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性；相反数的意义与性质
【解析】【分析】
（）根据相反数和为0的知识建立等式，再利用绝对值的非负性得到关于a、b的方程，解方程即可得出，的值；
（）根据先把，的值代入，新定义运算列式即可求解；
（1）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：由（）得：，，
∴
．
20．（2025七下·雷州开学考）如图，已知线段，点C与点D在线段上，若点D为线段的中点，，，求线段的长度．
【答案】解：，，
，
，
点D为线段AB的中点，
，
．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】根据已知，即可求出，进而得出的长，再根据点D为线段的中点，由中点定义可得出的长，最后由线段的和差得，计算即可得出答案．
21．（2025七下·雷州开学考）已知：；；；…
（1）探索：第n个式子 ；
（2）按上述规律计算：
（3）探究并计算：
【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）解：原式
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（1）∵；
；
；
…；
∴；
故答案为：.
【分析】
（）运用变化规律：连续的两个整数相乘的倒数，可以写成这两个数的倒数相减，裂项计算即可求解；
（）利用规律把（）中的分数拆成两个分数的差，把互为相反数的互相抵消，得出答案即可；
（）利用规律把（）中的分数拆成两个分数的差结果扩大了2倍，因此要在两个分数的差前面分别乘以，再利用乘法分配律的逆运算，最后把互为相反数的互相抵消，得出答案即可；
（1）解：∵；
；
；
…；
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：原式
．
22．（2025七下·雷州开学考）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50％；乙种商品每件进价50元，售价80元
（1）甲种商品每件进价为________元，每件乙种商品利润率为________；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按售价打九折
超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
【答案】（1）40；60％；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，
根据题意得，40x+50（50-x）=2100，
解得：x=40．
答：购进甲商品40件，乙商品10件.
（3）解：设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得0.9y=504，
解得：y=560，
560÷80=7（件），
②打折前购物金额超过600元，
600×0.82+（y-600）×0.3=504，
解得：y=640，
640÷80=8（件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】（1）解：设甲的进价为x元/件，
根据题意可得：（60-x）=50%x，
解得：x=40．
故甲的进价为40元/件；
乙商品的利润率为（80-50）÷50=60%．
故答案为：40；60%.
【分析】（1）设甲的进价为x元/件，根据“ 甲种商品每件售价60元，利润率为50％ ”列出方程求出x的值可得甲的进价；再利用“利润率=利润÷进价”求出乙的利润率即可；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据“ 甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元 ”列出方程40x+50（50-x）=2100，再求解即可；
（3）设小华打折前应付款为y元，再分类讨论：①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，再分别列出方程求出y的值，从而可得答案.
（1）解：设甲的进价为x元/件，
则（60-x）=50%x，
解得：x=40．
故甲的进价为40元/件；
乙商品的利润率为（80-50）÷50=60%．
故答案为：40；60%；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，
由题意得，40x+50（50-x）=2100，
解得：x=40．
即购进甲商品40件，乙商品10件；
（3）解：设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得0.9y=504，
解得：y=560，
560÷80=7（件），
②打折前购物金额超过600元，
600×0.82+（y-600）×0.3=504，
解得：y=640，
640÷80=8（件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
23．（2025七下·雷州开学考）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使，现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2．
（1）______；
（2）如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数；
（3）将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由．
（4）将直角三角板绕点O转动，始终在的外部，且，请直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）解：∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴.
（3）解：当在内部，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在外部，如图2，，
∴，
∴．
故的度数为：或．
（4）或
【知识点】角的运算；图形的旋转；旋转的性质；角平分线的概念；分类讨论
24．（2025七下·雷州开学考）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______；
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q同时出发．
①用含t的代数式表示：点P对应的数是______，点Q对应的数是______；
②如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P，B，Q为一组“平衡点”．求出点P运动多少秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”？
（3）若点P出发2秒后点Q再从点B出发，并以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动至点处加速，以每秒5个单位长度的速度继续向左运动．直接写出当t等于何值时，P，Q之间的距离为6．
【答案】（1），
（2）解：①，；
②分三种情况：
a、如图，当点B为的中点时，则点P对应的，Q对应的数为
∴
∵，
解得，；
b、当为和中点时，如图，则点P对应的，Q对应的数为，
则，
∴，
解得： ；
c、当点Q为的中点时，如图，
∴，
∴
此时t不存在，
综上，t的值为或.
（3）1或6或48或60
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（1）解：∵点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．
∴设点对应的数为，
则有：，
解得：；
设的贵点对应的数为，
根据题意可得：，
故答案为：；1；
（2）解：①点P对应的，Q对应的数为，
故答案为：，；
（3）解：
，
；
∴当时，点表示的数为；
当时，从处以每秒5个单位的速度向左运动，则表示的数为；
①当时，且点在点右侧时，
，
解得，；
点在点左侧时，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∵，
∴，
整理得，，
或，
解得：或，
综上，t的值为1或6或48或60．
【分析】（1）设点对应的数为，根据“ A，B两点间的距离为10 ”列出方程求出a的值，再求出b的值即可；
（2）①利用两点之间的距离公式求出点P对应的，Q对应的数为即可；
②分类讨论： a、如图，当点B为的中点时，则点P对应的，Q对应的数为 ； b、当为和中点时，如图，则点P对应的，Q对应的数为； c、当点Q为的中点时， 再分别画出图形并列出方程求解即可；
（3）分类讨论： ①当时， ②当时，再分别列出方程求解即可.
（1）解：∵点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．
∴设点对应的数为，则有：
，
解得，；
设的贵点对应的数为，则：
，
故答案为：；1；
（2）解：①点P对应的，Q对应的数为，
故答案为：，；
②分三种情况：
a、如图，当点B为的中点时，则点P对应的，Q对应的数为
∴
∵，
解得，；
b、当为和中点时，如图，则点P对应的，Q对应的数为，
则，
∴，
解得： ；
c、当点Q为的中点时，如图，
∴，
∴
此时t不存在，
综上，t的值为或；
（3）解：
，
；
∴当时，点表示的数为；
当时，从处以每秒5个单位的速度向左运动，则表示的数为；
①当时，且点在点右侧时，
，
解得，；
点在点左侧时，
∵，
∴，
解得，；
②当时，∵，
∴，
整理得，，
或，
解得，或，
综上，t的值为1或6或48或60．
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