广东省深圳市2025年31校联考数学二模试卷
1．（2025·深圳模拟）随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·深圳模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳模拟）截至2025年3月27日，电影《哪吒2》全球票房为153.78亿，用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·深圳模拟）近些年来随着人们健康意识的增强，马拉松逐渐成为大家喜爱的运动．下表是某地举办的一次马拉松比赛中，共100名队员跑完全程的用时统计表．则这100名队员跑完全程所用时间的中位数应落在（ ）
时间 3小时内 3-3.5小时 3.5-4小时 4-4.5小时 4.5-5小时 5小时以上
人数 5 12 28 25 17 13
A．3-3.5小时 B．3.5-4小时 C．4-4.5小时 D．4.5-5小时
5．（2025·深圳模拟）在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动．书法社和绘画社开始招募新成员．起初，书法社的报名数比绘画社报名数的还多人；后来，绘画社有人改报了书法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的倍．设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·深圳模拟）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ）
A．40cm B． C． D．
7．（2025·深圳模拟）下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·深圳模拟）如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
9．（2025·深圳模拟）若，则 ．
10．（2025·深圳模拟）随着人工智能大模型的发展，某大模型训练需要用到，，，四类数据，其中类数据有20亿文本，类数据有30亿文本，类数据有50亿文本，类数据有40亿文本，现随机从这四类数据中抽一条文本，则抽中类数据的概率为 ．
11．（2025·深圳模拟）某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度（单位：勒克斯）与房间面积（单位：平方米）满足关系式．若要求房间的光照强度不低于200勒克斯，则房间的最大面积为 平方米．
12．（2025·深圳模拟）如图，身高1.6米的小亮站在点测得旗杆的仰角为，小亮向旗杆走了6米到达点，测得旗杆的仰角为，则旗杆的高度为 米．（，，）
13．（2025·深圳模拟）如图，在直角三角形纸片中，，，．是中点，将纸片沿翻折，直角顶点的对应点为，交于，则 ．
14．（2025·深圳模拟）计算：．
15．（2025·深圳模拟）在化简的过程中，小深、小圳同学分别给出了如下的部分运算过程：
小深：原式
……
小圳：原式
……
（1）小深解法的依据是 ，小圳解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）试选一种解法，写出完整的解答过程．
16．（2025·深圳模拟）2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，深圳某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了100名学生进行体重指数（）调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准，分类如下：
范围 分类
体重过轻
体重正常
超重
肥胖
调查结果如表所示：
分类 人数
体重过轻 10
体重正常 50
超重 30
肥胖 10
（1）小明身高为，指数为20，则小明的体重为 ；
（2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分．
（3）根据以上图表，请你给出一条合理的建议．
（4）学校计划从体重正常的2个男生和2个女生中，抽取2名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率．
17．（2025·深圳模拟）背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：
①球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；
②篮筐的高度为3.05米；
③小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．
（1）求小李投篮时，篮球出手时的高度；
（2）在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．
18．（2025·深圳模拟）如图，内接于⊙，是⊙的直径，点，在直径上，，．
（1）求证：；
（2）的延长线交于点，若，，求的半径．
19．（2025·深圳模拟）【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
（1）任务1：
①同理可得，的取值范围是 ▲ ，的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
（2）任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
（3）任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．
20．（2025·深圳模拟）在平行四边形中，点，分别在边，上．
（1）【尝试初探】
如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
（2）【深入探究】
如图2，，，，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，与交于点，，，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，不能合并，错误，不符合题意.
故答案为：C
【分析】同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
153.78亿用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法的形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数.
4．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由题意可得：
前三组总人数为5+12+28=45
∴第50，51个数都在4-4.5小时内
∴中位数落在4-4.5小时
故答案为：C
【分析】根据中位数的定义即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，根据题意建立方程组即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
A：点P是三角形的两条高的交点
B：点P是两个角平分线的交点
C：点P是两条边的垂直平分线的交点
D：点P是两条中线的交点
∵点到三角形三个顶点的距离
∴点P是边的垂直平分线的交点
故答案为：C
【分析】根据垂直平分线的性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作AC的垂线，在垂线上取一点E，使得CE=AC=2，连接DE，取CE的中点O，连接OA，OD
∴，∠ACE=90°
∴∠ACB+∠BCE=90°
∵∠BCD=90°
∴∠DCE+∠BCE=90°
∴∠DCE=∠ACB
∵△BCD面积始终为2，∠BCD=90°
∴，即
∵CE=AC=2
∴
∴，即
∵∠DCE=∠ACB
∴△AEC∽△ABC
∴∠EDC=∠BAC=90°
∵CE=2
∴点D在以点O为圆心，CE长为半径的圆上
∴
∵
∴AD的最大值为
故答案为：D
【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上取一点E，使得CE=AC=2，连接DE，取CE的中点O，连接OA，OD，根据勾股定理可得OA，再根据角之间的关系可得∠DCE=∠ACB，再根据三角形面积可得，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△AEC∽△ABC，则∠EDC=∠BAC=90°，可得点D在以点O为圆心，CE长为半径的圆上，根据垂径定理可得，根据边之间的关系可得，则AD的最大值为，即可求出答案.
9．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：4
【分析】根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
抽中类数据的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】20
【知识点】反比例函数的实际应用；列不等式
12．【答案】5.6
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设AE的延长线交CD于点H
∵AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，AB=EF
∴四边形ABFE，四边形ABDH都为矩形
∴DH=AB=1.6，AE=BF=6
在Rt△CEH中
∵∠ECH=90°-∠CEH=27°
∴
在Rt△ACH中
∵AH-EH=AE
∴
解得：CH=4
∴CD=CH+DH=5.6
∴旗杆的高度为5.6米
故答案为：5.6
【分析】设AE的延长线交CD于点H，根据矩形判定定理可得四边形ABFE，四边形ABDH都为矩形，则DH=AB=1.6，AE=BF=6，解直角三角形可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得CH，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AA'交BD于点F，连接A'C
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，D是AC中点
∴
∴
由翻折得A'D=AD=CD，，点A'与点A关于直线BD对称
∴∠DCA'=∠DA'C，BD垂直平分AA'
∵∠ADA'=∠DCA'+∠DA'C=2∠DCA'，∠AFB=∠A'FB=90°
∴
∴∠DCA'=∠ADB
∴CA'∥DB
∴∠AA'C=∠A'FB=90°
∵∠A'AC=∠ABD=90°-∠BAA'
∴
∴，
∵CA'∥BF
∴△CEA'∽△BEF
∴
∴
故答案为：
【分析】设AA'交BD于点F，连接A'C，根据线段中点可得，再根据勾股定理可得BD，BC，由翻折得A'D=AD=CD，，点A'与点A关于直线BD对称，再根据角之间的关系可得∠DCA'=∠ADB，根据直线平行判定定理可得CA'∥DB，则∠AA'C=∠A'FB=90°，解直角三角形可得CA'，BF，再根据相似三角形判定定理可得△CEA'∽△BEF，则，代值计算即可求出答案.
14．【答案】解：原式，
.
【知识点】零指数幂；最简二次根式；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质，0指数幂，二次根式化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）②；③
（2）解：小深：原式；
或者小圳：原式．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质与乘法分配律即可求出答案.
（2）将分式除法转换为乘法，去中括号，结合平方差公式进行化简即可求出答案.
16．【答案】（1）51.2
（2）解：超重人数有30人
占比为：1-50%-10%-10%=30%
补全图形如下：
（3）建议中学生加强体育锻炼，控制体重（合理即可给分）
（4）
男1 男2 女1 女2
男1 —— （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） —— （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） —— （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） ——
共有12种等可能情况，其中恰好为一男一女的有8种；
所以，（抽取出来的学生恰好是一男一女）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
小明的体重为(1.6)2×20=51.2kg
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据表格可知超重人数，求出其占比，补全图形即可.
（3）建议中学生加强体育锻炼，控制体重.
（4）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好为一男一女的的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：以点为原点建立平面直角坐标系，设，
将点代入，
解得
∴
当时，得
∴米
（2）解：令x=1，得y=2.7，2.7-1.9=0.8（米）
小姜最大摸高为1.9+0.6=2.5(米)
2.7>2.5
∴小姜不能完成本次防守
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据待定系数法将点代入解析式可得，再将x=0代入解析式即可求出答案.
（2）令x=1，求出y值，再求出小姜最大摸高，再比较大小即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，连，．
∵，
又∵，
∴，
∴，为中点，
又∵为直径，
∴，
∴，
，
∴，
由（1）知，
∴，得，
∴，
∴半径为
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，再根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，，再根据三角形内角和定理可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）过点作于点，连，，根据角之间的关系可得，再根据圆周角定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
19．【答案】（1）①，；
②证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵
∴
∴
（2）解：设，，
∵，，
∴，，
作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF
则△DEF内部即为所求范围
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；几何概率
【解析】【解答】（1）①∵x+y+z=1
∴y+z=1-x
∵y+z>x
∴1-x>x，解得：
∴
∵x+y+z=1
∴x+z=1-y
∵x+z>y
∴1-y>y，解得：
∴
故答案为：，
（3）∵△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是
故答案为：
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据等边三角形性质及三角形面积即可求出答案.
（2）设，，，由（1）①可得，，，作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，则△DEF内部即为所求范围.
（3）根据几何概率即可求出答案.
20．【答案】（1）解：∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∵为中点
∴，
∴
∴
∴
∴
（2）解：过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得
∴，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴易得
∴
（3）解：延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，
不妨设，则，由，得
由
∴，
∴，
易得
∴，
∴
∴，
∴，相似比为
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据线段中点可得，再根据正切定义可得，则，化简即可求出答案.
（2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得，根据全等三角形判定定理可得，根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形内角和定理可得，则为等腰直角三角形，再根据相似三角形判定定理可得易得，则，即可求出答案.
（3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，设，则，由，得，根据正切定义可得，，根据勾股定理可得DE，再根据相似三角形判定定理可得，则，，根据正切定义可得ON，根据边之间的关系可得OE，OD，再根据相似三角形判定定理可得，相似比为，则，即，根据相似三角形性质即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市2025年31校联考数学二模试卷
1．（2025·深圳模拟）随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．（2025·深圳模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，不能合并，错误，不符合题意.
故答案为：C
【分析】同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·深圳模拟）截至2025年3月27日，电影《哪吒2》全球票房为153.78亿，用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
153.78亿用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法的形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数.
4．（2025·深圳模拟）近些年来随着人们健康意识的增强，马拉松逐渐成为大家喜爱的运动．下表是某地举办的一次马拉松比赛中，共100名队员跑完全程的用时统计表．则这100名队员跑完全程所用时间的中位数应落在（ ）
时间 3小时内 3-3.5小时 3.5-4小时 4-4.5小时 4.5-5小时 5小时以上
人数 5 12 28 25 17 13
A．3-3.5小时 B．3.5-4小时 C．4-4.5小时 D．4.5-5小时
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由题意可得：
前三组总人数为5+12+28=45
∴第50，51个数都在4-4.5小时内
∴中位数落在4-4.5小时
故答案为：C
【分析】根据中位数的定义即可求出答案.
5．（2025·深圳模拟）在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动．书法社和绘画社开始招募新成员．起初，书法社的报名数比绘画社报名数的还多人；后来，绘画社有人改报了书法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的倍．设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，根据题意建立方程组即可求出答案.
6．（2025·深圳模拟）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ）
A．40cm B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形
7．（2025·深圳模拟）下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
A：点P是三角形的两条高的交点
B：点P是两个角平分线的交点
C：点P是两条边的垂直平分线的交点
D：点P是两条中线的交点
∵点到三角形三个顶点的距离
∴点P是边的垂直平分线的交点
故答案为：C
【分析】根据垂直平分线的性质即可求出答案.
8．（2025·深圳模拟）如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作AC的垂线，在垂线上取一点E，使得CE=AC=2，连接DE，取CE的中点O，连接OA，OD
∴，∠ACE=90°
∴∠ACB+∠BCE=90°
∵∠BCD=90°
∴∠DCE+∠BCE=90°
∴∠DCE=∠ACB
∵△BCD面积始终为2，∠BCD=90°
∴，即
∵CE=AC=2
∴
∴，即
∵∠DCE=∠ACB
∴△AEC∽△ABC
∴∠EDC=∠BAC=90°
∵CE=2
∴点D在以点O为圆心，CE长为半径的圆上
∴
∵
∴AD的最大值为
故答案为：D
【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上取一点E，使得CE=AC=2，连接DE，取CE的中点O，连接OA，OD，根据勾股定理可得OA，再根据角之间的关系可得∠DCE=∠ACB，再根据三角形面积可得，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△AEC∽△ABC，则∠EDC=∠BAC=90°，可得点D在以点O为圆心，CE长为半径的圆上，根据垂径定理可得，根据边之间的关系可得，则AD的最大值为，即可求出答案.
9．（2025·深圳模拟）若，则 ．
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：4
【分析】根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
10．（2025·深圳模拟）随着人工智能大模型的发展，某大模型训练需要用到，，，四类数据，其中类数据有20亿文本，类数据有30亿文本，类数据有50亿文本，类数据有40亿文本，现随机从这四类数据中抽一条文本，则抽中类数据的概率为 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
抽中类数据的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．（2025·深圳模拟）某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度（单位：勒克斯）与房间面积（单位：平方米）满足关系式．若要求房间的光照强度不低于200勒克斯，则房间的最大面积为 平方米．
【答案】20
【知识点】反比例函数的实际应用；列不等式
12．（2025·深圳模拟）如图，身高1.6米的小亮站在点测得旗杆的仰角为，小亮向旗杆走了6米到达点，测得旗杆的仰角为，则旗杆的高度为 米．（，，）
【答案】5.6
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设AE的延长线交CD于点H
∵AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，AB=EF
∴四边形ABFE，四边形ABDH都为矩形
∴DH=AB=1.6，AE=BF=6
在Rt△CEH中
∵∠ECH=90°-∠CEH=27°
∴
在Rt△ACH中
∵AH-EH=AE
∴
解得：CH=4
∴CD=CH+DH=5.6
∴旗杆的高度为5.6米
故答案为：5.6
【分析】设AE的延长线交CD于点H，根据矩形判定定理可得四边形ABFE，四边形ABDH都为矩形，则DH=AB=1.6，AE=BF=6，解直角三角形可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得CH，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2025·深圳模拟）如图，在直角三角形纸片中，，，．是中点，将纸片沿翻折，直角顶点的对应点为，交于，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AA'交BD于点F，连接A'C
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，D是AC中点
∴
∴
由翻折得A'D=AD=CD，，点A'与点A关于直线BD对称
∴∠DCA'=∠DA'C，BD垂直平分AA'
∵∠ADA'=∠DCA'+∠DA'C=2∠DCA'，∠AFB=∠A'FB=90°
∴
∴∠DCA'=∠ADB
∴CA'∥DB
∴∠AA'C=∠A'FB=90°
∵∠A'AC=∠ABD=90°-∠BAA'
∴
∴，
∵CA'∥BF
∴△CEA'∽△BEF
∴
∴
故答案为：
【分析】设AA'交BD于点F，连接A'C，根据线段中点可得，再根据勾股定理可得BD，BC，由翻折得A'D=AD=CD，，点A'与点A关于直线BD对称，再根据角之间的关系可得∠DCA'=∠ADB，根据直线平行判定定理可得CA'∥DB，则∠AA'C=∠A'FB=90°，解直角三角形可得CA'，BF，再根据相似三角形判定定理可得△CEA'∽△BEF，则，代值计算即可求出答案.
14．（2025·深圳模拟）计算：．
【答案】解：原式，
.
【知识点】零指数幂；最简二次根式；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质，0指数幂，二次根式化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2025·深圳模拟）在化简的过程中，小深、小圳同学分别给出了如下的部分运算过程：
小深：原式
……
小圳：原式
……
（1）小深解法的依据是 ，小圳解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）试选一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②；③
（2）解：小深：原式；
或者小圳：原式．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质与乘法分配律即可求出答案.
（2）将分式除法转换为乘法，去中括号，结合平方差公式进行化简即可求出答案.
16．（2025·深圳模拟）2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，深圳某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了100名学生进行体重指数（）调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准，分类如下：
范围 分类
体重过轻
体重正常
超重
肥胖
调查结果如表所示：
分类 人数
体重过轻 10
体重正常 50
超重 30
肥胖 10
（1）小明身高为，指数为20，则小明的体重为 ；
（2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分．
（3）根据以上图表，请你给出一条合理的建议．
（4）学校计划从体重正常的2个男生和2个女生中，抽取2名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）51.2
（2）解：超重人数有30人
占比为：1-50%-10%-10%=30%
补全图形如下：
（3）建议中学生加强体育锻炼，控制体重（合理即可给分）
（4）
男1 男2 女1 女2
男1 —— （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） —— （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） —— （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） ——
共有12种等可能情况，其中恰好为一男一女的有8种；
所以，（抽取出来的学生恰好是一男一女）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
小明的体重为(1.6)2×20=51.2kg
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据表格可知超重人数，求出其占比，补全图形即可.
（3）建议中学生加强体育锻炼，控制体重.
（4）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好为一男一女的的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．（2025·深圳模拟）背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：
①球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；
②篮筐的高度为3.05米；
③小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．
（1）求小李投篮时，篮球出手时的高度；
（2）在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．
【答案】（1）解：以点为原点建立平面直角坐标系，设，
将点代入，
解得
∴
当时，得
∴米
（2）解：令x=1，得y=2.7，2.7-1.9=0.8（米）
小姜最大摸高为1.9+0.6=2.5(米)
2.7>2.5
∴小姜不能完成本次防守
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据待定系数法将点代入解析式可得，再将x=0代入解析式即可求出答案.
（2）令x=1，求出y值，再求出小姜最大摸高，再比较大小即可求出答案.
18．（2025·深圳模拟）如图，内接于⊙，是⊙的直径，点，在直径上，，．
（1）求证：；
（2）的延长线交于点，若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，连，．
∵，
又∵，
∴，
∴，为中点，
又∵为直径，
∴，
∴，
，
∴，
由（1）知，
∴，得，
∴，
∴半径为
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，再根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，，再根据三角形内角和定理可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）过点作于点，连，，根据角之间的关系可得，再根据圆周角定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
19．（2025·深圳模拟）【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
（1）任务1：
①同理可得，的取值范围是 ▲ ，的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
（2）任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
（3）任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．
【答案】（1）①，；
②证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵
∴
∴
（2）解：设，，
∵，，
∴，，
作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF
则△DEF内部即为所求范围
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；几何概率
【解析】【解答】（1）①∵x+y+z=1
∴y+z=1-x
∵y+z>x
∴1-x>x，解得：
∴
∵x+y+z=1
∴x+z=1-y
∵x+z>y
∴1-y>y，解得：
∴
故答案为：，
（3）∵△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是
故答案为：
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据等边三角形性质及三角形面积即可求出答案.
（2）设，，，由（1）①可得，，，作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，则△DEF内部即为所求范围.
（3）根据几何概率即可求出答案.
20．（2025·深圳模拟）在平行四边形中，点，分别在边，上．
（1）【尝试初探】
如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
（2）【深入探究】
如图2，，，，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，与交于点，，，，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∵为中点
∴，
∴
∴
∴
∴
（2）解：过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得
∴，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴易得
∴
（3）解：延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，
不妨设，则，由，得
由
∴，
∴，
易得
∴，
∴
∴，
∴，相似比为
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据线段中点可得，再根据正切定义可得，则，化简即可求出答案.
（2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得，根据全等三角形判定定理可得，根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形内角和定理可得，则为等腰直角三角形，再根据相似三角形判定定理可得易得，则，即可求出答案.
（3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，设，则，由，得，根据正切定义可得，，根据勾股定理可得DE，再根据相似三角形判定定理可得，则，，根据正切定义可得ON，根据边之间的关系可得OE，OD，再根据相似三角形判定定理可得，相似比为，则，即，根据相似三角形性质即可求出答案.
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