湖南省三新协作体2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年湖南省三新/H11/G10教育联盟高二下学期4月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.有可以表示为
A. B. C. D.
3.若，则
A. B. C. D.
4.已知数列满足，且，则数列的通项公式为
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知集合，直线中的，，是取自集合的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为钝角，符合以上所有条件的直线的条数为
A. B. C. D.
7.为研究不同性别学生对“”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各名作为样本，设事件“了解”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中了解的学生的人数为，则当取得最大值时的值为
A. B. C. D.
8.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．马尔科夫链因俄国数学家安德烈马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，次状态无关．现有，两个盒子，各装有个黑球和个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有个红球的概率为则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 正方体的表面积和体积是相关关系
B. 已知函数，则
C. 若，且，则
D. 已知随机变量，，若，则函数为偶函数
10.已知点，为圆：上两动点，且，点为直线：上动点，则( )
A. 圆心到直线的距离为 B. 以为直径的圆与直线相离
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知函数 ，为常数，若函数有两个零点，，且，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.下列个数据，，，，的第百分位数为________．
13.直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率________．
14.已知正三棱柱中，，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列
求数列的通项公式．
记数列前项的乘积为，试问：是否有最大值？如果有，请求出此时的值以及的最大值；若没有，请说明理由．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，．
棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出的值；
点在线段运动包括端点，当二面角夹角最小时，试确定点的位置．
17.本小题分
已知椭圆：过点，离心率为．
求椭圆的标准方程．
若椭圆上存在一点点在第一象限，点关于轴的对称点为，与直线平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若四边形为菱形，求满足条件的点坐标．
18.本小题分
设函数，．
试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由；
若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律．统计人员发现某鸟类在区域经常出没，在区域统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为Ⅰ种和Ⅱ种．统计人员在区域随机捕获了只该鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试验结果．记第次试验中Ⅰ种的数目为随机变量设该区域中Ⅰ种的数目为，Ⅱ种的数目为．
求在第次试验中随机变量的分布列．
(ⅱ)假设每一次试验均相互独立．统计人员完成所有试验后，得到的实际取值分别为，其平均值，方差记随机变量采用和分别代替期望和方差，试给出，的估计值结果保留整数．
参考公式：从含件次品的件产品中，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设抽取的件产品中次品数为，如果采取有放回抽样，则方差；如果采取不放回抽样，则方差为随机变量与满足若随机变量与相互独立，则
假设统计人员每次随机捕获一只该鸟，统计种类，再将捕获的鸟放回，重复进行次．“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
参考答案
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15.，公比，，
设新数列的公比为，则，，，
．
，
令，
当或时，有最大值，
的最大值为，有最大值为
16.解：建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
则，．
由于，
故，
设，，
则，
则，
要使平面，
则，
解得，
故存在点，当时，．
设，，则，
设平面的一个法向量为，
故，，，
令，则．
设平面的一个法向量为，
故，，
令，则，
，
显然时，当时，最大，
此时二面角夹角最小，故点在点处，与点重合．
17.解：由题意可知 ，解得 ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
设点关于轴的对称点的坐标为．
直线的斜率为．
直线与平行，设直线的方程为．
由得，
由点在椭圆上，
，且，
设，，则，，
四边形为菱形，所以，
所以，即，
即，
即，
将韦达定理代入可得，即，
又因为点在第一象限，所以．

18.解：，
令，则，
则时，恒小于，单调递减，
且，，，，
，，单调递增，，，单调递减，
故函数在区间上存在极大值点，无极小值点．
，则．
又令，，
当，即时，恒成立，
在区间上单调递增，
，，
在区间上单调递增，不合题意
当，即时，，
在区间上单调递减，
，，
在区间上单调递减，符合题意
当，即时，
由，，
，使，
且时，，，，
在上单调递增，不符合题意
综上，，即的取值范围是．
19.解：(ⅰ)依题意，均服从完全相同的超几何分布，
故的分布列为为整数，且
(ⅱ)由题可知，
则，
方差，
所以，
依题意有解得，．
由，
则，
令，即，
故，即当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，即当时，取最大值，
故，
因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的．
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