2024-2025学年山东名校考试联盟高二年级下学期期中检测数学试卷（B卷）（含答案）

2024-2025学年山东名校考试联盟高二年级下学期期中检测
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则
A. B. C. D.
2.的展开式中的常数项为
A. B. C. D.
3.一袋中有外观完全相同，标号分别为，，，，的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，设事件“第一次取得号球”，事件“第二次取得号球”，则
A. B. C. D.
4.已知命题：，，则为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.现有种不同的颜色给图中的四块区域涂色，若每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知变量，线性相关，其一组样本数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为．，若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据的残差的绝对值为
A. B. C. D.
7.甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时，视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜局或平局次时停止，记游戏停止时局数为次，则
A. B. C. D.
8.今有、、、、、共本不同的书全部分给个同学，每个同学至少分到一本，其中、必须分给同一个同学的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，满足，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.已知随机变量服从正态分布，且，任取个随机变量，记在区间的个数为，则正确的有
A. B.
C. D.
11.有一组成对样本数据，，，，设，，由这组数据得到新成对样本数据，，，，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
相关系数．
A. 两组数据的相关系数相同 B. 两组数据的残差平方和相同
C. 两条经验回归直线的斜率相同 D. 两条经验回归直线的截距相同
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量，则的最大值为________．
13.为了调查，两个地区的观众是否喜欢娱乐节目，某电视台随机调查了，两个地区的名观众，已知从，两个地区随机调查的人数相同，地区喜欢娱乐节目的人数占地区参与调查的总人数的，地区喜欢娱乐节目的人数占地区参与调查的总人数的，若根据独立性检验认为喜欢娱乐节目和地区有关，且此推断犯错误的概率超过但不超过，则所有构成的集合为________．
附表：，其中．
14.，，都为正整数，，随机变量，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
下图为某学校个公用电话的日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为，，，，．
根据频率分布直方图，求的值，并求日使用次数在内的公用电话个数；
从这个公用电话中任取个，设这个公用电话中日使用次数在内的有个，求的分布列和期望．
16.本小题分
某地区有名学生参加数学联赛满分为分，随机抽取名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；同一组数据用该区间的中点值作代表
根据频率分布直方图，求样本的分位数四舍五入精确到整数；
若所有学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，试估计成绩不低于分的学生人数．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
17.本小题分
某科技馆统计连续天进入该科技馆参观的人数单位：千人如下：
日期 第天 第天 第天 第天 第天
第天
参观人数
建立关于的回归直线方程，预测第天进入该科技馆参观的人数；
该科技馆只开放东门和西门供游客出入，游客从东门、西门进入该科技馆的概率分别为、，且出科技馆与进入科技馆选择相同的门的概率为，出科技馆与进入科技馆选择不同的门的概率为假设游客从东门，西门出入科技馆互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出科技馆的概率．
附：参考数据：，，．
参考公式：回归直线方程，其中，．
18.本小题分
有个编号分别是，，，的不透明的箱子里装有除颜色外完全相同的乒乓球．第个箱子中装有个黄色乒乓球和个白色乒乓球，其余箱子中都装有个黄色乒乓球和个白色乒乓球．现先从第个箱子中随机取出一个乒乓球放入第个箱子，再从第个箱子中随机取出一个乒乓球放入第个箱子，依此类推，直至从第个箱子中随机取出一个乒乓球．设事件表示从第个箱子中取出黄色乒乓球，记事件发生的概率为
求的值；
求的值，并证明：当时，；
求用含的式子表达．
19.本小题分
某厂有甲、乙两条生产线生产同种保温杯，保温杯按质量分为一级品和二级品，为了比较两条生产线生产的保温杯的质量，在甲生产线生产的保温杯中抽取个样本，一级品有个，其余均为二级品．在乙生产线生产的保温杯中抽取个样本，一级品有个，其余均为二级品．
根据统计数据，完成下列表格，依据小概率值的独立性检验，能否认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异？
一级品 二级品 合计
甲生产线
乙生产线
合计
现从甲生产线生产的保温杯中按一级品和二级品中，按比例用分层随机抽样法抽取个保温杯，再从这个保温杯中随机抽取个保温杯，记抽取的个保温杯中一级品的个数为，求的分布列和数学期望．
用样本频率估计总体概率，现从乙生产线所有保温杯中随机抽取个保温杯，记其中一级品的保温杯个数为，求使事件“”的概率最大时的值．
附：，其中．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由频率和为，可得，解得．
因为日使用次数在内的频率为，
所以日使用次数在内的公用电话个数为．
所有可能的取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为
故E．
16.解：设样本平均数的估计值为，
则．
所以，样本平均数的估计值为．
由图可知，前三组的频率和为，
第四组的频率为，
所以样本的分位数为．
由可知，样本平均数的估计值，
所以，
则．
所以，估计成绩不低于分的学生人数为．
17.解：，
而，，，
故，
可得，
所以回归直线方程为．
将代入回归直线方程，
可得千人，
故预测第天进入该景区参观的人数为千人．
设“游客从东门进入景区”为事件，“游客从西门进入景区”为事件，
“游客从与进入时相同的门出景区”为事件，“游客从与进入时不同的门出景区”为事件，
则一名游客从西门出景区包含两种情况：从西门进且从西门出，从东门进且从西门出．
从西门进且从西门出的概率为
从东门进且从西门出的概率为，
所以一名游客从西门出景区的概率为．
因为甲、乙两名游客出入景区的选择相互独立，
设“甲从西门出景区”为事件，“乙从西门出景区”为事件，
则．
可得甲、乙两名游客都从西门出景区的概率为．
18.解：在第一个箱子中共有乒乓球颗，其中黄色乒乓球有颗，
根据古典概型概率公式，
由知，，
所以
，
当时，由全概率公式，得
．
所以，
即
记，由知递推关系式，
变形为，
又，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
即．
19.解：(1)22列联表如下:
一级品 二级品 合计
甲生产线 600 200 800
乙生产线 1600 400 2000
合计 2200 600 2800
零假设为:甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率无差异，
根据列联表中数据,经计算得到=8.485>6.635=,
所以依据小概率值=0.01的独立性检验,
推断不成立,即认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异,
此推断犯错误的概率不大于0.01.
(2)依题意,用分层随机抽样法抽取的8个保温杯中,
一级品保温杯有8=6个,二级品有2个,
而从这8个保温杯中随机抽取3个,
其中一级品的保温杯个数的可能值有1,2,3,
则P(=1)==,
P(=2)==,
P(=3)==，
所以的分布列为:
1 2 3
P
数学期望E()=1+2+3=.
(3)依题意,乙生产线的一级品率为=0.8,
从乙生产线生成的所有保温杯中随机抽取100个保温杯,则~B(100,0.8),
于是P(=r)=,r100,rN,
由==,
由>1,解得r<79,而rN,
则当0r80时,P(=r)单调递增;
由1,解得k79,
则当k80时,P(=r)单调递减,
所以使事件“=r”的概率最大时r的值为80.
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