2024-2025学年江苏省南京市中华中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市中华中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.，，若，则实数为( )
A. B. C. D.
3.在中，点是边的中点记，，则( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.在中，为锐角，若，，则( )
A. B. C. 或 D.
7.在中，，向量在上的投影向量为，且，则( )
A. B. C. D.
8.设的内角，，所对的边长分别为，，，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若复数，，则
B. 若，则
C. 若复数，则
D. 若复数为纯虚数，则
10.下列四个等式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.设的内角，，的对边分别为，下列结论正确的是( )
A. 若满足条件的三角形有个，则的取值范围为
B. 面积的最大值为
C. 周长的最大值为
D. 若为锐角三角形，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为锐角，，则的值为______．
13.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，则的最小值为______．
14.定义区间，，，的长度为，其中不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求下列各式的值：
；
．
16.本小题分
如图，在中，已知为边上一点，，，．
求的面积；
若，求的长．
17.本小题分
已知向量满足，且向量与的夹角为．
求；
若其中，则当取最小值时，求与的夹角的大小．
18.本小题分
已知函数其中常数的最小正周期为．
求函数的表达式；
若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数，满足，且的最小值是，求的值．
19.本小题分
定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点．
设，写出函数的相伴向量；
已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数，若且，求最值；
已知，，为中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
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14.
15.； ．
16.解：解：因为且，可得，
且，
所以，
所以
；
解：由知：，
则．
16.解：在中，因为，，，
由余弦定理，可得，
又由，所以．
所以的面积为．
法一：在中，可得，
由正弦定理得，即，
所以，又，
所以，所以，因为，
且，
由正弦定理得，
可得．
法二：设，
在中，因为且，
由余弦定理，可得，
即，
化简得，解得，
则的长为．
17.解：因为，且向量与的夹角为，
所以，
所以．
因为其中，
所以，
所以时，，
此时，
所以，
所以与的夹角的大小为．
18.解：，
因为的最小正周期为，且，
所以，．
因为，所以．
所以，令．
又在上有解，
所以在上有解，
根据对勾函数单调性可知，，
所以．
由题意可知，
因为，，，
所以，中有一个为，另一个为，
因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是，
所以，所以或，
因此的值为或．
19.解：，
所以函数的相伴向量；
由题知，
由，得．
又因为，即，所以．
又因为，由正弦定理，得，，
即．
因为，所以，所以当，即时，取得最大值，
即的最大值为，无最小值．
由知，，
所以，
设，因为，，
所以，，
又因为，所以，
所以，
即，所以．
因为，所以，
所以，
又因为，所以当且仅当时，和同时等于，
所以在图像上存在点，使得．
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