2024-2025学年广东省广州八十九中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州八十九中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知是平面内的一组基底，则下列四组向量中，能作为一组基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
3.如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足，则( )
A. B. C. D.
5.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是( )
A. 与相交
B. 与平行
C. 与相交
D. 与异面
6.如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高( )
A.
B.
C.
D.
7.设向量的夹角为，定义：若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.
B. 复数的虚部为
C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D. 若复数是关于的方程的一个根，则
10.在中，下列结论中，正确的是( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，若有两解，则长的取值范围是
11.如图，是边长为的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则( )
A. ，，，四点共面
B. 该几何体的体积为
C. 过四点，，，四点的外接球表面积为
D. 截面四边形的周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，已知正方形的边长为，且，则 ______．
13.下列命题正确的有______．
若直线上有无数个点不在平面内，则
若直线与平面平行，则与平面内的所有直线都平行
若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
14.已知四棱锥的个顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
当，且时，求；
当，求向量与的夹角．
16.本小题分
如图，圆锥的底面直径和高均是，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为为菱形，，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点．
求证：平面；
设为的中点，过，，三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明．
18.本小题分
在斜中，角，，的对边分别为，，，若，且．
求；
若点为中点，且，求的面积．
19.本小题分
如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形设．
当时，求四边形的周长；
克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
参考答案
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15.解：，
，，，解得或舍去，
，
；
，，
，解得，，
，
，
．
16.解：设圆柱的底面半径为，
由三角形中位线定理可得，，圆柱的母线长为，
又圆锥的母线长为，
所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，
则，
圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，
即；
设，由平面几何知识可知，，
所以，
故被挖去的圆柱的侧面积为，
当且仅当时取等号，即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为．
17.证明：如图，取中点，连接，，
因为为中点，所以，且，
又因为四边形为菱形，且为中点，
所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
解：为的中点，
证明如下：因为且，故BCGE为平行四边形，故EG，
平面，平面，故EG平面，
又平面，平面平面，所以，
又，所以，
因为为的中点，所以点为的中点．
18.解：因为，
由正弦定理可得：，
所以，
因为，，
所以，而，
所以或，
当时，因为，
所以，此时，不符合条件；
所以，因为，
所以，
所以；
因为点为中点，且，
因为，所以，
即，
由正弦定理可得：，
即，可得，
所以，解得，
所以．
19.解：半圆的直径为，为直径延长线上的点，，
为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，设，
中，，，，
由余弦定理得，
即，于是四边形的周长为；
任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，
因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以；
在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四边形的面积为
，
当，即时，四边形的面积取得最大值为，
所以，当满足时，四边形的面积最大，最大值为．
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