浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则( )
A. A、、三点共线 B. A、、三点共线
C. A、、三点共线 D. B、、三点共线
2.在中，已知，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知点，两条不同的直线，和两个不同的平面，，下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，，则
5.如图，已知直角梯形，，，，点是中点，点是线段靠近点的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.在中，已知，且，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 有一个角为的直角三角形 D. 等边三角形
7.如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，满足，，，则( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为
10.在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形
11.如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 若，，，四点共面，则
C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D. 若，则以为顶点，以过、、三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是______．
13.如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为______米
14.在中，，，为钝角，，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量与的夹角，且，．
求，；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，梯形中，，，，，在平面内以过的直线为轴旋转一周求旋转体的表面积和体积．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，．
求；
若，求周长的取值范围．
18.本小题分
如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且：：：：，点为上的点，且．
求证：平面；
求证：平面平面；
平面与侧棱相交于点，求的值．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点已知的内角，，所对的边分别为，，，．
求；
若，，且点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求的最小值．
参考答案
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15.解：，，
．
由题意知，，
设与的夹角为，则，
故与的夹角的余弦值为．
16.解：由题意梯形中，，，，，
在平面内以过的直线为轴旋转一周后形成的几何体为圆台．
上、下底面圆半径分别是、，圆台的高为，母线长为；
圆台的侧面积，
圆台的上下底面积，
圆台的表面积，
圆台的体积．
17.解：由 及正弦定理得： ，
因为，，
所以．
由于 ，
所以：
可得：．
又，
故A．
由，，及余弦定理得：，
又 当且仅当时取“”
，
，
又，
，
即周长的取值范围是．
18.解：证明：连接，
在三角形中，因为，所以，且，
又因为，，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
因此平面．
证明：根据第一问得，又因为平面，平面，
所以平面，
在三角形中，因为：：：：，所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又由于且，均在平面中，
所以平面平面．
根据第一问知，又因为面，面，所以平面，
又因为平面，面面，
所以，又因为，所以，所以．
19.解：，则，
，
，故；
若，，且点为的费马点，
由知，所以的三个角都小于，
由费马点定义知，
设，，，由，
根据三角形的面积公式得，整理得，
则；
设点为的费马点，，
因为点为的费马点，所以，
设，，，，，，
由，得，
由余弦定理得，
，
，
由，得，
，又，，所以，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，所以，解得或舍去，
故的最小值为．
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