2024-2025学年陕西省师大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西师大附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.若向量，满足，，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为( )
A. B. C. D.
5.在三角形中，，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知点是所在平面内的一点，且，，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图，正四棱柱满足，点在线段上移动，点在线段上移动，并且满足，则下列结论中正确的是( )
A. 直线与直线可能异面
B. 直线与直线所成角随着点位置的变化而变化
C. 四棱锥的体积保持不变
D. 三角形可能是钝角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是( )
A. 若，则 B. 若则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 是周期为的函数
B. 与函数是同一函数
C. 是的一条对称轴
D. 在区间上的取值范围是
11.已知，，分别是锐角三个内角，，的对边，若，则下列选项正确的是( )
A.
B. 的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 若平分交于点，且，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.若圆柱的底面半径为，且表面积是侧面积的倍，则该圆柱的体积为______．
14.在中，，且，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高为．
求正四棱台的表面积；
若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积．
16.本小题分
已知平面向量，，，且，．
若，且，求的坐标；
若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在正四棱柱中，，是的中点．
求证：平面；
证明：；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数．
若，恒成立，求的取值范围；
已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
材料：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角，，所对的边分别为，，的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有．
材料：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
当的三个内角均小于时，满足，点为费马点；
当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上材料解决下面的问题：
根据材料的情景，当锐角中角，，所对的边分别为，，时，求证：；
已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值；
已知点为的费马点，且，若，求实数的最小值．
参考答案
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15.解：如图所示，正四棱台的每个侧面皆为全等的等腰梯形，
分别取，的中点为，，连接，，，
过点作于，
则，，，，
故，
所以正四棱台的表面积为；
若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，
则圆台的体积为．
16.解：已知平面向量，，，且，，
若，且，
设，，，，即，
又，，解得或
或；
由题可知，，，
与的夹角是锐角，，解得，
又与不共线，，即，
实数的取值范围是．
17.解：证明：设，连接，
在四棱柱中，四边形是正方形，
为中点，又为中点，，
又面，面，
面；
证明：在四棱柱中，面，
又面，，
又在正方形中，，
且，，面，面，
面，又面，
；
令点到平面的距离为，
，
即，
，，是的中点，
，，
即，
，
解得．
即点到平面的距离为．
18.解：由题意得，对于恒成立，
，
即在恒成立．
当时，，恒成立；
当时，此时，
则，在恒成立，
，当且仅当，即的时候取等号，
，的取值范围是；
当时，，
当时，，
则值域为，
，总存在，使，
的值域为值域的子集．
，
当时，，
则；
当时，，
则；
当时，，不符合题意．
综上所述，的取值范围是或
19.解：因为为直径，所以，
在中，，
又，所以，
连接，同理在中，，
又，所以，
连接并延长，交圆于点，连接，则，
在中，，
又，所以，
又，所以，
即；
设，，
则，
上式可以看成点到，，的距离之和，
显然为锐角三角形，要想距离之和最小，只需找到费马点，
在上取点，此时，故，
同理，故，所以，
点即为的费马点，
所以，
则的最小值为；
由于为直角三角形，故，
设，，，，，，
由得，
在中，由余弦定理得
，
同理，在中，由余弦定理得，
在中，，
因为，
所以，
即，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，解得或舍去，
所以的最小值为．
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