2024-2025学年河南省实验中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
2.水平放置的四边形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示其中，则原平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知复数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.在四棱锥中，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，( )
A.
B.
C.
D.
6.设是平面上一定点，，，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹经过的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
7.点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的取值
范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，，
10.对于，下列说法错误的是( )
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，，则锐角周长的取值范围为
11.定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于
D. 若，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为 ．
13.已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．
14.已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，为虚数单位．
若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围；
若复数，求的模．
16.本小题分
如图，在直棱柱中，点，，分别为，，的中点，线段与线段交于点．
求证：平面平面；
若，，求三棱锥的体积．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，且的面积为，求的周长．
18.本小题分
如图，已知圆的半径为，，为圆上的两点．
若，当实数为何值时，与垂直？
若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求的最小值；
若关于的最小值为，求的值．
19.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且，．
求；
若为锐角三角形，且外接圆圆心为，
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)求和面积之差的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：，，
复数，
复数在复平面内所对应的点为，
由题意可得，解得，即实数的取值范围是；
，
．
16.证明：连接，因为在三棱柱中，、分别为，的中点，
所以，且，则四边形是平行四边形，
故EC，
又平面，平面，
所以平面，
因为在三棱柱中，、分别为，的中点，
所以，且，四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，，
所以平面平面；
解：连接，因为，，
所以，
过点作于点，连接，则平面，
因为，是，的中点，
所以，且，
所以，其中，
所以，因为是等腰直角三角形，
所以，
，
故三棱锥的体积为．
17.解：因为，
所以，
，
，
，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以，
所以有，所以．
因为，且的面积为，
所以有或，那么恒为，
所以的周长．
18.解：因为，，
所以由余弦定理得：，
即，所以，解得，
所以，
因为与垂直，
所以，
所以，
所以，解得，
所以当时，与垂直．
因为为的重心，所以，
又因为，，所以，
因为、、三点共线，所以存在实数使得，
所以，化简为，
因为、不共线，
所以由平面向量基本定理可得，
化简可得：．
显然，，则
，
当且仅当，即时，取得最小值．
设，取线段的中点，连接，则，
则，
又
，
所以当时，有最小值，
因为关于的最小值为，
所以，解得，
所以取最小值时，．
19.解：已知，，分别为三个内角，，的对边，且，
则，整理可得，
根据余弦定理可得，
又，所以；
由，
因为为外接圆圆心，即外心，
所以，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，，
则，
由，解得，
所以，则，
所以；
设外接圆半径为，则，
且，即，
因为，
所以，
，
所以，
由知，，令，
则，
所以当时，取得最大值．
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