2024-2025学年广东省广州市育才中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市育才中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知正三棱台的上、下底面的边长分别为和，高为，则此三棱台的体积是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若在上的投影向量为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.在中，：：：：，则( )
A. B. C. D.
6.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则边上的高( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
8.在中，设，则下列说法错误的是( )
A. B. 边上的高是
C. 外接圆的周长是 D. 内切圆的面积是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则正确的是( )
A.
B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为
D. 在方向上的投影向量的坐标为
10.若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则在第二象限
B. 若为纯虚数，则在虚轴上
C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
D. 若，则为实数
11.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在点，使得平面
B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 三棱锥的体积为定值
D. 三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在矩形中，，点为边上的任意一点包含端点，为线段的中点，则的取值范围是______．
13.已知正方体的外接球的表面积是，则该正方体的内切球的体积为______．
14.圆台上底面半径为，下底面半径为，母线，在上底面上，在下底面上，从中点拉一条绳子，绕圆台侧面一周到点，则绳子最短距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求证：、、、四点共面．
16.本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，设．
求；
若，的面积为，求的值．
17.本小题分
某海域的东西方向上分别有，两个观测点如图，它们相距海里，现有一艘轮船由于发生故障停在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里小时．
求点到点的距离；
若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间．
18.本小题分
已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．
求该圆锥的侧面积；
求圆锥的内切球的表面积；
求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值．
19.本小题分
在中，角，，所对边分别为，，．
已知，，，若的平分线交于点，求线段的长；
若是锐角三角形，且，为的垂心，且，求的取值范围；
若，令，试求的最大值．
参考答案
1.【答案】
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14.【答案】
15.证明：连接，如图：
因为，分别为，的中点，所以，
在三棱柱中，，
所以，，，，四点共面，
因为，，，分别为，的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以因为平面，平面，
所以平面；
连接，，，如图：
因为为直三棱柱，且，分别为，的中点，
所以，又，所以，
所以、、、四点共面．
16.解：原式化简可得：，
整理得：，
由正弦定理可得：，
，
，；
，
，
，
．
17.解：由题意知海里，
，，
可得，
可得，
在中，由正弦定理得，
即海里；
在中，，海里，
由余弦定理得
，
可得海里，则需要的时间小时．
答：救援船到达点需要小时．
18.解：已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，的面积为，
设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得负值舍去，
又，所以，
圆锥的侧面积；
作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由可知，圆锥的高，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
由知，圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，，
，
，
等号成立，
则该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为．
19.解：因为，
可得，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
所以，
因为，
所以；
又因为，
所以，
即，解得，
设边上的角平分线，
所以，
即，
即，
解得，
即边上的角平分线长为；
延长交于，延长交于，
设，所以，
在中，，
在中，，所以，
在中，，
同理可得在中，，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，
即的取值范围为；
由余弦定理，，
所以，
因为，所以，
所以
，
所以
，
即，当，即当且仅当，
即时，．
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