2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知下列两个命题，命题甲：平面与平面相交；命题乙：相交直线，都在平面内，并且都不在平面内，直线，中至少有一条与平面相交．则甲是乙的( )
A. 充分且必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2.年月某校高三年级名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩试卷满分为分统计结果显示数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，其导函数的图像如图所示如图四个选项中，可能表示函数图像的是( )
A. B.
C. D.
4.在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得则称这条曲线为“自相关曲线”判断下列两个命题的真假( )
所有椭圆都是“自相关曲线”．
存在是“自相关曲线”的双曲线．
A. 假命题；真命题 B. 真命题；假命题
C. 真命题；真命题 D. 假命题；假命题
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.已知，则 ______．
6.设，若圆的半径为，则的值为______．
7.第届夏季奥林匹克运动会女子米跳台跳水决赛中，全红禅以分的高分拿下冠军下面统计某社团一位运动员次跳台跳水的训练成绩：，，，，，，，，，，则这组数据的分位数为______．
8.若双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为______．
9.如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是______．
10.已知随机变量，若，，则 ______．
11.若直线与直线之间的距离为，则实数的值为______．
12.某校面向高二全体学生共开设门体育类选修课，每人限选一门已知这三门体育类选修课的选修人数之比为：：，考核优秀率分别为，和，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为______．
13.在四面体中，若底面的一个法向量，且，则定点到底面的距离为______．
14.将一个半径为的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为______．
15.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于，两点在第一象限，若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______．
16.已知函数，点、是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示圆锥中，为底面的直径，，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，圆锥的高为．
求圆锥的侧面积；
求证：与是异面直线，并求其所成角的大小．
18.本小题分
设．
若，求的值；
若，求的值；
若，求，，，中的最大项．
19.本小题分
某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，其中，技能测试是否通过相互独立．
若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为，求的值；
已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求的取值范围．
20.本小题分
已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的，两点．
当且的斜率为时，求；
当时，求的取值范围；
是否存在实数，使得对于任意的直线、都不是直角三角形若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．
判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
若函数是“旋转函数”，求的取值范围．
参考答案
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11.或
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17.解：设圆锥底面半径为，母线长为，
为底面的直径，，分别为母线与的中点，
，，
又圆锥的高为，即，
，
圆锥的侧面积；
证明：连接、、，
，分别为与的中点，
，
又，
与是异面直线，
为异面直线与所成的角且，
由得，，
取的中点，连接、，如图所示：
则，
，则，
，
，
在中，由余弦定理得，
异面直线与所成角的大小为．
18.解：因为．
令可得：，可得；
故；
，可得．
令可得：，
令可得：．
所以．
根据二项式的展开式，设第项的系数最大，
故，
解得，
故，
故第项最大．
19.解：因为应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，
所以该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率，
解得；
分别记“该应聘者应聘甲，乙公司三项专业技能测试通过项目数为随机变量，”，
由题意可知，，
所以，
的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以，
因为，
所以，
解得，
又因为，所以，
即的取值范围为．
20.解：由椭圆，可得，，则，所以，
当时，直线：，
联立方程组，解得，，则．
当斜率为时，由，，可得，
当斜率不存在时，由，可得，
当斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，整理得，
设，，则，
且，
由，
则
，
令，可得且，则
综上可得，的取值范围为．
设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，，则，
且，
设，
因为，，
所以
，
要使得都不是直角三角形，只需不成立，
即方程无解，即无解，
所以，解得，
又因为，所以实数的取值范围为．

21.解：函数不是旋转函数”，理由如下：
逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是“旋转函数”．
由题意可得函数与函数最多有个交点，且，
即最多有一个根，
，
即函数与函数的图象最多有个交点，
即函数在上单调，
，
因为，，所以，，所以，
即，，即的最大值为．
由题意可得函数与函数的图象最多有个交点，
即，
即函数与函数最多有个交点，
即函数在上单调，
，当时，，
所以，
令，则，
因为在上单调递减，且，，
所以存在，使，即，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
即，所以的取值范围是．
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