2024-2025学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式能化简为的是( )
A. B.
C. D.
2.若复数满足是虚数单位，则下列说法不正确的是( )
A. 复数在复平面内对应点在第一象限 B. 的模为
C. 的共轭复数为 D. 复数的虚部为
3.在中，：：：：，则最大角余弦值为( )
A. B. C. D.
4.如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，，，那么该三棱锥外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
5.中，下列命题不正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则一定为等腰三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，，，则有两解
6.已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，且，则 D. 若，，且，，则
7.如图，在棱长为正方体中，点为棱的中点，则由，，三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为( )
A. B.
C. D.
8.有下列四个结论：
已知，则不能作为平面内所有向量的一个基底；
若平面向量，，则在上的投影向量是；
两个非零向量，，若，则与垂直；
已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为．
其中所有正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
9.设锐角的内角，，的对边分别是，，，若，且，则下列命题正确的个数为( )
的外接圆的面积是
的面积的最大值是
的取值范围是
A. B. C. D.
10.如图，已知四棱柱的体积为，四边形为平行四边形，点在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知是虚数单位，则复数 ______．
12.已知向量、满足，，，则与的夹角等于______．
13.如图是某正方体的平面展开图关于这个正方体，有以下判断：
；
平面；
平面平面；
，是异面直线．
其中判断正确的序号是______．
14.一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则，两地的距离为______．
15.在四边形中，，，，，，、分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为______； ______．
16.如图，在中，，点是的中点，点在边上，交于点，设，则 ；点是线段上的一个动点，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共3小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（9分）在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求的值；
求的值；
求的值．
18.（9分）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点．
证明：平面；
证明：平面平面；
平面将三棱柱分割成两部分，两部分几何体的体积分别为，，求的值．
19.（12分）在中，已知角，，的对边分别为，，，为边上一点．
若，，求；
若，平分，求的取值范围；
若，令，试求的最大值．
参考答案
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17.解：因为，，，
由余弦定理可得，整理得，
解得；
因为，，
所以，
由正弦定理，可得，
解得；
法一：由得，，
，
，
所以，
所以；
法二：由余弦定理可得，
所以，
所以
．
18.解：证明：，分别是，的中点，
，又平面，
平面，
平面，
证明：，分别为，中点，
故，，
又，，，，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，又由知平面，
且，平面，，
平面平面；
，
，
故，．
则．
19.解：因为，由余弦定理可得，
整理得，又，所以，则，所以，所以，
由余弦定理，又，所以；
因为，即，
所以，由余弦定理，
所以，所以，因为，且，所以，
当且仅当时取等号，则，所以，
令，则，所以，
因为在上单调递增，当时，，
当时，，所以，即的取值范围为；
由余弦定理，，所以，
所以
，
，
所以，当且仅当，即时，．
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