2024-2025学年浙江省温州十校联合体高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省温州十校联合体高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.设全集，集合，集合，集合，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知命题是无理数，是无理数命题，使得是奇数，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
5.在的展开式中项的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.某公司有名员工，其中名是经理，名是普通员工。现在需要从名员工中选出人组成一个至少有名经理的项目小组，则不同的选择方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知满足，，且当时，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 若，则
C. ，则
D. 若，则的最大值为
10.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量，满足：，，则，相互独立
B. 已知随机变量，若则．
C. 若的展开式中二项式系数的和为，则系数最大的项为第项
D. 一组数据，，，，的经验回归方程为，则当时，残差为
11.在四棱锥中，面，，，，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 点到平面的距离为
C. 三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为
D. 与面交于点则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，，则的值是 ．
13.某班级男女生比例，现调查学生周末在家学习时长单位：小时，得到男生样本数据平均值为，方差为，女生样本数据的平均值为，方差为，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差的值是 ．
14.在中，是的中点，是的中点，过点作直线交线段、线段分别于点、，记的面积为，四边形的面积为，则的最小值 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求
求的最小正周期和单调增区间．
16.本小题分
在中，，，分别是角，，所对的边，点在边上，且满足，C.
求的值
若，求．
17.本小题分
如图，在矩形中，为的中点，，将沿翻折至的位置，点在上，且
求证：平面
若平面平面，求二面角的余弦值。
18.本小题分
已知
当时，解关于的不等式
已知有四个零点，，，，且，求
当时，求的最大值，最小值．
19.本小题分
狼来了是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事。假设在一片草场上有若干村民和一名牧童。每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救。若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题：
当村民数为时，求具有救援意愿的村民人数的期望
当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率
假设村民数为，牧童呼救时撒谎的概率为。在正常情况下，每位村民的营救意愿为但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为。记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
由，解得，
的单调增区间为，
16.解：，代入，
得，
，，，
，，，
中，由正弦定理得，
中，由正弦定理得
，，
，
可得，
，
17.解：连接交于点，连接，
，为的中点，，
，，
，即，
，
，
平面，平面，
平面；
建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，点，，，
，
设，则，
则，得
，
设平面的法向量，
则，
令，得平面的一个法向量，
显然平面的一个法向量，
设二面角为，
，
即二面角的余弦值为．
18.解：当时，，
当时，，
当时，，
综上可得，不等式的解集为
已知，
的图象关于直线对称，
根据对称性，，，
．
，，
当时，，，
当时，，，
，，，
，，，
当时，，，
，，，
，，，
综上所述：
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，．
19.解：当村民数为时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为，
设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即∽，
所以救援人数的期望值。
当村民数为时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救．
所以本题即求．
而∽，则．
故
故
村民数为时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救．
故正常情况下，村民前往营救的概率为，
当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的概率为．
记事件为村民前往营救，事件为上一次村民因虚假呼救而白跑，事件为牧童撒谎。则
故牧童第次呼救，有，，即，
整理可得
因为，
所以，，
经检验也符合，故，．
第1页，共1页