浙江省浙南名校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省浙南名校高二下学期4月期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.直线与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定
3.已知三角形的面积为，若，，则“为锐角”是“”( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的一半纵坐标不变，再将图像向左平移个单位，得到的函数的表达式为( )
A. B.
C. D.
5.已知两个非零向量，同时满足，则向量与的夹角的大小为( )
A. B. C. D.
6.现有名社工，参加两个社区工作，每个社区人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共有多少种( )
A. B. C. D.
7.在的展开式中，含项的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知袋中有除颜色外其他都相同的小球个，其中黑球个，红球个，从中摸个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为下列说法中，正确的有( )
A.
B. ，其中，，，
C.
D.
10.已知在等差数列的前项和为，其中，，在等比数列中，，，则( )
A. B. 数列是等差数列
C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为
11.已知函数，，下列结论正确的是( )
A. 曲线在点处的切线方程为
B. 函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为
C. 若曲线与有三个交点，，，，，则，，必成等差数列
D. 存在曲线与有三个交点，，，，，使得，，成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则的虚部为 ．
13.老师从篇课文中随机抽篇让学生背诵，背诵篇数没达到篇的为不合格，不合格者积分扣分能背诵篇数篇的为合格，不扣分也不加分篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加分，某位同学只能背诵其中的篇课文，记该同学的得分为，则 ．
14.已知椭圆，抛物线，点是与在第一象限的交点，是的左顶点，直线交于点，若点恰为线段的中点，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的个城市的汽车流量。得到数据如下：
浓度单位： 汽车流量单位：千辆小时 合计
合计
判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关
对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用。现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过千辆小时”，用表格数据估计事件、发生的概率，试问：事件对事件是促进作用还是抑制作用
附：，
16.本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，过点的直线与双曲线的右支于、两点，点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，且到渐近线的距离为，为直角三角形，
求双曲线的方程
求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，为的中点，．
证明：平面平面
若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18.本小题分
函数，其中，
求函数的单调递增区间
若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围
若，，，求证：A.
19.本小题分
已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为，传球给其他队员的概率均为如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是开始进攻时，球在乙手中．
求经过次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率
经过次传球后，球回到乙手中的概率
记经过次传球后，球到甲的手中的概率为，求证：满足的的个数不少于满足的的个数．
参考答案
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14.
15.解：设浓度与汽车流量无关，
由，
所以有的把握认为不成立，即浓度与汽车流量有关
，所以事件对事件是抑制作用．
16.解：由题知，，同时到渐近线的距离，所以，
所以双曲线的方程为
由题知，，因此不妨设，
并设直线，
在以为直径的圆上，故，解得或，
不妨取此时，
所以再由，，所以，，
，
到直线的距离，
所以．
17.证明：且是中点，
为直角三角形，，
又平面，平面，
，
又，，平面，
平面，
又底面，
平面底面；
解：取中点，连接，，
且是中点，且，
由得平面底面，交线为，
底面，
分别以，为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系：
，，，，，
，，
设平面的一个法向量，
，
令，可得，
设平面的一个法向量，，
令，可得．
，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
18.解：，，
当时，单调递增区间为，，
当时，单调递增区间为，
当时，单调递增区间为，
解：由知函数的极大值为，极小值为，
当，，，，
由已知或者，
，即，
，解得
综上，的取值范围或
证明：由题知，，，
由，得：
，，
要证：，只要证：，
令
，
设，
，
由得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上递增，
并且，，
所以，，，，
即，，，
所以，单调递减，，单调递增，
是的极小值点，也是最小值点，
，故，
，
故B，结论得证．
19.解：记事件“经过次传球并由甲执行投篮”，“球有经过丙之手”，
则；
记事件“传球后球回到乙手中，，则，
，
，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，即；
事件“传球后球到甲手中，事件“传球后球不在甲和乙手中，
则
，
假设结论不成立，则至少有两个连续的自然数，，使得且，
若为偶数，且则有：
，
若为奇数，且，则有：
，
，，如此连续，
故不存在连续的两个自然数，，使得且．
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