浙江省温州环大罗山联盟2024-2025学年高二下学期4月期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省温州环大罗山联盟高二下学期4月期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在的展开式中，系数为整数的项数是( )
A. B. C. D.
3.若直线与幂函数，，的图象依次交于不同的三点，，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D. 以上说法都不正确
4.函数为自然对数的大致图像是( )
A. B.
C. D.
5.小明新买的储蓄罐有位密码，他决定在“斐波那契数列”的前项中随机抽取个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第位是偶数，已知“斐波那契数列”的前项依次为“、、、、、”，则可以设置的不同密码个数为( )
A. B. C. D.
6.为了考查一种新疫苗预防某疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过的前提下认为接种该疫苗与预防某疾病有关”
的结论，则被抽查的没接种动物至少有只
A. B. C. D.
7.如图所示，颗串珠用一根细线串起现将它们依次取出只允许从两边取出，一次取一颗，两颗串珠被连续取出的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若为方程的解，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. ， D. ，
10.已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，剔除一个偏离直线较大的异常点后，新的回归直线经过点则下列说法正确的是( )
A. 相关变量，具有正相关关系
B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C. 剔除该异常点后的回归直线经过点
D. 剔除该异常点后，回归直线的斜率是
11.已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是( )
A. 的取值与有关 B. 为定值 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量的分布列，则 ．
13.甲、乙、丙人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接到球的一人再
将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去，如果由甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里的概率为 ．
14.设函数，已知对任意，若，满足，，则，则正实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差
若，候鸟每分钟的耗氧量为个单位时，它的飞行速度是多少
若雄性候鸟的飞行速度为，雌性候鸟的飞行速度为，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍
16.本小题分
已知函数．
若的解集为，求，的值；
若方程在上有解，求实数的取值范围．
17.(本小题15分)
某校为了激发学生对航天科技的兴趣, 点燃学生的航天梦, 举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛,从中抽取了10名学生的竞赛成绩, 得到如下表格:
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为,.经计算=1690,=33050.
(1)求与;
(2)若成绩不低于60分为优秀,从这10名学生中任取3名,记成绩优秀的人数为X,求X的分布列;
(3)经统计,全市航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布N(,),用上述,的值分别作为,的近似值,若科创中心计划从全市抽查100名学生进行测试,记这100名学生的测试成绩恰好落在区间[43,82]的人数为Y,求Y的均值E(Y).
附:若~N(,),则P(-+)0.6827,P(-2+2)0.9545,P(-3+3)0.9973.
18.本小题分
人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有个红球和个白球，乙袋中有个红球和个白球我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为先验概率，再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立．
求首次试验结束的概率
在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率先验概率进行调整．
(ⅰ)求选到的袋子为甲袋的概率
(ⅱ)求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率．
19.本小题分
小明同学在课外学习时发现以下定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，，都有，则称为区间上的下凸函数例如，函数在上为下凸函数通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式：若是区间上的下凸函数，则对任意的，，，，不等式恒成立当且仅当时等号成立．
已知在上为下凸函数，若，求的最大值
判断函数在上是否是下凸函数，若是，请证明若不是，请说明理由
设，，，，且，求的最小值．
参考答案
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15.解：将，代入函数式可得：
，
故此时候鸟飞行速度为
设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，依题意可得：
，
两式相减可得：，于是．
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的倍．
16.解：由的解集为，可知，为的两个根，
故，解得；
方程在上有解，即在上有解，
即在上有解，
令，，则，
故实数的取值范围为．
17.解：(1)=-=1690,
===3136，则=56,
==169;
(2)竞赛成绩“优秀”的学生有3人,则X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==，
则X的分布列为:
X 0 1 2 3
P
(3)由题意,=56,=13,记抽查学生的测试成绩为,
则P(4382)=P(-+2)==0.8186,
这100名学生的测试成绩恰好落在区间[43,82]的入数为Y~B(100,0.8186),
E(Y)=np=1000.8186=81.86.
18.设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，
“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件．
，
所以试验一次结果为红球的概率为．
因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为．
由得，
设为第次独立试验结束的概率，则．
所以设题设的概率为，则．
19.解：由在上为下凸函数，得，
因此，当且仅当时取等号，
则，即，当且仅当时取等号，
所以的最大值是．
判断：是下凸函数，
函数的定义域为，设，，
则
，
当且仅当时取等号，因此恒成立，
所以二次函数是下凸函数；
令，，设，，
则
，即，
于是函数，在上为下凸函数，
依题意，，
因此
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为
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