2024-2025学年浙江省温州环大罗山联盟高一下学期4月期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省温州环大罗山联盟高一下学期4月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形如图，其中，，，则这块菜地的面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，某校数学兴趣小组对古塔进行测量，与地面垂直，从地面点看塔顶的仰角为，沿直线前行米到点此时看塔顶的仰角为，根据以上数据可得古塔的高为( )
A. B. C. D.
5.图象为如图的函数可能是( )
A. B. C. D.
6.唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期强盛的国力、开放的心态、丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信，素面高足银杯如图就是其中一件珍藏，银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略，如图所示已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与锐角的终边交于点，过点作轴的垂线与锐角的终边交于点，如图所示，的面积小于扇形的面积，扇形的面积小于的面积，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，若，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角，，对应的边分别为，，，若，则下列结论正确是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 若函数的周期为，则
B. 若，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
C. 若且直线是函数的一条对称轴，则在上单调递增
D. 若函数在区间上没有零点，则
11.如图，已知均为等边三角形，分别为的中点，为内一点含边界．，下列说法正确的是( )
A. 若，则为的重心
B. 延长交于，则
C. 若，则点的轨迹是一条线段
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，向量，则在上的投影向量是 注：本题答案用坐标表示
13.已知在中，，，，的角平分线交线段于，则 ．
14.已知是平面内三个非零向量，且，则当与的夹角最小时，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，是非零向量，，且，．
Ⅰ求与的夹角；
Ⅱ求．
16.本小题分
设为虚数单位，，复数且___________．
请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答．
；；在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上．
求实数的值；
若是纯虚数，求实数的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
17.本小题分
已知向，函数．
求函数的单调递增区间；
在锐角三角形中内角的对边分别为，若，，求面积的取值范围．
18.本小题分
已知函数
若，求的值；
根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增；
若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
据报道，年月日，正值全民国家安全教育日，田湾核电号机组穹顶球冠吊装成功如图，标志着国内最重核电机组薄壳钢村里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分不包含截面，垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高球冠面积等于截得它的球面上大圆过球心的截面圆周长与球冠的高的乘积和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”如图当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”如图，设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为．
类比球体积公式的推导过程可参考图，写出“球锥”的体积公式
在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值
已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：Ⅰ已知，是非零向量，，
，
，
，
又，
，
Ⅱ，
．
16.如果选，则，故，解得；
如果选，则，
从而；
如果选，则对应的点为在第一象限的角平分线上，
故，解得．
由知，
故为纯虚数，
从而，解得．
17.解：
，
由，，
所以，，
因为，所以的单调递增区间为和；
，得，
因为为锐角，所以，
所以，即，
由正弦定理得，，
所以，，
所以
，
在锐角中，，解得，
所以，，
所以的取值范围为．
故
18.解：，
．
证明：任取，，且，
则
，
，，
，，
故，即，
在上单调递增．
，
，
由可知，在上单调递增，
，
，
要存在，使得不等式成立，
只要存在，使得成立，
，，
令，
只要存在，使得成立，
即，
，，
，即的取值范围是
19.解：“球锥”的体积公式为
设圆锥半径为，则，
当球缺的体积与圆锥的体积相等时，，
即，消去，得，
整理得，因为，所以．
设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为，则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件．
注意到，当顶点，，在圆锥底面圆周上时，，，得，当时，
作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”．
因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点，，在球冠上．
即，且又因为，所以．
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