浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市S9联盟高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，，，则过点且与线段平行的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
6.椭圆的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.正方体中，直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.定理：如果函数及满足：图像在闭区间上连续不断；在开区间内可导；对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，，满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是
A. B.
C. 有最大值 D. 当时，的最大值为
10.已知函数则下列结论正确的有( )
A. 的最小正周期为
B. 是的最大值
C. 把函数的图像上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图像
D. 将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则的最小值为
11.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A. 棱上存在一点，使得平面
B. 直线到平面的距离为
C. 过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D. 过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为________．
13.已知向量与的夹角为，，，则 ．
14.已知斜率为的直线与抛物线交于，两点，若的外心为为坐标原点，则当最大时，________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，，．
若，求；
若的面积，求，．
16.本小题分
已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，．
求，的通项公式
设，记数列的前项和为，求．
17.本小题分
已知函数，
若存在极小值，且极小值为，求
若，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面．
证明：；
若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线：的实轴长为，一条渐近线的方程为，过点的直线与的右支交于，两点．
求的标准方程；
是轴上的定点，且．
(ⅰ)求的坐标；
(ⅱ)若的外接圆被轴截得的弦长为，求外接圆的面积．
参考答案
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15.解：由 ，
得．
，
即，得，
又，，
故为等边三角形，
所以．
16.解：当时，，
又时，，符合，故，，
设等比数列的公比为，则
解得
，；
，
，
所以．
17.解：求导，令，则，
因为存在极小值，且极小值为，
所以，所以，
经检验，符合题意；
由可得，
因为中的定义域为，移项可得在上恒成立，
设，则，
求导，
令，即，
因为，时，所以，解得，
当时，，，则，所以在上单调递减，
当时，，，则，所以在上单调递增，
由单调性可知在处取得最小值，，
所以的取值范围是．
18.证明：因为为的中点，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为为的中点，所以；
解：如图，取的中点，连接，
因为，所以，
由平面，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面，，
所以平面，
如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，
过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，为的中点，所以，
因为，所以，所以，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，
令，解得，，所以，
设平面的一个法向量为，
所以，即，
令，可得，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面的夹角的余弦值为
19.解：因为的实轴长为，渐近线方程为，
所以，，
解得，，
所以的标准方程为；
是轴上的定点，且，
故直线斜率不为，设直线的方程为，
设，两点坐标为，，
联立，化简得，，
则，解得，
所以，．
设，则，，
所以
，
得，
，
所以
解得，所以的坐标为
因为，所以外接圆是以为直径的圆，记为圆，
因为外接圆被轴截得的弦长为，且，
所以圆交轴于另一点，
所以圆心在直线上，显然，
联立，得，
所以的外接圆圆心，即为中点，
所以，即，
所以圆半径的平方，
所以外接圆的面积为．
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